Теорија подударности троуглова

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs,enumitem}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Увод и теорија уз задатке}
\end{center}

\section*{Увод}

Два троугла су \emph{подударна} ако постоји изометрија (кретање равни које
чува растојања) која један преслика на други; пишемо
$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$, при чему редослед темена задаје
кореспонденцију $A\to A_1$, $B\to B_1$, $C\to C_1$. Подударним троугловима
одговарајуће странице и одговарајући углови су једнаки. Ознаке:
$\len{AB}$ је дужина дужи $AB$, $\angle ABC$ угао код темена $B$,
$a=\len{BC}$, $b=\len{CA}$, $c=\len{AB}$.

Скоро сваки задатак у овој збирци има исти облик: тражена једнакост
(дужи, углова или полупречника) препознаје се као одговарајући елементи
два троугла, па се ти троуглови докажу подударним једним од ставова.

\section*{Ставови подударности}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.55, every node/.style={font=\footnotesize}]
  \foreach \gx/\name in {0/ССС, 7/СУС, 14/УСУ} {
    \node at (\gx+3.3, 2.6) {\textbf{\name}};
    \foreach \dx in {0, 3.4} {
      \coordinate (A) at (\gx+\dx+1.5, 2); \coordinate (B) at (\gx+\dx, 0); \coordinate (C) at (\gx+\dx+3, 0);
      \draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    }
  }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{description}[leftmargin=1.6cm, style=nextline]
  \item[ССС] Три странице једног троугла подударне су трима страницама другог.
  \item[СУС] Две странице и угао између њих.
  \item[УСУ] Једна страница и два угла на њој (еквивалентно: страница и било
    која два угла, јер је трећи угао одређен збиром $180^\circ$).
  \item[ССУ] Две странице и угао наспрам \emph{веће} од њих (четврти став).
    Без услова „наспрам веће" не важи, види доле. Специјални случај: два
    правоугла троугла са подударним хипотенузом и једном катетом су
    подударна, јер је хипотенуза највећа страница. У свесци се тај
    случај зове ССУ.
\end{description}

\section*{Четврти став ССУ и зашто му треба услов}

ССУ: дате су страница $AB$, страница $BC$ и угао код $C$, дакле угао уз
страницу $BC$ и наспрам странице $AB$. Став важи кад је дати угао наспрам
веће од две дате странице, овде $\len{AB}\ge\len{BC}$. Ако је
$\len{AB}<\len{BC}$, исти подаци дају два различита троугла:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8, every node/.style={font=\small}]
  % исти подаци: |CB| = 5, |AB| = 3.5, угао C = 35° — два троугла, одвојено
  \foreach \dx/\aa/\lab in {0/{(4.997,3.499)}/{$A$}, 8/{(1.712,1.199)}/{$A'$}} {
  \begin{scope}[xshift=\dx cm]
    \coordinate (C) at (0,0); \coordinate (B) at (5,0); \coordinate (A) at \aa;
    \draw[thick] (C) -- (B) -- (A) -- cycle;
    \draw[thick, red!70!black] (B) -- (A);
    \pic[draw, angle radius=6mm] {angle=B--C--A};
    \draw ($(C)!0.5!(B)!1.5pt!(C)!3pt!90:(B)$) -- ($(C)!0.5!(B)!1.5pt!(C)!3pt!-90:(B)$);
    \draw ($(C)!0.5!(B)!1.5pt!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(C)!0.5!(B)!1.5pt!(B)!3pt!-90:(B)$);
    \draw ($(B)!0.5!(A)!3pt!90:(A)$) -- ($(B)!0.5!(A)!3pt!-90:(A)$);
    \foreach \pt in {A,B,C} \fill (\pt) circle (1.4pt);
    \node[below left] at (C) {$C$}; \node[below right] at (B) {$B$}; \node[above] at (A) {\lab};
  \end{scope}
  }
\end{tikzpicture}
\end{center}

Оба троугла имају исту страницу $AB$, исту страницу $BC$ и исти угао код
$C$, а нису подударни: $\len{CA}\ne\len{CA'}$, а углови код $A$ и $A'$ су
различити (један оштар, други туп). Бројни пример: $\len{BC}=10$,
$\len{AB}=6$, $\angle C=30^\circ$ даје $\len{CA}\approx 12$ или
$\len{CA}\approx 5{,}3$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.65, every node/.style={font=\small}]
  % конструкција: угао C = 35°, |CB| = 5, |AB| = 3.5
  \coordinate (C) at (0,0); \coordinate (B) at (5,0);
  \coordinate (A) at (4.997,3.499); \coordinate (Ap) at (1.712,1.199);
  \draw[dashed, teal!70!black] ($(B)+(160:3.5)$) arc (160:20:3.5);
  \draw[thick] (C) -- (7,4.902) (C) -- (B);
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (A) (B) -- (Ap);
  \pic[draw, angle radius=6mm] {angle=B--C--A};
  \foreach \pt in {A,B,C,Ap} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (C) {$C$}; \node[below] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (A) {$A$}; \node[above left] at (Ap) {$A'$};
  \node[font=\footnotesize] at (3,-1) {конструкција: оба решења};

  \begin{scope}[xshift=9cm]
    % иста страница |CB| = 5, прав угао код C, |AB| = 6 (хипотенуза)
    \coordinate (C) at (0,0); \coordinate (B) at (5,0);
    \coordinate (A) at (0,3.317);
    \draw[dashed, teal!70!black] ($(B)+(150:6)$) arc (150:30:6);
    \draw[thick] (C) -- (0,5.2) (C) -- (B);
    \draw[thick, red!70!black] (B) -- (A);
    \pic[draw] {right angle=B--C--A};
    \foreach \pt in {A,B,C} \fill (\pt) circle (1.4pt);
    \node[below left] at (C) {$C$}; \node[below] at (B) {$B$}; \node[left] at (A) {$A$};
    \node[font=\footnotesize] at (2.5,-1) {прав угао код $C$: једно решење};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\textbf{Одакле два троугла.} Теме $A$ лежи на другом краку угла $C$, на
растојању $\len{AB}$ од $B$, дакле у пресеку крака и круга $k(B,\len{AB})$.
Кад је угао $C$ оштар и $\len{AB}<\len{BC}$ (а $\len{AB}$ веће од
растојања тачке $B$ до крака), круг сече крак у две тачке $A$ и $A'$.
Троугао $BAA'$ је једнакокраки, па су углови $\angle BAC$ и $\angle BA'C$
суплементни. Зато ССУ без услова о већој страници није став
подударности.

\medskip
\textbf{Кад ССУ важи (четврти став).} Ако је $\len{AB}\ge\len{BC}$, тј.
дати угао је наспрам веће странице, тачка $C$ је унутар круга
$k(B,\len{AB})$ или на њему, па круг сече крак угла у тачно једној тачки:
троугао је једнозначно одређен и ССУ је став подударности. Ако је угао $C$ прав или туп, онда је $AB$ највећа страница
троугла, па је услов аутоматски испуњен. Двосмисленост,
дакле, постоји само кад је угао $C$ оштар и $\len{AB}<\len{BC}$.

\medskip
\textbf{Специјални случај: прав угао код $C$.} Тада је $AB$ хипотенуза,
$\len{AB}>\len{BC}$, па је услов четвртог става испуњен и постоји тачно
један троугао:
хипотенуза и једна катета одређују правоугли троугао до на подударност.
Исто се види из Питагорине теореме: из хипотенузе $c$ и катете $a$ трећа
страница је $b=\sqrt{c^2-a^2}$, па се све своди на ССС. Ово је став који
се у свесци зове ССУ и који се користи у задацима 10~б) и 11. На десној
слици је $BC$ исто као лево, а $AB$ је нужно дуже, јер је хипотенуза.

\section*{Дефиниције и ознаке}

\begin{itemize}[leftmargin=1.2em]
  \item \textbf{Висина} $h_a$: дуж од темена $A$ нормална на праву $BC$;
    њено подножје је на страници $BC$ кад су углови код $B$ и $C$ оштри.
  \item \textbf{Тежишна дуж} $t_a$: дуж од темена $A$ до средишта странице $BC$.
  \item \textbf{Симетрала угла}: полуправа која угао дели на два једнака дела.
  \item \textbf{Средња линија}: дуж која спаја средишта две странице.
  \item \textbf{Уписани круг} $k(S,r)$: додирује све три странице; центар $S$
    је пресек симетрала углова.
  \item \textbf{Описани круг} $k(O,R)$: пролази кроз сва три темена; центар $O$
    је пресек симетрала страница.
  \item \textbf{Паралелограм}: четвороугао са два пара паралелних наспрамних
    страница. Четвороугао је \emph{конвексан} ако лежи са исте стране сваке
    праве одређене његовом страницом.
  \item \textbf{Једнакокраки троугао}: два крака једнака; трећа страница је основица.
\end{itemize}

\section*{Помоћна тврђења која се користе}

\begin{enumerate}[leftmargin=1.6em]
  \item Унакрсни углови су једнаки.
  \item Ако трансверзала сече две праве под једнаким наизменичним угловима,
    праве су паралелне, и обрнуто.
  \item Збир углова у троуглу је $180^\circ$.
  \item Спољашњи угао троугла једнак је збиру два несуседна унутрашња угла.
  \item Кроз три неколинеарне тачке пролази тачно један круг.
  \item Полупречник круга повучен у додирну тачку нормалан је на тангенту.
  \item Изометрија чува дужине дужи и величине углова.
  \item Наспрамне странице паралелограма су једнаке и паралелне; дијагонале
    се полове.
  \item Тежишне дужи троугла секу се у једној тачки (тежишту), која сваку од њих дели у односу $2:1$ рачунајући од темена.
  \item Тежишна дуж на хипотенузу правоуглог троугла једнака је половини хипотенузе (удвостручењем преко средишта добија се правоугаоник).
  \item Углови на основици једнакокраког трапеза су једнаки.
\end{enumerate}

\section*{Технике доказивања које се понављају}

\begin{itemize}[leftmargin=1.2em]
  \item \textbf{Удвостручење дужи преко средишта.} Продужимо $AD$ преко
    средишта $D$ до $H$ са $\len{DH}=\len{AD}$; добијамо паралелограм и
    подударне троуглове по СУС са унакрсним угловима (стране 01, 07, 10).
  \item \textbf{Троугао упоређен са самим собом.} $\triangle ABC \cong
    \triangle ACB$ доказује особине једнакокраког троугла (страна 08).
  \item \textbf{Помоћна тачка на страници.} Тачка $D\in BC$ са $\len{CD}=\len{CA}$
    претвара неједнакост страница у неједнакост углова (странe 09--11).
  \item \textbf{Свођење на правоугле троуглове.} Висине дају правоугле троуглове
    са заједничком хипотенузом (стране 02, 12, 13, 15, 19, 20, 23).
  \item \textbf{Пресек симетрала.} Центар уписаног, односно описаног круга
    везује једнакости углова, односно растојања (стране 03, 04, 14).
\end{itemize}

\section*{Преглед задатака}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{tabular}{@{}r l l@{}}
\toprule
 & Страна & Главни алат \\
\midrule
01 & Средња линија троугла & СУС, паралелограм \\
02 & Висине подударних троуглова & УСУ \\
03 & Уписани круг подударних троуглова & УСУ, висине (02) \\
04 & Описани круг подударних троуглова & изометрија, јединствен круг \\
05 & Наспрамне странице подударне $\Rightarrow$ паралелограм & ССС, наизменични углови \\
06 & Еквивалентни услови за паралелограм & преглед \\
07 & Две странице и тежишна дуж између њих & СУС, ССС \\
08 & Углови на основици једнакокраког троугла & ССС, УСУ \\
09 & Наспрам веће странице већи угао & једнакокраки, спољашњи угао \\
10 & Тежишна дуж и већа страница & СУС, страна 09 \\
11 & Висина и већа страница & збир углова, страна 09 \\
12 & Подударност са тежишном дужи ($a,c,t_a$; $a,h_a,t_a$) & ССС, правоугли, СУС \\
13 & Оштроугли троуглови са две висине & правоугли, УСУ \\
14 & Конструкција симетрале угла & СУС, УСУ, ССС \\
15 & Две странице и висина на једну од њих & правоугли, СУС \\
16 & Симетрала угла $BMN$ у једнакокраком троуглу & једнакокраки, наизменични углови \\
17 & Нормала на основицу једнакокраког троугла & збир углова, страна 08 \\
18 & Основица полови дуж $DE$ & паралела, УСУ; средња линија \\
19 & Збир растојања тачке основице од кракова & правоугли, УСУ; површине \\
20 & Квадрат: угао $EAF$ & правоугли, УСУ, ССУ \\
21 & Квадрат: збир три угла & СУС \\
22 & Дијагонала паралелограма подељена на три дела & тежиште \\
23 & Ортоцентар и услов $\lvert CH\rvert=\lvert AB\rvert$ & правоугли, УСУ \\
24 & Једнакокраки трапез са нормалним дијагоналама & СУС, тежишна дуж на хипотенузу \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\end{document}