Подударност троуглова · свеска

Квадрат: збир три угла

Теорема. У квадрату \(ABCD\) тачка \(E\) је на страници \(AB\), а тачка \(F\) на страници \(BC\), тако да је \(|BE|=|CF|\). Тада је \(\angle EAF + \angle EDF + \angle ECF\) \(= 90^\circ\).

A B C D E F
Дато \(ABCD\) квадрат, \(E \in AB\), \(F \in BC\), \(|BE|=|CF|\)
Доказати \(\angle EAF + \angle EDF + \angle ECF\) \(= 90^\circ\)
краци угла \(EDF\) дужи \(AF\), \(CE\)

Доказ

ТврђењеОбразложење
1.\(\triangle DCF \cong \triangle CBE\)став СУС: \(|DC|=|CB|\), \(\angle DCF=\angle CBE=90^\circ\), \(|CF|=|BE|\).
2.\(\angle ECF = \angle ECB = \angle FDC\)\(F \in BC\); одговарајући углови (1).
3.\(|AE| = |AB|-|BE| = |BC|-|CF| = |BF|\)странице квадрата и претпоставка.
4.\(\triangle ADE \cong \triangle BAF\)став СУС: \(|AD|=|BA|\), \(\angle DAE=\angle ABF=90^\circ\), \(|AE|=|BF|\) (3).
5.\(\angle EAF = \angle BAF = \angle ADE\)\(E \in AB\); одговарајући углови (4).
6.\(\angle ADE + \angle EDF + \angle FDC = \angle ADC = 90^\circ\)\(\angle ADE\) и \(\angle FDC\) су мањи од \(45^\circ\) (у правоуглим троугловима \(ADE\) и \(DCF\) наспрам су краће катете), па је полуправа \(DE\) између \(DA\) и \(DF\).
7.\(\angle EAF + \angle EDF + \angle ECF = 90^\circ\)из 2, 5 и 6.

∎

Напомене уз запис из свеске

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица) 
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Квадрат: збир три угла}
\end{center}

\begin{theorem}
У квадрату $ABCD$ тачка $E$ је на страници $AB$, а тачка $F$ на страници $BC$, тако да је $\len{BE}=\len{CF}$. Тада је $\angle EAF + \angle EDF + \angle ECF = 90^\circ$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=5.5, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (1,0);
  \coordinate (C) at (1,1);
  \coordinate (D) at (0,1);
  \coordinate (E) at (0.75,0);
  \coordinate (F) at (1,0.75);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick, teal!70!black] (A) -- (F);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (E);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (E);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (F);
  \draw ($(B)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(B)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(C)!0.5!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(C)!0.5!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=E--A--F};
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=A--D--E};
  \pic[draw, angle radius=14.38mm] {angle=F--D--C};
  \pic[draw, angle radius=14.38mm] {angle=E--C--B};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,F} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[below] at (E) {$E$};
  \node[right] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $ABCD$ квадрат, $E \in AB$, $F \in BC$, $\len{BE}=\len{CF}$. \\
\textbf{Доказати:} $\angle EAF + \angle EDF + \angle ECF = 90^\circ$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
1. & \triangle DCF \cong \triangle CBE & став СУС: $\len{DC}=\len{CB}$, $\angle DCF=\angle CBE=90^\circ$, $\len{CF}=\len{BE}$. \\
2. & \angle ECF = \angle ECB = \angle FDC & $F \in BC$; одговарајући углови (1). \\
3. & \len{AE} = \len{AB}-\len{BE} = \len{BC}-\len{CF} = \len{BF} & странице квадрата и претпоставка. \\
4. & \triangle ADE \cong \triangle BAF & став СУС: $\len{AD}=\len{BA}$, $\angle DAE=\angle ABF=90^\circ$, $\len{AE}=\len{BF}$ (3). \\
5. & \angle EAF = \angle BAF = \angle ADE & $E \in AB$; одговарајући углови (4). \\
6. & \angle ADE + \angle EDF + \angle FDC = \angle ADC = 90^\circ & $\angle ADE$ и $\angle FDC$ су мањи од $45^\circ$ (у правоуглим троугловима $ADE$ и $DCF$ наспрам су краће катете), па је полуправа $DE$ између $DA$ и $DF$. \\
7. & \angle EAF + \angle EDF + \angle ECF = 90^\circ & из 2, 5 и 6. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}