Подударност троуглова

Полупречник описаног круга подударних троуглова

Теорема. Подударни троуглови имају подударне полупречнике описаног круга. Прецизније: нека је \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\), и нека су \(k(O, R)\) и \(k_1(O_1, R_1)\) описани кругови тих троуглова. Тада је

\[ R = R_1. \]

Дато \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\)
\(k(O, R)\), \(k_1(O_1, R_1)\) описани кругови

Доказати \(R = R_1\)

полупречници \(R\), \(R_1\) описани кругови

Доказ

	Тврђење	Образложење
1.	постоји изометрија \(f\): \(f(A) = A_1\), \(f(B) = B_1\), \(f(C) = C_1\)	подударни троуглови: постоји изометрија која један преслика на други.
2.	\(\|OA\| = \|OB\| = \|OC\| = R\)	\(O\) је центар описаног круга \(k\).
3.	\(\|f(O)A_1\|\) \(= \|f(O)B_1\|\) \(= \|f(O)C_1\|\) \(= R\)	изометрија чува растојања (1, 2).
4.	круг \(k' = k(f(O), R)\) садржи \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\)	из 3: све три тачке су на растојању \(R\) од \(f(O)\).
5.	\(k' = k_1\)	кроз три неколинеарне тачке пролази тачно један круг.
6.	\(R = R_1\) (и \(O_1 = f(O)\))	исти круг има исти центар и полупречник (5).

∎

Напомене уз запис из свеске

Идеја из свеске је права, али закључак „\(k_1 = k_2\)" као што је записан не стоји: описани кругови два различита троугла су два различита круга. Јединственост круга кроз три неколинеарне тачке даје једнакост полупречника тек кад се посматра слика круга \(k\) при изометрији која \(ABC\) преслика на \(A_1B_1C_1\) (кораци 1 и 3): та слика је круг истог полупречника кроз \(A_1, B_1, C_1\), па се мора поклопити са \(k_1\).
Ознаке. Полупречник описаног круга обележен је са \(R\) (а \(r\) остаје за уписани круг), а кругови са \(k\) и \(k_1\) уместо \(k_1\) и \(k_2\), да прате индексе темена \(A_1B_1C_1\).

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Полупречник описаног круга подударних троуглова}
\end{center}

\begin{theorem}
Подударни троуглови имају подударне полупречнике описаног круга.
Прецизније: нека је $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$, и нека су
$k(O,R)$ и $k_1(O_1,R_1)$ описани кругови тих троуглова. Тада је $R = R_1$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8, every node/.style={font=\small}]
  \foreach \dx/\sfx in {0/{}, 10/{_1}} {
  \begin{scope}[xshift=\dx cm]
    \coordinate (A) at (0,0);  \coordinate (B) at (7,0);  \coordinate (C) at (4,6);
    \coordinate (O) at (3.5,2);
    \draw[teal!70!black] (O) circle (4.031);
    \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    \draw[dashed, gray] (O) -- (A) (O) -- (C);
    \draw[thick, red!70!black] (O) -- (B) node[midway, below] {$R\sfx$};
    \foreach \pt in {A,B,C,O} \fill (\pt) circle (1.4pt);
    \node[below left]  at (A) {$A\sfx$};
    \node[below right] at (B) {$B\sfx$};
    \node[above]       at (C) {$C\sfx$};
    \node[left]        at (O) {$O\sfx$};
  \end{scope}
  }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$; $k(O,R)$ и
$k_1(O_1,R_1)$ описани кругови. \\
\textbf{Доказати:} $R = R_1$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}l<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
1. & \exists f:\ f(A)=A_1,\ f(B)=B_1,\ f(C)=C_1 & подударни троуглови: постоји изометрија $f$ која један преслика на други. \\
2. & \len{OA}=\len{OB}=\len{OC}=R                & $O$ је центар описаног круга $k$. \\
3. & \len{f(O)A_1}=\len{f(O)B_1}=\len{f(O)C_1}=R & изометрија чува растојања (1, 2). \\
4. & k'=k\bigl(f(O),R\bigr) \ni A_1,B_1,C_1       & из 3: све три тачке су на растојању $R$ од $f(O)$. \\
5. & k'=k_1                                       & кроз три неколинеарне тачке пролази тачно један круг. \\
6. & R = R_1 \ (\text{и } O_1=f(O))               & исти круг има исти центар и полупречник (5). \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}