Подударност троуглова · свеска: задатак 9

Висина и већа страница

Задатак. Нека је \(AD\) висина троугла \(ABC\) (\(D \in BC\), углови код \(B\) и \(C\) оштри) и \(|AB| > |AC|\). Доказати да је

\[ \angle DAB > \angle DAC. \]

Дато \(AD\) висина, \(D \in BC\)
углови код \(B\) и \(C\) оштри
\(|AB| > |AC|\)

Доказати \(\angle DAB > \angle DAC\)

висина \(AD\)

Доказ

	Тврђење	Образложење
1.	\(\angle ACB > \angle ABC\)	наспрам веће странице \(AB\) је већи угао.
2.	\(\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ\)	\(AD\) је висина.
3.	\(\angle DAB = 90^\circ - \angle ABC\)	збир углова у правоуглом троуглу \(ABD\).
4.	\(\angle DAC = 90^\circ - \angle ACB\)	збир углова у правоуглом троуглу \(ACD\).
5.	\(\angle DAB > \angle DAC\)	из 3, 4 и 1.

∎

Напомене уз запис из свеске

Идеја из свеске је исправна: \(\angle ACB > \angle ABD\) и \(\angle DAB\) \(= 180^\circ - 90^\circ - \angle ABD\). Недостаје исти израз за \(\angle DAC\) (\(= 90^\circ - \angle ACB\), корак 4) и завршно поређење (корак 5).
Претпоставка о оштрим угловима код \(B\) и \(C\) обезбеђује да подножје \(D\) пада на страницу \(BC\); за тупоугли троугао треба посебно разматрање.
Поређење са тежишном дужи. Тежишна дуж гради већи угао са краћом страницом \(AC\), а висина са дужом страницом \(AB\).

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Висина и већа страница}
\end{center}

\begin{theorem}[задатак]
Нека је $AD$ висина троугла $ABC$ ($D \in BC$, углови код $B$ и $C$ оштри)
и $\len{AB} > \len{AC}$. Тада је $\angle DAB > \angle DAC$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (3.5,5);  \coordinate (B) at (0,0);  \coordinate (C) at (6,0);
  \coordinate (D) at (3.5,0);

  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (D);

  \pic[draw] {right angle=A--D--C};
  \pic[draw, angle radius=5mm]   {angle=B--A--D};
  \pic[draw, angle radius=6.5mm] {angle=B--A--D};
  \pic[draw, angle radius=5mm]   {angle=D--A--C};
  \pic[draw, angle radius=5.5mm] {angle=C--B--A};
  \pic[draw, angle radius=5.5mm] {angle=A--C--B};

  \foreach \pt in {A,B,C,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above]       at (A) {$A$};
  \node[below left]  at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below]       at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $AD$ висина ($D \in BC$), углови код $B$ и $C$ оштри,
$\len{AB} > \len{AC}$. \\
\textbf{Доказати:} $\angle DAB > \angle DAC$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}l<{$} p{7.2cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
1. & \angle ACB > \angle ABC                    & наспрам веће странице $AB$ је већи угао. \\
2. & \angle ADB = \angle ADC = 90^\circ         & $AD$ је висина. \\
3. & \angle DAB = 90^\circ - \angle ABC         & збир углова у правоуглом троуглу $ABD$. \\
4. & \angle DAC = 90^\circ - \angle ACB         & збир углова у правоуглом троуглу $ACD$. \\
5. & \angle DAB > \angle DAC                    & из 3, 4 и 1. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}