Конструкција симетрале угла

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles,intersections}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Конструкција симетрале угла}
\end{center}

\begin{theorem}[задатак]
Нека је $\angle pOq$ конвексан угао, $P,P_1\in p$ и $Q,Q_1\in q$ тачке
такве да је $\len{OP}=\len{OQ}$, $\len{OP_1}=\len{OQ_1}$ и
$\len{OP}<\len{OP_1}$, и нека је $S$ пресечна тачка дужи $PQ_1$ и $QP_1$.
Тада је $OS$ симетрала угла $pOq$, тј. $\angle SOP=\angle SOQ$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (O) at (0,0);
  \coordinate (P) at (2.4,0);   \coordinate (P1) at (4.8,0);
  \coordinate (Q) at (50:2.4);  \coordinate (Q1) at (50:4.8);
  \coordinate (S) at (intersection of P--Q1 and Q--P1);

  \draw[thick] (O) -- (5.3,0) node[right] {$p$};
  \draw[thick] (O) -- (50:5.3) node[above right] {$q$};
  \draw (P) -- (Q1);
  \draw (Q) -- (P1);
  \draw[thick, dashed, red!70!black] (O) -- (S);

  \pic[draw, angle radius=5mm] {angle=P--O--S};
  \pic[draw, angle radius=5mm] {angle=S--O--Q};

  % OP = OQ
  \foreach \p/\q in {O/P, O/Q} {
    \draw ($(\p)!0.5!(\q)!3pt!90:(\q)$) -- ($(\p)!0.5!(\q)!3pt!-90:(\q)$);
  }
  % PP1 = QQ1
  \foreach \p/\q in {P/P1, Q/Q1} {
    \draw ($(\p)!0.5!(\q)!1.5pt!(\p)!3pt!90:(\q)$) -- ($(\p)!0.5!(\q)!1.5pt!(\p)!3pt!-90:(\q)$);
    \draw ($(\p)!0.5!(\q)!1.5pt!(\q)!3pt!90:(\q)$) -- ($(\p)!0.5!(\q)!1.5pt!(\q)!3pt!-90:(\q)$);
  }

  \foreach \pt in {O,P,P1,Q,Q1,S} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left]  at (O)  {$O$};
  \node[below]       at (P)  {$P$};
  \node[below]       at (P1) {$P_1$};
  \node[above left]  at (Q)  {$Q$};
  \node[above left]  at (Q1) {$Q_1$};
  \node[right]       at (S)  {$S$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\len{OP}=\len{OQ}$, $\len{OP_1}=\len{OQ_1}$,
$\len{OP}<\len{OP_1}$; $S=PQ_1\cap QP_1$. \\
\textbf{Доказати:} $\angle SOP=\angle SOQ$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}l<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
1. & \len{PP_1}=\len{OP_1}-\len{OP}=\len{OQ_1}-\len{OQ}=\len{QQ_1} & распоред $O$--$P$--$P_1$ и $O$--$Q$--$Q_1$ ($\len{OP}<\len{OP_1}$). \\
2. & \triangle OPQ_1 \cong \triangle OQP_1            & став СУС: $\len{OP}=\len{OQ}$, $\angle POQ_1=\angle QOP_1$ (исти угао $pOq$), $\len{OQ_1}=\len{OP_1}$. \\
3. & \angle OQ_1P=\angle OP_1Q,\ \text{тј. } \angle SQ_1Q=\angle SP_1P & одговарајући углови (2); $S\in PQ_1$, $S\in QP_1$. \\
4. & \angle PSP_1=\angle QSQ_1                        & унакрсни углови ($P,S,Q_1$ колинеарне и $Q,S,P_1$ колинеарне). \\
5. & \triangle PP_1S \cong \triangle QQ_1S            & став УСУ: два угла (3, 4) и страница $\len{PP_1}=\len{QQ_1}$ (1); трећи угао је једнак због збира углова. \\
6. & \len{SP_1}=\len{SQ_1}                            & одговарајуће странице (5). \\
7. & \triangle OSP_1 \cong \triangle OSQ_1            & став ССС: $\len{OS}$ заједничка, $\len{SP_1}=\len{SQ_1}$ (6), $\len{OP_1}=\len{OQ_1}$. \\
8. & \angle SOP_1=\angle SOQ_1,\ \text{тј. } \angle SOP=\angle SOQ & одговарајући углови (7); $OS$ је симетрала. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}