Подударност троуглова · свеска: задатак 7

Углови на основици једнакокраког троугла

Теорема. У троуглу \(ABC\) важи

\[ |AB| = |AC| \iff \angle ABC = \angle ACB. \]

Дато троугао \(ABC\)

Доказати \(|AB| = |AC|\)
\(\iff\)
\(\angle ABC = \angle ACB\)

Доказ

Троугао \(ABC\) упоређујемо са самим собом, са кореспонденцијом темена \(A \to A\), \(B \to C\), \(C \to B\).

	Тврђење	Образложење
(⇒) Нека је \(\|AB\| = \|AC\|\).
1.	\(\|AB\| = \|AC\|,\ \|AC\|\) \(= \|AB\|,\ \|BC\|\) \(= \|CB\|\)	претпоставка и заједничка страница.
2.	\(\triangle ABC \cong \triangle ACB\)	став ССС (1); кореспонденција \(A \to A\), \(B \to C\), \(C \to B\).
3.	\(\angle ABC = \angle ACB\)	одговарајући углови (2).
(⇐) Нека је \(\angle ABC = \angle ACB\).
4.	\(\angle ABC\) \(= \angle ACB,\ \|BC\|\) \(= \|CB\|,\ \angle ACB\) \(= \angle ABC\)	претпоставка и заједничка страница.
5.	\(\triangle ABC \cong \triangle ACB\)	став УСУ (4).
6.	\(\|AB\| = \|AC\|\)	одговарајуће странице (5).

∎

Напомене уз запис из свеске

Кључна идеја из свеске је да се троугао \(ABC\) упореди са самим собом при замени \(B \leftrightarrow C\) (\(\triangle ABC \cong \triangle ACB\)). То је исправно и ради у оба смера.
Обрнут смер је у свесци рађен и преко симетрале \(AD\): \(\angle BAD = \angle CAD\), \(AD = DA\), \(\angle BDA\) \(= \angle CDA\) \(\Rightarrow \triangle ABD \cong \triangle ACD\) (УСУ). Једнакост \(\angle BDA = \angle CDA\) није образложена (следи из збира углова у троугловима \(ABD\) и \(ACD\)), а и није потребна: УСУ се примењује директно на \(\triangle ABC\) и \(\triangle ACB\).
Реченица „У троуглу наспрам већег угла је већа страница и обрнуто" на крају странице је наредна теорема (страна 09).

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Углови на основици једнакокраког троугла}
\end{center}

\begin{theorem}
У троуглу $ABC$ важи $\len{AB}=\len{AC}$ ако и само ако је
$\angle ABC=\angle ACB$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (3,5.25); \coordinate (B) at (0,0); \coordinate (C) at (6,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \foreach \p/\q in {A/B, A/C} {
    \draw ($(\p)!0.5!(\q)!3pt!90:(\q)$) -- ($(\p)!0.5!(\q)!3pt!-90:(\q)$);
  }
  \pic[draw, angle radius=6mm] {angle=C--B--A};
  \pic[draw, angle radius=6mm] {angle=A--C--B};
  \foreach \pt in {A,B,C} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above]       at (A) {$A$};
  \node[below left]  at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} троугао $ABC$. \\
\textbf{Доказати:} $\len{AB}=\len{AC} \iff \angle ABC=\angle ACB$.

\begin{proof}
Троугао $ABC$ упоређујемо са самим собом, са кореспонденцијом темена
$A\to A$, $B\to C$, $C\to B$.

\medskip
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}l<{$} p{7.2cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}l}{($\Rightarrow$) Нека је $\len{AB}=\len{AC}$.} \\
1. & \len{AB}=\len{AC},\ \len{AC}=\len{AB},\ \len{BC}=\len{CB} & претпоставка и заједничка страница. \\
2. & \triangle ABC\cong\triangle ACB & став ССС (1); кореспонденција $A\to A$, $B\to C$, $C\to B$. \\
3. & \angle ABC=\angle ACB & одговарајући углови (2). \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}l}{($\Leftarrow$) Нека је $\angle ABC=\angle ACB$.} \\
4. & \angle ABC=\angle ACB,\ \len{BC}=\len{CB},\ \angle ACB=\angle ABC & претпоставка и заједничка страница. \\
5. & \triangle ABC\cong\triangle ACB & став УСУ (4). \\
6. & \len{AB}=\len{AC} & одговарајуће странице (5). \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}