Подударност троуглова · свеска: задатак 11

Оштроугли троуглови са две висине

Теорема. Оштроугли троуглови \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) су подударни ако им се подударају страница \(a = |BC|\) и висине \(h_b\) и \(h_c\).

Ознаке: \(E\) подножје висине из \(C\) на \(AB\), \(h_c = |CE|\); \(D\) подножје висине из \(B\) на \(AC\), \(h_b = |BD|\); исто са индексом \(1\). Пошто су троуглови оштроугли, \(E\) је између \(A\) и \(B\), а \(D\) између \(A\) и \(C\).

Дато \(\triangle ABC\), \(\triangle A_1B_1C_1\) оштроугли
\(a = a_1\), \(h_b = h_{b_1}\), \(h_c = h_{c_1}\)

Доказати \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\)

висине \(h_b\), \(h_c\)

Доказ

	Тврђење	Образложење
1.	\(\angle BEC\) \(= \angle B_1E_1C_1\) \(= 90^\circ\)	\(CE\), \(C_1E_1\) су висине.
2.	\(\triangle BEC \cong \triangle B_1E_1C_1\)	правоугли троуглови са подударним хипотенузама \(\|BC\| = a = a_1\) и катетама \(\|CE\| = h_c = h_{c_1}\).
3.	\(\angle ABC = \angle A_1B_1C_1\)	\(\angle EBC = \angle E_1B_1C_1\) из 2, а \(E \in AB\), \(E_1 \in A_1B_1\).
4.	\(\triangle BDC \cong \triangle B_1D_1C_1\)	правоугли (\(\angle BDC = 90^\circ\)), хипотенузе \(\|BC\| = \|B_1C_1\|\), катете \(\|BD\| = h_b = h_{b_1}\).
5.	\(\angle ACB = \angle A_1C_1B_1\)	\(\angle DCB = \angle D_1C_1B_1\) из 4, а \(D \in AC\), \(D_1 \in A_1C_1\).
6.	\(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\)	став УСУ: \(\angle B\), \(a\), \(\angle C\) (3, претпоставка, 5).

∎

Напомене уз запис из свеске

Три случаја. Задатак 11 у свесци наводи: а) \(a\), \(c\), \(h_c\); б) \(a\), \(b\), \(h_a\); в) \(a\), \(h_b\), \(h_c\). Доказан је само в), који је овде форматиран (у свесци обележен као „c)").
Два записа истог доказа. Први има подножја \(G \in AC\) и \(D \in AB\): \(\triangle CDB \cong \triangle C_1D_1B_1\), \(\triangle GBC \cong \triangle G_1B_1C_1\), други \(E \in AB\) и \(D \in AC\) и он завршава доказ (\(\angle EBC\), \(\angle DCB\), па \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\)); ознаке су узете из другог.
Претпоставка „оштроугли" је потребна. Ако би угао код \(B\) био туп, подножје \(E\) би пало ван странице \(AB\) и \(\angle EBC\) би био напоредан углу \(\angle ABC\), па корак 3 не би важио без додатног разматрања.

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Оштроугли троуглови са две висине}
\end{center}

\begin{theorem}
Оштроугли троуглови $ABC$ и $A_1B_1C_1$ су подударни ако им се подударају
страница $a=\len{BC}$ и висине $h_b$ и $h_c$.
Ознаке: $E$ подножје висине из $C$ на $AB$, $h_c=\len{CE}$; $D$ подножје
висине из $B$ на $AC$, $h_b=\len{BD}$; исто са индексом $1$. Пошто су
троуглови оштроугли, $E$ је између $A$ и $B$, а $D$ између $A$ и $C$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9, every node/.style={font=\small}]
  \foreach \dx/\sfx in {0/{}, 6.5/{_1}} {
  \begin{scope}[xshift=\dx cm]
    \coordinate (A) at (2.4,4.2);  \coordinate (B) at (0,0);  \coordinate (C) at (5.2,0);
    \coordinate (E) at ($(A)!(C)!(B)$);
    \coordinate (D) at ($(A)!(B)!(C)$);
    \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    \draw[thick, red!70!black] (C) -- (E) node[pos=0.55, below left] {$h_c\sfx$};
    \draw[thick, red!70!black] (B) -- (D) node[pos=0.45, above left] {$h_b\sfx$};
    \pic[draw] {right angle=B--E--C};
    \pic[draw] {right angle=C--D--B};
    \foreach \pt in {A,B,C,D,E} \fill (\pt) circle (1.4pt);
    \node[above]       at (A) {$A\sfx$};
    \node[below left]  at (B) {$B\sfx$};
    \node[below right] at (C) {$C\sfx$};
    \node[above right] at (D) {$D\sfx$};
    \node[above left]  at (E) {$E\sfx$};
  \end{scope}
  }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\triangle ABC$, $\triangle A_1B_1C_1$ оштроугли;
$a=a_1$, $h_b=h_{b_1}$, $h_c=h_{c_1}$. \\
\textbf{Доказати:} $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}l<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
1. & \angle BEC = \angle B_1E_1C_1 = 90^\circ      & $CE$, $C_1E_1$ су висине. \\
2. & \triangle BEC \cong \triangle B_1E_1C_1       & правоугли троуглови са подударним хипотенузама ($\len{BC}=a=a_1$) и катетама ($\len{CE}=h_c=h_{c_1}$). \\
3. & \angle ABC = \angle A_1B_1C_1                 & $\angle EBC=\angle E_1B_1C_1$ из 2, а $E\in AB$, $E_1\in A_1B_1$. \\
4. & \triangle BDC \cong \triangle B_1D_1C_1       & правоугли ($\angle BDC=90^\circ$), хипотенузе $\len{BC}=\len{B_1C_1}$, катете $\len{BD}=h_b=h_{b_1}$. \\
5. & \angle ACB = \angle A_1C_1B_1                 & $\angle DCB=\angle D_1C_1B_1$ из 4, а $D\in AC$, $D_1\in A_1C_1$. \\
6. & \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1       & став УСУ: $\angle B$, $a$, $\angle C$ (3, претпоставка, 5). \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}