Подударност троуглова · свеска

Ортоцентар и услов \(|CH|=|AB|\)

Теорема. Нека је \(H\) ортоцентар оштроуглог троугла \(ABC\) и \(|CH|=|AB|\). Тада је \(\angle ACB = 45^\circ\).

Дато \(\triangle ABC\) оштроугли, \(H\) ортоцентар, \(|CH|=|AB|\)

Доказати \(\angle ACB = 45^\circ\)

висина \(CF\) висина \(BQ\)

Доказ

	Тврђење	Образложење
Ознаке: \(Q\), \(F\), \(G\) су подножја висина из \(B\), \(C\), \(A\); троугао је оштроугли, па је \(H\) унутар троугла, \(Q\) између \(A\) и \(C\), а \(F\) између \(A\) и \(B\).
1.	\(\angle AQB = \angle HQC = 90^\circ\)	\(BQ\) је висина и \(H \in BQ\).
2.	\(\angle ABQ = 90^\circ - \angle BAC\)	збир углова у правоуглом \(\triangle ABQ\).
3.	\(\angle QCH = \angle ACF = 90^\circ - \angle BAC\)	\(H \in CF\); збир углова у правоуглом \(\triangle AFC\).
4.	\(\triangle AQB \cong \triangle HQC\)	правоугли (1) са подударним хипотенузама \(\|AB\|=\|HC\|\) и једнаким оштрим углом (2, 3); трећи углови су једнаки, па важи став УСУ.
5.	\(\|QB\| = \|QC\|\)	одговарајуће странице (4).
6.	\(\angle QCB = \angle QBC = 45^\circ\)	\(\triangle BQC\) је правоугли код \(Q\) и једнакокрак (5).
7.	\(\angle ACB = 45^\circ\)	\(Q \in AC\), па је \(\angle ACB=\angle QCB\).

∎

Напомене уз запис из свеске

Провера. Доказ из свеске је исправан: \(\triangle AQB \cong \triangle HQC\), одатле \(|QB| = |QC|\), па је \(\triangle QCB\) једнакокраки правоугли и \(\angle QCB = 45^\circ\).
Запис. У свесци стоји „\(\angle ABQ = 90^\circ - \angle BAE\)“; мисли се на угао \(\angle BAC\) (теме \(A\), краци ка \(B\) и \(Q\)). Тачка \(C_1\) испод основице на скици се у доказу не користи.
Други случај. Поставка у свесци не каже да је троугао оштроугли. Ако је угао код \(C\) туп, исти услов \(|CH| = |AB|\) даје \(\angle ACB = 135^\circ\): подножје \(Q\) је тада на продужетку странице \(AC\) преко \(C\), опет је \(|QB| = |QC|\), али је \(\angle ACB = 180^\circ - 45^\circ\). Са скицом из свеске (оштроугли троугао) одговор је \(45^\circ\).

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Ортоцентар и услов $\len{CH}=\len{AB}$}
\end{center}

\begin{theorem}
Нека је $H$ ортоцентар оштроуглог троугла $ABC$ и $\len{CH}=\len{AB}$. Тада је $\angle ACB = 45^\circ$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (4,0);
  \coordinate (C) at (1.5,4.78);
  \coordinate (F) at (1.5,0);
  \coordinate (Q) at (0.36,1.14);
  \coordinate (G) at (3.14,1.64);
  \coordinate (H) at (1.5,0.78);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (F);
  \draw[thick, teal!70!black] (B) -- (Q);
  \draw (A) -- (G);
  \pic[draw] {right angle=C--Q--B};
  \pic[draw] {right angle=B--F--C};
  \pic[draw] {right angle=C--G--A};
  \draw ($(A)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(A)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(C)!0.5!(H)!3pt!90:(H)$) -- ($(C)!0.5!(H)!3pt!-90:(H)$);
  \pic[draw, angle radius=8.13mm] {angle=Q--B--A};
  \pic[draw, angle radius=8.13mm] {angle=Q--C--H};
  \foreach \pt in {A,B,C,F,Q,G,H} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (F) {$F$};
  \node[above left] at (Q) {$Q$};
  \node[above right] at (G) {$G$};
  \node[below left] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\triangle ABC$ оштроугли, $H$ ортоцентар, $\len{CH}=\len{AB}$. \\
\textbf{Доказати:} $\angle ACB = 45^\circ$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}p{13.5cm}}{\emph{Ознаке: $Q$, $F$, $G$ су подножја висина из $B$, $C$, $A$; троугао је оштроугли, па је $H$ унутар троугла, $Q$ између $A$ и $C$, а $F$ између $A$ и $B$.}} \\
1. & \angle AQB = \angle HQC = 90^\circ & $BQ$ је висина и $H \in BQ$. \\
2. & \angle ABQ = 90^\circ - \angle BAC & збир углова у правоуглом $\triangle ABQ$. \\
3. & \angle QCH = \angle ACF = 90^\circ - \angle BAC & $H \in CF$; збир углова у правоуглом $\triangle AFC$. \\
4. & \triangle AQB \cong \triangle HQC & правоугли (1) са подударним хипотенузама $\len{AB}=\len{HC}$ и једнаким оштрим углом (2, 3); трећи углови су једнаки, па важи став УСУ. \\
5. & \len{QB} = \len{QC} & одговарајуће странице (4). \\
6. & \angle QCB = \angle QBC = 45^\circ & $\triangle BQC$ је правоугли код $Q$ и једнакокрак (5). \\
7. & \angle ACB = 45^\circ & $Q \in AC$, па је $\angle ACB=\angle QCB$. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}