Основица полови дуж \(DE\)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Основица полови дуж $DE$}
\end{center}

\begin{theorem}
Нека је $ABC$ једнакокраки троугао са основицом $AB$, $D$ тачка на продужетку крака $CA$ преко $A$ (распоред $D$--$A$--$C$), а $E$ тачка крака $BC$ (распоред $C$--$E$--$B$), тако да је $\len{AD}=\len{BE}$. Тада основица $AB$ полови дуж $DE$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (2,0);
  \coordinate (C) at (1,3.4);
  \coordinate (D) at (-0.45,-1.53);
  \coordinate (E) at (1.55,1.53);
  \coordinate (G) at (-0.9,0);
  \coordinate (H) at (0.55,0);
  \draw[thick] (D) -- (C);
  \draw[thick] (B) -- (C);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (E);
  \draw[thick] (G) -- (B);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (D) -- (G);
  \draw ($(A)!0.47!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(A)!0.47!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(A)!0.53!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(A)!0.53!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(B)!0.47!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(B)!0.47!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(B)!0.53!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(B)!0.53!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(D)!0.47!(G)!3pt!90:(G)$) -- ($(D)!0.47!(G)!3pt!-90:(G)$);
  \draw ($(D)!0.53!(G)!3pt!90:(G)$) -- ($(D)!0.53!(G)!3pt!-90:(G)$);
  \pic[draw, angle radius=5mm] {angle=D--G--A};
  \pic[draw, angle radius=5mm] {angle=G--A--D};
  \pic[draw, angle radius=5mm] {angle=C--B--A};
  \pic[draw, angle radius=5mm] {angle=B--A--C};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,G,H} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below right] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below left] at (D) {$D$};
  \node[right] at (E) {$E$};
  \node[above left] at (G) {$G$};
  \node[below right] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (2,0);
  \coordinate (C) at (1,3.4);
  \coordinate (D) at (-0.45,-1.53);
  \coordinate (E) at (1.55,1.53);
  \coordinate (H) at (0.45,1.53);
  \coordinate (F) at (0.55,0);
  \draw[thick] (D) -- (C);
  \draw[thick] (B) -- (C);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (E);
  \draw[thick] (A) -- (B);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (0.05,1.53) -- (2.25,1.53);
  \draw ($(A)!0.47!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(A)!0.47!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(A)!0.53!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(A)!0.53!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(B)!0.47!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(B)!0.47!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(B)!0.53!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(B)!0.53!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(A)!0.47!(H)!3pt!90:(H)$) -- ($(A)!0.47!(H)!3pt!-90:(H)$);
  \draw ($(A)!0.53!(H)!3pt!90:(H)$) -- ($(A)!0.53!(H)!3pt!-90:(H)$);
  \pic[draw, angle radius=5mm] {angle=E--H--C};
  \pic[draw, angle radius=5mm] {angle=C--E--H};
  \pic[draw, angle radius=5mm] {angle=C--B--A};
  \pic[draw, angle radius=5mm] {angle=B--A--C};
  \node[above, teal!70!black] at ($(0.05,1.53)!1!(2.25,1.53)$) {$p$};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,H,F} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below left] at (D) {$D$};
  \node[above right] at (E) {$E$};
  \node[above left] at (H) {$H$};
  \node[below right] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\len{AC}=\len{BC}$, $D$--$A$--$C$, $C$--$E$--$B$, $\len{AD}=\len{BE}$. \\
\textbf{Доказати:} пресек $AB \cap DE$ је средиште дужи $DE$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}p{13.5cm}}{\emph{Први начин (права кроз $D$ паралелна са $BC$); $AB \cap DE = \{H\}$.}} \\
1. & G:\ DG \parallel BC,\ G \in AB & конструкција: права кроз $D$ паралелна са $BC$ сече праву $AB$ у $G$; распоред је $G$--$A$--$B$. \\
2. & \angle DGA = \angle ABC & наизменични углови: $DG \parallel BC$, трансверзала $AB$. \\
3. & \angle DAG = \angle BAC = \angle ABC & унакрсни углови ($D$--$A$--$C$, $G$--$A$--$B$); углови на основици (страна 08). \\
4. & \len{DG} = \len{DA} = \len{BE} & у $\triangle DGA$ углови код $G$ и $A$ су једнаки (2, 3), па је једнакокрак; претпоставка $\len{AD}=\len{BE}$. \\
5. & \angle DGH = \angle EBH,\ \angle GDH = \angle BEH & наизменични углови: $DG \parallel BE$, трансверзале $GB$ и $DE$. \\
6. & \triangle DGH \cong \triangle EBH & став УСУ: $\len{DG}=\len{EB}$ (4) и налегли углови (5). \\
7. & \len{DH} = \len{HE} & одговарајуће странице (6). \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}p{13.5cm}}{\emph{Други начин (права кроз $E$ паралелна са $AB$); ознаке као на другој скици, $AB \cap DE = \{F\}$.}} \\
8. & H:\ EH \parallel AB,\ H \in AC & конструкција: права $p$ кроз $E$ паралелна са $AB$ сече крак $AC$ у $H$. \\
9. & \angle CHE = \angle CAB = \angle CBA = \angle CEH & сагласни углови ($HE \parallel AB$) и углови на основици. \\
10. & \len{CH} = \len{CE} & $\triangle CHE$ има једнаке углове код $H$ и $E$ (9). \\
11. & \len{AH} = \len{CA}-\len{CH} = \len{CB}-\len{CE} = \len{BE} & $H$ је између $A$ и $C$, $E$ између $B$ и $C$; краци су једнаки, корак 10. \\
12. & A \text{ је средиште дужи } DH & $\len{AH}=\len{BE}=\len{AD}$ (11, претпоставка) и распоред $D$--$A$--$H$. \\
13. & \len{DF} = \len{FE} & у $\triangle DHE$ права $AF$ пролази кроз средиште странице $DH$ и паралелна је са $HE$, па полови $DE$: средња линија из $A$ је паралелна са $HE$ (страна 01), а кроз $A$ постоји само једна таква права. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}