Подударност троуглова · свеска: задатак 7

Наспрам веће странице већи угао

Теорема. Ако је у троуглу \(ABC\) \(|BC| > |AC|\), онда је

\[ \angle BAC > \angle ABC. \]

Дато троугао \(ABC\)
\(|BC| > |AC|\)

Доказати \(\angle BAC > \angle ABC\)

помоћна дуж \(AD\), \(|CD| = |CA|\)

Доказ

Конструкција. На страници \(BC\) изаберемо тачку \(D\) тако да је \(|CD| = |CA|\) (постоји јер је \(|CA| < |CB|\)).

	Тврђење	Образложење
1.	\(\|CD\| = \|CA\|\)	конструкција.
2.	\(\angle CAD = \angle CDA\)	\(\triangle ACD\) је једнакокраки (1).
3.	\(\angle CDA\) \(= \angle DAB + \angle ABD\)	спољашњи угао троугла \(ABD\) код темена \(D\) једнак је збиру два несуседна унутрашња угла.
4.	\(\angle ABC\) \(= \angle CDA - \angle DAB\) \(= \angle CAD - \angle DAB\)	\(\angle ABD = \angle ABC\); из 3 и 2.
5.	\(\angle ABC < \angle CAD\)	из 4, јер је \(\angle DAB > 0\).
6.	\(\angle CAD < \angle BAC\)	\(D\) је између \(B\) и \(C\), па је полуправа \(AD\) унутар угла \(BAC\).
7.	\(\angle BAC > \angle ABC\)	из 5 и 6.

∎

Последица (обрнуто тврђење). Наспрам већег угла је већа страница: ако је \(\angle BAC > \angle ABC\), онда је \(|BC| > |AC|\). Доказ: ако би било \(|BC| = |AC|\), било би \(\angle BAC = \angle ABC\) (једнакокраки троугао); ако би било \(|BC| < |AC|\), било би \(\angle BAC < \angle ABC\) (ова теорема). Оба противрече претпоставци.

Напомене уз запис из свеске

Спољашњи угао. Запис у свесци о спољашњем углу као збиру два несуседна унутрашња угла је теорема која се овде користи (корак 3).
Исправка реда. Ред „\(\angle CAD = \angle DAB + \angle B\)" у свесци треба да гласи \(\angle CDA = \angle DAB + \angle B\), јер је спољашњи угао код темена \(D\); тек затим се користи \(\angle CDA = \angle CAD\) (једнакокраки троугао).
Завршетак „\(\angle ABC\) \(= \angle CAD - \angle DAB\) \(< \angle CAD\) \(< \angle BAC\)" из свеске је тачан и пренет као кораци 4–7.
Обрнуто тврђење (наспрам већег угла већа страница) у свесци је само исказано; додат је кратак доказ свођењем на противречност.

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Наспрам веће странице већи угао}
\end{center}

\begin{theorem}
Ако је у троуглу $ABC$ $\len{BC} > \len{AC}$, онда је
$\angle BAC > \angle ABC$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);  \coordinate (B) at (7,0);  \coordinate (C) at (2,4.5);
  % D на BC, |CD| = |CA| = 4.924, |CB| = 6.727
  \coordinate (D) at ($(C)!0.732!(B)$);

  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (D);

  % CA = CD
  \foreach \p/\q in {C/A, C/D} {
    \draw ($(\p)!0.5!(\q)!3pt!90:(\q)$) -- ($(\p)!0.5!(\q)!3pt!-90:(\q)$);
  }

  \pic[draw, angle radius=6mm] {angle=B--A--C};
  \pic[draw, angle radius=8.5mm] {angle=B--A--D};
  \pic[draw, angle radius=4mm] {angle=D--A--C};
  \pic[draw, angle radius=4mm] {angle=C--D--A};
  \pic[draw, angle radius=5.5mm] {angle=C--B--A};

  \foreach \pt in {A,B,C,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left]  at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above]       at (C) {$C$};
  \node[above right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} троугао $ABC$, $\len{BC} > \len{AC}$. \\
\textbf{Доказати:} $\angle BAC > \angle ABC$.

\begin{proof}
\emph{Конструкција.} На страници $BC$ изаберемо тачку $D$ тако да је
$\len{CD} = \len{CA}$ (постоји јер је $\len{CA} < \len{CB}$).

\medskip
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}l<{$} p{7.2cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
1. & \len{CD} = \len{CA}                                   & конструкција. \\
2. & \angle CAD = \angle CDA                               & $\triangle ACD$ је једнакокраки (1). \\
3. & \angle CDA = \angle DAB + \angle ABD                  & спољашњи угао троугла $ABD$ код темена $D$ једнак је збиру два несуседна унутрашња угла. \\
4. & \angle ABC = \angle CDA - \angle DAB = \angle CAD - \angle DAB & $\angle ABD = \angle ABC$; из 3 и 2. \\
5. & \angle ABC < \angle CAD                              & из 4, јер је $\angle DAB > 0$. \\
6. & \angle CAD < \angle BAC                              & $D$ је између $B$ и $C$, па је полуправа $AD$ унутар угла $BAC$. \\
7. & \angle BAC > \angle ABC                              & из 5 и 6. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\noindent
\emph{Последица (обрнуто тврђење).} Наспрам већег угла је већа страница:
ако је $\angle BAC > \angle ABC$, онда је $\len{BC} > \len{AC}$. Доказ: ако би било
$\len{BC} = \len{AC}$, било би $\angle BAC = \angle ABC$ (једнакокраки троугао);
ако би било $\len{BC} < \len{AC}$, било би $\angle BAC < \angle ABC$ (ова теорема).
Оба противрече претпоставци.

\end{document}