Подударност троуглова · преглед

Еквивалентни услови за паралелограм

Нека је \(ABCD\) конвексан четвороугао. Посматрамо следеће услове:

\(AB \parallel CD\) и \(AD \parallel BC\) — дефиниција паралелограма.
\(|AB| = |CD|\) и \(|AD| = |BC|\) — наспрамне странице подударне.
\(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\) — наспрамни углови подударни.
(2′) суседни углови суплементни: \(\angle A + \angle B\) \(= \angle B + \angle C\) \(= \dots\) \(= 180^\circ\).
\(|AB| = |CD|\) и \(AB \parallel CD\) — један пар наспрамних страница подударан и паралелан.
\(|AB| = |CD|\) и \(AD \parallel BC\).
дијагонале \(AC\) и \(BD\) се полове.

Теорема. Услови (1), (2), (3), (2′), (4) и (6) су међусобно еквивалентни: сваки од њих важи ако и само ако је \(ABCD\) паралелограм. Услов (5) није довољан: из (5) не следи (1).

⇔ еквивалентно са (1) важи само (1) ⇒ (5)

Противпример за услов (5)

У једнакокраком трапезу \(ABCD\) са основицама \(AD \parallel BC\) и крацима \(|AB| = |CD|\) услов (5) важи, а \(AB \nparallel CD\), па четвороугао није паралелограм. Дакле подударност једног пара наспрамних страница и паралелност другог пара не гарантују паралелограм; код услова (4) исти пар је и подударан и паралелан, и то је довољно.

Напомене уз запис из свеске

Свеска наводи услове (1)–(6) и дијаграмом стрелица бележи које су импликације међу њима доказане; овде је исти дијаграм нацртан са централним чвором (1), јер се свака еквиваленција доказује преко дефиниције.
Услов (2) је теорема доказана на страни „Четвороугао са подударним наспрамним страницама".
Услов (5) је у свесци означен упитно (слово „W" испод дијаграма). Заиста не важи као довољан: једнакокраки трапез је противпример.

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Еквивалентни услови за паралелограм}
\end{center}

\noindent
Нека је $ABCD$ конвексан четвороугао. Посматрамо следеће услове:
\begin{enumerate}
  \item[(1)] $AB\parallel CD$ и $AD\parallel BC$ \ (дефиниција паралелограма);
  \item[(2)] $\len{AB}=\len{CD}$ и $\len{AD}=\len{BC}$ \ (наспрамне странице подударне);
  \item[(3)] $\angle A=\angle C$ и $\angle B=\angle D$ \ (наспрамни углови подударни);
  \item[(2$'$)] суседни углови су суплементни: $\angle A+\angle B=\angle B+\angle C=\dots=180^\circ$;
  \item[(4)] $\len{AB}=\len{CD}$ и $AB\parallel CD$ \ (један пар наспрамних страница подударан и паралелан);
  \item[(5)] $\len{AB}=\len{CD}$ и $AD\parallel BC$;
  \item[(6)] дијагонале $AC$ и $BD$ се полове.
\end{enumerate}

\begin{theorem}
Услови (1), (2), (3), (2$'$), (4) и (6) су међусобно еквивалентни:
сваки од њих важи ако и само ако је $ABCD$ паралелограм.
Услов (5) није довољан: из (5) не следи (1).
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
  every node/.style={font=\small},
  box/.style={draw, rounded corners, text width=3.1cm, align=center, inner sep=4pt},
  main/.style={box, thick, text width=3.4cm}
]
  \node[main] (n1) at (0,0)      {(1) паралелограм \\ $AB\parallel CD$, $AD\parallel BC$};
  \node[box]  (n2) at (-4.6,2.7) {(2) наспрамне странице подударне};
  \node[box]  (n2p) at (0,2.7)   {(2$'$) суседни углови суплементни};
  \node[box]  (n3) at (4.6,2.7)  {(3) наспрамни углови подударни};
  \node[box]  (n4) at (-4.6,-2.7){(4) $\len{AB}=\len{CD}$ и $AB\parallel CD$};
  \node[box]  (n6) at (0,-2.7)   {(6) дијагонале се полове};
  \node[box, dashed] (n5) at (4.6,-2.7) {(5) $\len{AB}=\len{CD}$ и $AD\parallel BC$};

  \foreach \n in {n2, n2p, n3, n4, n6} \draw[<->, thick] (n1) -- (\n);
  \draw[->, dashed] (n1) -- (n5) node[midway, sloped, above, font=\scriptsize] {само $\Rightarrow$};

  % противпример: једнакокраки трапез
  \begin{scope}[shift={(4.6,-4.6)}, scale=0.5]
    \coordinate (A) at (-1.4,0); \coordinate (B) at (-0.8,1.2);
    \coordinate (C) at (0.8,1.2);  \coordinate (D) at (1.4,0);
    \draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
    \node[below, font=\scriptsize] at (A) {$A$};
    \node[above, font=\scriptsize] at (B) {$B$};
    \node[above, font=\scriptsize] at (C) {$C$};
    \node[below, font=\scriptsize] at (D) {$D$};
  \end{scope}
  \node[font=\scriptsize, text width=3.1cm, align=center] at (4.6,-5.9)
    {једнакокраки трапез: важи (5), није паралелограм};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\emph{Противпример за (5).} У једнакокраком трапезу $ABCD$ са основицама
$AD\parallel BC$ и крацима $\len{AB}=\len{CD}$ услов (5) важи, а
$AB\nparallel CD$, па четвороугао није паралелограм.

\medskip
\noindent
\emph{Напомене уз запис из свеске.} Свеска наводи ове услове и дијаграм
стрелицама бележи које су импликације доказане. Услов (2) је теорема
са претходне стране. Услов (5) је у свесци означен упитно и заиста не
важи као довољан.

\end{document}