Висине подударних троуглова

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Висине подударних троуглова}
\end{center}

\begin{theorem}
Подударни троуглови имају подударне одговарајуће висине.
Прецизније: нека је $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ и нека су
$AG$ и $DH$ висине из темена $A$ и $D$ ($G\in BC$, $H\in EF$).
Тада је
\[
  \len{AG} = \len{DH}, \qquad\text{тј.}\qquad h_a = h_d .
\]
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (2,4.6);  \coordinate (B) at (0,0);  \coordinate (C) at (5,0);
  \coordinate (G) at (2,0);
  \coordinate (D) at (8,4.6);  \coordinate (E) at (6,0);  \coordinate (F) at (11,0);
  \coordinate (H) at (8,0);

  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick] (D) -- (E) -- (F) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (G) node[midway, right] {$h_a$};
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (H) node[midway, right] {$h_d$};

  \pic[draw] {right angle=B--G--A};
  \pic[draw] {right angle=E--H--D};
  \pic[draw, angle radius=6mm] {angle=C--B--A};
  \pic[draw, angle radius=6mm] {angle=F--E--D};

  % AB = DE
  \foreach \p/\q in {A/B, D/E} {
    \draw ($(\p)!0.5!(\q)!3pt!90:(\q)$) -- ($(\p)!0.5!(\q)!3pt!-90:(\q)$);
  }

  \foreach \pt in {A,B,C,G,D,E,F,H} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};  \node[below] at (G) {$G$};
  \node[above] at (D) {$D$};  \node[below left] at (E) {$E$};
  \node[below right] at (F) {$F$};  \node[below] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, \ $AG\perp BC$, \ $DH\perp EF$. \\
\textbf{Доказати:} $\len{AG}=\len{DH}$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}l<{$} p{7.6cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
1. & \len{AB}=\len{DE}                      & одговарајуће странице подударних троуглова. \\
2. & \angle ABC = \angle DEF                & одговарајући углови подударних троуглова. \\
3. & \angle ABG = \angle DEH                & из 2; ако подножје висине пада ван странице, оба угла су напоредни угловима из 2. \\
4. & \angle AGB = \angle DHE = 90^\circ     & $AG$ и $DH$ су висине. \\
5. & \angle BAG = \angle EDH                & збир углова у троуглу је $180^\circ$; из 3 и 4. \\
6. & \triangle ABG \cong \triangle DEH      & став УСУ, из 3, 1 и 5. \\
7. & \len{AG}=\len{DH}                      & одговарајуће странице подударних троуглова (6). \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\noindent
\emph{Напомена.} Исти доказ, са троугловима $\triangle BAG'$ и $\triangle EDH'$
односно $\triangle CAG''$ и $\triangle FDH''$, даје $h_b=h_e$ и $h_c=h_f$.

\end{document}