Решени задаци 49–57: заједнички чинилац и докази

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs,tabularx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\DeclareUnicodeCharacter{2212}{\ensuremath{-}}
\DeclareUnicodeCharacter{00B2}{\textsuperscript{2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2074}{\textsuperscript{4}}
\DeclareUnicodeCharacter{00D7}{\ensuremath{\times}}
\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Степени и увод у полиноме} \\[2pt]
  {\small Решени задаци 49–57: заједнички чинилац и докази}
\end{center}

\noindent\textbf{Издвајање заједничког чиниоца.} дистрибутивност у обрнутом смеру: $AB+AC=A(B+C)$. При скраћивању разломка скраћују се чиниоци целог бројиоца и имениоца, не појединачни сабирци.


У збиру $2^{19}+2^{17}+2^{15}$ најлакше је издвојити најмањи степен: $2^{15}(2^4+2^2+1)$. Вредности у загради добијаш дељењем сваког сабирка издвојеним чиниоцем.

\paragraph{Задатак 49}
\begin{enumerate}
  \item Израчунај $(10^{12}+5^{11}\cdot2^9-5^{13}\cdot2^8):(4\cdot5^5\cdot10^6)$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $10^{12}=2^{12}5^{12}$, па у бројиоцу издвајамо $2^85^{11}$.; Бројилац је $2^85^{11}(2^4\cdot5+2-5^2)=2^85^{11}(80+2-25)$.; Именилац је $2^2\cdot5^5\cdot2^6\cdot5^6=2^85^{11}$. Скраћујемо заједнички ненулти чинилац.; \textbf{Решење:} $57$.


\paragraph{Задатак 50}
\begin{enumerate}
  \item Израчунај $\frac{4^{13}-4^{12}-6\cdot4^{10}}{2^{19}+2^{17}+2^{15}}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Бројилац је $2^{26}-2^{24}-6\cdot2^{20}=2^{20}(64-16-6)=42\cdot2^{20}$.; Именилац је $2^{15}(16+4+1)=21\cdot2^{15}$.; Количник је $\frac{42}{21}\cdot2^{20-15}=2\cdot2^5$.; \textbf{Решење:} $64$.


\paragraph{Задатак 51}
\begin{enumerate}
  \item Докажи да је $5^n+5^{n+1}+5^{n+2}$ дељиво са $155$ за свако $n\in\mathbb N$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $5^n(1+5+25)=31\cdot5^n=155\cdot5^{n-1}$.; За $n\ge1$ број $5^{n-1}$ је цео. Зато је цео израз умножак од $155$.; \textbf{Решење:} $155\mid(5^n+5^{n+1}+5^{n+2})$.


\paragraph{Задатак 52}
\begin{enumerate}
  \item а) Растави $2^n+2^{n+1}+2^{n+2}$, $n\in\mathbb N$.
  \item б) Растави $5^n+5^{n-1}+5^{n-2}+5^{n-3}$, $n>3$.
  \item в) Растави $7^{n-1}+7^n+7^{n+1}$, $n>1$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Издвајамо $2^n$: $2^n(1+2+4)$.; \textbf{Решење:} $7\cdot2^n$.

\noindent\textbf{2.} Издвајамо $5^{n-3}$: остаје $5^3+5^2+5+1=125+25+5+1=156$.; \textbf{Решење:} $156\cdot5^{n-3}$.

\noindent\textbf{3.} Издвајамо $7^{n-1}$: остаје $1+7+49=57$.; \textbf{Решење:} $57\cdot7^{n-1}$.


\paragraph{Задатак 53}
\begin{enumerate}
  \item Скрати $\frac{a^{2n+m}+a^{n+2m}+a^{n+m+2}}{a^{2n-m}+a^n+a^{n-m+2}}$, где су $m,n\in\mathbb N$, $n>m$, $a>0$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Бројилац је $a^{n+m}(a^n+a^m+a^2)$.; Именилац је $a^{n-m}(a^n+a^m+a^2)$. За $a>0$ оба чиниоца имениоца су позитивна.; Скраћујемо целу заграду, па делимо степене: $a^{(n+m)-(n-m)}=a^{2m}$.; \textbf{Решење:} $a^{2m}$, уз дате услове.


\paragraph{Задатак 54}
\begin{enumerate}
  \item Докажи да је $4^n+4^{n+1}$ дељиво са $10$ за $n\in\mathbb N$.
  \item Докажи да је $5^n+5^{n+1}$ дељиво са $10$ за $n\in\mathbb N$.
  \item Докажи да је $2^n+2^{n+1}$ дељиво са $6$ за $n\in\mathbb N$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $4^n(1+4)=5\cdot4^n=10\cdot(2\cdot4^{n-1})$.; Израз у загради је цео јер $n\ge1$.; \textbf{Решење:} $10\mid(4^n+4^{n+1})$.

\noindent\textbf{2.} $5^n(1+5)=6\cdot5^n=10\cdot(3\cdot5^{n-1})$.; \textbf{Решење:} Дељиво је са $10$.

\noindent\textbf{3.} $2^n(1+2)=3\cdot2^n=6\cdot2^{n-1}$.; \textbf{Решење:} Дељиво је са $6$.


\paragraph{Задатак 55}
\begin{enumerate}
  \item Докажи да су $6^{6^6}$ и $9^{9^9}$ потпуни квадрати.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Степени се читају одозго: $6^{6^6}$ значи $6^{(6^6)}$, а не $(6^6)^6$.; Број $6^6$ је паран. Ако је $k=6^6/2\in\mathbb N$, онда је $6^{6^6}=6^{2k}=(6^k)^2$.; $9^{9^9}=(3^2)^{9^9}=3^{2\cdot9^9}=(3^{9^9})^2$.; \textbf{Решење:} Оба броја су квадрати природних бројева; није потребно израчунати њихове цифре.


\paragraph{Задатак 56}
\begin{enumerate}
  \item а) Упрости $(50^n+30^n+18^n)(5^n-3^n)$, $n\in\mathbb N$.
  \item б) Упрости $(25^n+20^n+16^n)(5^n-4^n)$, $n\in\mathbb N$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Развијањем добијамо $250^n+150^n+90^n-150^n-90^n-54^n$.; Средњи чланови се поништавају. Није дозвољено разлику добијених степена заменити степеном разлике.; \textbf{Решење:} $250^n-54^n$, а не $196^n$.

\noindent\textbf{2.} Производ је $125^n+100^n+80^n-100^n-80^n-64^n$.; \textbf{Решење:} $125^n-64^n$.


\section*{Задатак 57 — проблем у штампаној поставци}

У поставци се тражи доказ да следећи израз није дељив са 17 ни за један природан n. Међутим, за дате степене израз није цео број. Школска дељивост односи се на целе бројеве, па је прво потребно проверити саму поставку.

\[
  \frac{3^{n+1}5^n+3^n5^{n+2}+6\cdot3^n5^n}{2^{2n+1}3^n+3^{n+1}4^n+2^{n+1}6^{n+1}}
\]

\subsection*{Провера записаног израза}
Упрости тачно одштампани израз за $n\in\mathbb N$.

\begin{enumerate}
  \item Бројилац: $3^n5^n(3+25+6)=34\cdot3^n5^n$.
  \item Именилац: $2^{2n}3^n(2+3+12)=17\cdot2^{2n}3^n$. У трећем сабирку $2^{n+1}6^{n+1}=2^{2n+2}3^{n+1}$.
  \item Количник је $\frac{2\cdot5^n}{4^n}=\frac{5^n}{2^{2n-1}}$.
  \item За $n\ge1$ бројилац је непаран, а именилац степен двојке већи од 1; разломак није цео број. Већ за $n=1$ вредност је $5/2$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} Тако записан задатак није исправна поставка о дељивости целих бројева. Проверити оригинал или наставникову исправку; не мењамо знак или степен нагађањем.


Доказе поређења из задатака 58–60 наћи ћеш у лекцији „Поређење степена и једначине“.

\section*{Извори и разјашњења}

\begin{itemize}
  \item Извор. PDF „2026-10-28 - Algebra.pdf“, стране 2–3, 19–22 скена (број у PDF-у, не број задатка).
  \item Дељивост. У задацима са $n\in\mathbb N$ важи $n\ge1$. Услови су битни: нпр. за $n=0$ збир из задатка 51 је 31, који није дељив са 155.
  \item Задатак 57. Проблем се налази и у штампаном тексту, не само у препису из свеске. Рачун је наведен без претпоставке како је поставка можда требало да гласи.
\end{itemize}

\end{document}