Самопровера: објасни, израчунај и пронађи грешку

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs,tabularx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\DeclareUnicodeCharacter{2212}{\ensuremath{-}}
\DeclareUnicodeCharacter{00B2}{\textsuperscript{2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2074}{\textsuperscript{4}}
\DeclareUnicodeCharacter{00D7}{\ensuremath{\times}}
\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Степени и увод у полиноме} \\[2pt]
  {\small Самопровера: објасни, израчунај и пронађи грешку}
\end{center}

Ради на папиру без гледања решења. Уз сваки разломак запиши услове, а уз одговор „нетачно“ наведи исправку или контрапример. Ово су додатни задаци за утврђивање нових лекција.

\paragraph{Дванаест задатака}
\begin{enumerate}
  \item Израчунај $-2^4+(-2)^4+2^{-2}$. Објасни улогу заграде.
  \item Упрости $\frac{(x^3)^2x^5}{x^8}$ и наведи услов.
  \item Да ли је $(a-b)^5(b-a)^3=(a-b)^8$?
  \item Докажи да је $3^n+3^{n+1}$ дељиво са $12$ за $n\in\mathbb N$, $n\ge1$.
  \item Шта је веће: $8^{15}$ или $4^{23}$?
  \item Запиши $0{,}0042\cdot10^8$ у научном запису.
  \item Реши $9^x=3^{x+4}$ за цео $x$.
  \item Израчунај $\frac{a^2-b^2}{a-b}$ за $a=-2$, $b=1$. Када је израз недефинисан?
  \item Среди $2x^3-3x+4-x^3+3x-1$, па одреди број чланова и степен.
  \item Да ли су $\frac{x^2+1}{3}$, $\frac3{x^2+1}$ и $\sqrt3\,x^2$ полиноми?
  \item Одреди степен $2x^2y^3-2x^2y^3+7xy-4$.
  \item Ученик је проверио $x^2=x$ за $x=0$ и $x=1$ и закључио да је то идентитет. Оцени доказ.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $-16+16+\frac14=\frac14$. Заграда укључује минус у основу само у другом члану.; \textbf{Решење:} $\frac14$.

\noindent\textbf{2.} $x^{6+5-8}=x^3$. Почетни именилац мора бити ненула.; \textbf{Решење:} $x^3$, $x\ne0$.

\noindent\textbf{3.} $(b-a)^3=-(a-b)^3$, па је производ $-(a-b)^8$.; \textbf{Решење:} Није идентитет; недостаје минус. За $a=b$ обе стране су нула.

\noindent\textbf{4.} $3^n(1+3)=4\cdot3^n=12\cdot3^{n-1}$, а последњи чинилац је цео.; \textbf{Решење:} Дељиво је са $12$.

\noindent\textbf{5.} $8^{15}=2^{45}$, а $4^{23}=2^{46}$.; \textbf{Решење:} $4^{23}$.

\noindent\textbf{6.} $0{,}0042=4{,}2\cdot10^{-3}$.; \textbf{Решење:} $4{,}2\cdot10^5$.

\noindent\textbf{7.} $3^{2x}=3^{x+4}$, па је $2x=x+4$.; \textbf{Решење:} $x=4$.

\noindent\textbf{8.} Директно: $(4-1)/(-2-1)=3/(-3)=-1$.; Може и $\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b$, али само за $a\ne b$.; \textbf{Решење:} $-1$; недефинисан за $a=b$.

\noindent\textbf{9.} $(2-1)x^3+(-3+3)x+(4-1)=x^3+3$.; \textbf{Решење:} Два члана (бином), степен $3$.

\noindent\textbf{10.} Први је $\frac13x^2+\frac13$, па јесте. Други има променљиву у имениоцу и не своди се на полином. Трећи има реалан коефицијент $\sqrt3$, па јесте.; \textbf{Решење:} Да; не; да.

\noindent\textbf{11.} После поништавања остаје $7xy-4$. Степен монома $7xy$ је $1+1=2$.; \textbf{Решење:} $2$.

\noindent\textbf{12.} За $x=2$ добијамо $4\ne2$. Два тачна примера не доказују општу тврдњу.; Једначина $x^2=x$ има решења $0$ и $1$, али није идентитет.; \textbf{Решење:} Закључак је нетачан.


\section*{Шта да поновиш после провере}

\begin{itemize}
  \item Грешка у 1–3: појам степена, заграде и правила из лекција 1–2.
  \item Грешка у 4: заједнички чинилац и облик „делилац × цео број“ из лекције 8.
  \item Грешка у 5–7: поређење, научни запис и свођење на исту основу из лекција 3–4.
  \item Грешка у 8 или 12: дозвољене вредности, вредност израза и идентитет из лекције 5.
  \item Грешка у 9–11: слични чланови, врсте израза и степен полинома из лекције 6.
\end{itemize}

\section*{Извори и разјашњења}

\begin{itemize}
  \item Порекло. Нови задаци користе само појмове обрађене у овој допуни; нису препис поставки са фотографија.
\end{itemize}

\end{document}