Решени задаци 42–48: операције и упрошћавање

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs,tabularx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\DeclareUnicodeCharacter{2212}{\ensuremath{-}}
\DeclareUnicodeCharacter{00B2}{\textsuperscript{2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2074}{\textsuperscript{4}}
\DeclareUnicodeCharacter{00D7}{\ensuremath{\times}}
\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Степени и увод у полиноме} \\[2pt]
  {\small Решени задаци 42–48: операције и упрошћавање}
\end{center}

Оригинални бројеви задатака су сачувани. У решењу најпре стоји примењено правило, па рачун. Пре отварања решења покушај да одредиш само први корак; затим доврши поступак.

\paragraph{Задатак 42}
\begin{enumerate}
  \item а) Упрости $x^m(x^n+x)-x^n(x+x^m)$, $m,n\in\mathbb N$.
  \item б) Упрости $(3a^{m+n}-4a^m+5a^n)(-2a^{n-m})$, $n>m$, $m,n\in\mathbb N$.
  \item в) Упрости $(a^{2n}-a^nb^m+b^{2m})(a^n+b^m)$, $m,n\in\mathbb N$.
  \item г) Упрости $(a^{2n}+a^n+1)(a^{2n}-a^n+1)$, $n\in\mathbb N$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $x^{m+n}+x^{m+1}-x^{n+1}-x^{m+n}$.; Чланови $x^{m+n}$ се поништавају; преостали не морају бити једнаки.; \textbf{Решење:} $x^{m+1}-x^{n+1}$.

\noindent\textbf{2.} Множимо сваки члан: $-6a^{m+n+n-m}+8a^{m+n-m}-10a^{n+n-m}$.; Изложиоци су редом $2n$, $n$ и $2n-m$.; \textbf{Решење:} $-6a^{2n}+8a^n-10a^{2n-m}$.

\noindent\textbf{3.} Стави $A=a^n$, $B=b^m$. Производ је $(A^2-AB+B^2)(A+B)$.; Развијањем: $A^3+A^2B-A^2B-AB^2+AB^2+B^3=A^3+B^3$.; \textbf{Решење:} $a^{3n}+b^{3m}$.

\noindent\textbf{4.} Стави $t=a^n$. Добијаш $(t^2+1+t)(t^2+1-t)$.; То је $(t^2+1)^2-t^2=t^4+2t^2+1-t^2=t^4+t^2+1$.; \textbf{Решење:} $a^{4n}+a^{2n}+1$.


У задатку 43 штампани услов је $x\ne0$, $y\ne0$. Задржавамо га и када у коначном запису нема имениоца. Дељење разломком претварамо у множење његовом реципрочном вредношћу.

\paragraph{Задатак 43}
\begin{enumerate}
  \item а) $\frac{x^4}{y^3}\cdot\frac{y^3}{x^3}$.
  \item б) $\frac{-5x^2}{6y^2}\cdot\left(-\frac{12}{x}\right)$.
  \item в) $\frac{2x^5}{7y^4}\cdot14y^5$.
  \item г) $\frac{2x}{3y}\cdot\left(-\frac{9xy}{y^2}\right)\cdot\left(-\frac1{6x}\right)$.
  \item д) $\frac{x^3}{y}:\frac{x^2}{y}$.
  \item ђ) $\frac{12x^3}{y^3}:\frac{3x}{y^2}$.
  \item е) $\left(-\frac5x\right)^3:\frac{25}{x^2}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\frac{x^4y^3}{y^3x^3}=x^{4-3}$.; \textbf{Решење:} $x$.

\noindent\textbf{2.} Два минуса дају плус: $\frac{60x^2}{6xy^2}=\frac{10x}{y^2}$.; \textbf{Решење:} $\frac{10x}{y^2}$.

\noindent\textbf{3.} $\frac{28}{7}x^5y^{5-4}=4x^5y$.; \textbf{Решење:} $4x^5y$.

\noindent\textbf{4.} Предзнак је плус. Коефицијент је $\frac{2\cdot9}{3\cdot6}=1$.; Словни део: $\frac{x^2y}{xy^3}=\frac{x}{y^2}$.; \textbf{Решење:} $\frac{x}{y^2}$.

\noindent\textbf{5.} $\frac{x^3}{y}\cdot\frac{y}{x^2}=x$.; \textbf{Решење:} $x$.

\noindent\textbf{6.} $\frac{12x^3}{y^3}\cdot\frac{y^2}{3x}=\frac{4x^2}{y}$.; \textbf{Решење:} $\frac{4x^2}{y}$.

\noindent\textbf{7.} $-\frac{125}{x^3}\cdot\frac{x^2}{25}=-\frac5x$.; \textbf{Решење:} $-\frac5x$.


И у задатку 44 важи $x\ne0$, $y\ne0$. Степеновање заграде примени на све чиниоце у њој.

\paragraph{Задатак 44}
\begin{enumerate}
  \item а) $\frac{(x^2y^3)^3}{xy^5}\cdot\frac{x^3y}{(x^4y^2)^2}$.
  \item б) $\frac{(x^2y^3)^2}{xy^4}\cdot\frac{x^3y}{(x^2y)^3}$.
  \item в) $\left(\frac xy\right)^3\cdot\frac1{x^2}\cdot\left(\frac yx\right)^4$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Први разломак је $\frac{x^6y^9}{xy^5}=x^5y^4$. Други је $\frac{x^3y}{x^8y^4}$.; Саберемо изложиоце у производу и одузмемо оне у имениоцу: $x^{5+3-8}y^{4+1-4}$.; \textbf{Решење:} $y$.

\noindent\textbf{2.} $\frac{x^4y^6}{xy^4}\cdot\frac{x^3y}{x^6y^3}=\frac{x^6y^3}{x^6y^3}$.; \textbf{Решење:} $1$.

\noindent\textbf{3.} $\frac{x^3}{y^3}\cdot\frac1{x^2}\cdot\frac{y^4}{x^4}=x^{3-2-4}y^{4-3}$.; \textbf{Решење:} $\frac y{x^3}$.


\paragraph{Задатак 45}
\begin{enumerate}
  \item Запиши $2^{3n}\cdot3^{2n}$ као један степен, $n\in\mathbb N$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $2^{3n}=(2^3)^n=8^n$ и $3^{2n}=(3^2)^n=9^n$.; $8^n9^n=(8\cdot9)^n=72^n$.; \textbf{Решење:} $72^n$ (одговор A у штампаној поставци).


\paragraph{Задатак 46}
\begin{enumerate}
  \item Нађи вредност $2^{300}\cdot5^{200}$ у сажетом облику.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $2^{300}=(2^3)^{100}=8^{100}$, $5^{200}=25^{100}$.; Производ је $(8\cdot25)^{100}=200^{100}$. Може и $2^{100}\cdot10^{200}$.; \textbf{Решење:} $200^{100}$.


У задатку 47 је $a\ne0$, $n\in\mathbb N$.

\paragraph{Задатак 47}
\begin{enumerate}
  \item а) $\frac{a^{6n+2}a^{4n}}{a^{7n}a^{3n}}$.
  \item б) $\frac{a^nb^n}{a^{2n}}$.
  \item в) $\frac{a^{2n}(a^3)^{2n}}{a^{7n}a^n}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Изложилац је $(6n+2)+4n-7n-3n=2$.; \textbf{Решење:} $a^2$.

\noindent\textbf{2.} $\frac{a^nb^n}{a^na^n}=\frac{b^n}{a^n}$.; \textbf{Решење:} $\left(\frac ba\right)^n$.

\noindent\textbf{3.} $(a^3)^{2n}=a^{6n}$, па је разломак $a^{8n}/a^{8n}=a^0$.; \textbf{Решење:} $1$.


\paragraph{Задатак 48}
\begin{enumerate}
  \item а) $(a-b)^7(b-a)^6$.
  \item б) $(x-y)^n(y-x)^{2n}$, $n\in\mathbb N$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $b-a=-(a-b)$. Пошто је $6$ парно, $(b-a)^6=(a-b)^6$.; Множимо степене исте основе: $(a-b)^{7+6}$.; \textbf{Решење:} $(a-b)^{13}$.

\noindent\textbf{2.} $2n$ је увек парно, па је $(y-x)^{2n}=(x-y)^{2n}$.; \textbf{Решење:} $(x-y)^{3n}$.


\section*{Извори и разјашњења}

\begin{itemize}
  \item Извор. PDF „2026-10-28 - Algebra.pdf“, стране 1–2, 17–18 скена (број у PDF-у, не број задатка).
  \item Допуњено. Сви подзадаци штампаних задатака 42–48 су решени, укључујући оне који су у свесци остали празни или прецртани. Услови су преузети из штампане поставке.
\end{itemize}

\end{document}