Полиноми, мономи и степен полинома

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs,tabularx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\DeclareUnicodeCharacter{2212}{\ensuremath{-}}
\DeclareUnicodeCharacter{00B2}{\textsuperscript{2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2074}{\textsuperscript{4}}
\DeclareUnicodeCharacter{00D7}{\ensuremath{\times}}
\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Степени и увод у полиноме} \\[2pt]
  {\small Полиноми, мономи и степен полинома}
\end{center}

\noindent\textbf{Полином једне променљиве.} израз који се после сређивања може записати као коначан збир чланова $a_kx^k$, где су $a_k$ реални бројеви, а $k$ ненегативни цели бројеви. У полиному нема променљиве у имениоцу нити њеног корена или негативног степена.


\[
  P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0
\]

\begin{itemize}
  \item $x$ је променљива; $a_n,\ldots,a_0$ су коефицијенти.
  \item Ако је $a_n\ne0$, највећи изложилац $n$ је степен ненултог полинома, а $a_n$ водећи коефицијент.
  \item $a_0$ је слободни члан. Коефицијенти неких степена могу бити нула: не морају сви чланови бити написани.
  \item Ненулти константан полином, нпр. $P(x)=7$, има степен $0$. Нултом полиному $P(x)=0$ овде не приписујемо степен $0$: његов степен није дефинисан.
\end{itemize}

\subsection*{Читање коефицијената}
За $P(x)=2x^4-3x^2+x-5$ одреди степен, водећи коефицијент и слободни члан.

\begin{enumerate}
  \item Највећи изложилац ненултог члана је $4$. Коефицијент уз $x^4$ је $2$, а члан без $x$ је $-5$. Коефицијент уз $x^3$ је $0$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} Степен $4$, водећи коефицијент $2$, слободни члан $-5$.


\section*{Шта јесте, а шта није полином}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}>{\raggedright\arraybackslash}X>{\raggedright\arraybackslash}X@{}}
\toprule
Израз & Објашњење \\
\midrule
$x^3+1$ & Полином трећег степена \\
$x^4-2x^2+1$ & Полином четвртог степена \\
$\frac12x^2+\sqrt2\,x-1$ & Полином; коефицијенти могу бити реални \\
$\frac1x$ & Није полином \\
$\sqrt x$ & Није полином \\
$\frac{x+1}{2}$ & Полином: $\frac12x+\frac12$ \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{center}

Полином је цел алгебарски израз; назив „цел“ не значи да коефицијенти морају бити цели бројеви. Количник полинома је рационални алгебарски израз, дефинисан тамо где именилац није нула. Сваки полином је и рационални израз (може се поделити са $1$). Разломљен рационални израз са променљивом у имениоцу захтева посебну пажњу на домен.

На пример, $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ за $x\ne1$. На првобитном домену израз се поклапа с полиномом, али почетни разломак остаје недефинисан за $x=1$. Не бриши тај услов.

\section*{Моном, бином, трином}

\noindent\textbf{Моном.} један члан: производ бројчаног коефицијента и ненегативних целих степена променљивих. Примери су $\frac12x^2$, $-3xy^2$, $7$.


\noindent\textbf{Слични мономи.} имају исти словни део: исте променљиве на истим степенима. Такви су $3x^2y$ и $-5x^2y$, али нису $3x^2y$ и $3xy^2$.


Бином има два, а трином три ненулта члана после сређивања. Примери: $x^2-x$ је бином; $x^4-2x^2+1$ трином. Број чланова није степен: тај трином има степен $4$.

\subsection*{Прво среди}
Одреди врсту и степен израза $2x^2-x+3x^2+2x-5$.

\begin{enumerate}
  \item Сличне чланове сабирамо: $(2+3)x^2+(-1+2)x-5=5x^2+x-5$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} Трином другог степена.


Код више променљивих степен ненултог монома је збир изложилаца. Моном $7x^2y^2$ има степен $2+2=4$ и коефицијент $7$. Степен полинома више променљивих је највећи степен његовог ненултог монома после сређивања.

\subsection*{Више променљивих}
Одреди степен $3x^2y-2xy^3+4$.

\begin{enumerate}
  \item Степени монома су $2+1=3$, $1+3=4$ и $0$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} Степен полинома је $4$.


\section*{Сабирање и множење: шта се дешава са степеном}

При сабирању сабирамо коефицијенте сличних чланова. Ако су водећи чланови $a_nx^n$ и $b_nx^n$, њихов збир је $(a_n+b_n)x^n$. То описује само водећи део збира, не цео полином; ако је $a_n+b_n=0$, степен збира може да се смањи.

\subsection*{Поништавање водећих чланова}
Нека је $P(x)=2x^3+x$, $Q(x)=-2x^3+x^2-1$. Одреди $P+Q$ и његов степен.

\begin{enumerate}
  \item $P(x)+Q(x)=2x^3+x-2x^3+x^2-1=x^2+x-1$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} Степен збира је $2$, иако су оба полинома степена $3$.


За ненулте полиноме једне променљиве степен производа једнак је збиру степена чинилаца: водећи чланови се множе. Множење полинома није исто што и сабирање њихових водећих коефицијената.

\subsection*{Дистрибутивност из бележака}
Развиј $3(x+1)$ и $(x-1)(x^2+1)$.

\begin{enumerate}
  \item $3(x+1)=3x+3$.
  \item $(x-1)(x^2+1)=x^3+x-x^2-1=x^3-x^2+x-1$.
\end{enumerate}


\paragraph{Провери разумевање}
\begin{enumerate}
  \item Да ли је $\sqrt2\,x^3$ полином? А $2\sqrt x$?
  \item Одреди степен $x^4+2x^2-x^4+3$.
  \item Одреди коефицијент и степен монома $-\frac32a^2b^3$.
  \item Да ли $x^2-x^2$ има степен 2 или 0?
  \item За коју вредност $a$ полином $(a-2)x^3+x+1$ нема степен 3?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} У првом је корен део константног коефицијента; у другом је променљива под кореном.; \textbf{Решење:} Први јесте, други није.

\noindent\textbf{2.} После сређивања остаје $2x^2+3$.; \textbf{Решење:} $2$.

\noindent\textbf{3.} Коефицијент је бројчани чинилац, а степен $2+3$.; \textbf{Решење:} Коефицијент $-\frac32$; степен $5$.

\noindent\textbf{4.} Сређивањем добијамо нулти полином.; \textbf{Решење:} Ниједно: степен нултог полинома овде није дефинисан.

\noindent\textbf{5.} Водећи коефицијент мора бити нула: $a-2=0$.; \textbf{Решење:} За $a=2$; тада је полином $x+1$, степена 1.


\section*{Извори и разјашњења}

\begin{itemize}
  \item Извор. Фотографија „2026-10-28 - Algebra 19.49.05.jpeg“ и почетак одељка 2.2 на трећој страни PDF-а.
  \item Разјашњења. Степен се одређује после сређивања. Услов ненултог водећег коефицијента, разлика константног и нултог полинома и поништавање водећих чланова исписани су изричито. Слабочитљиви доњи бројчани примери са фотографије нису приписани извору; додатни примери служе за објашњење истих појмова.
\end{itemize}

\end{document}