Алгебарски изрази, вредност и дозвољене вредности

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs,tabularx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\DeclareUnicodeCharacter{2212}{\ensuremath{-}}
\DeclareUnicodeCharacter{00B2}{\textsuperscript{2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2074}{\textsuperscript{4}}
\DeclareUnicodeCharacter{00D7}{\ensuremath{\times}}
\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Степени и увод у полиноме} \\[2pt]
  {\small Алгебарски изрази, вредност и дозвољене вредности}
\end{center}

\noindent\textbf{Алгебарски израз.} запис састављен од бројева, променљивих и дозвољених операција. Променљива представља број; бројчану вредност добијамо када јој доделимо дозвољену вредност и извршимо операције.


Израз $3x+2$ није једначина: у њему нема тврдње да су две вредности једнаке. Запис $3x+2=11$ јесте једначина. Израз можемо упростити или израчунати његову вредност; једначину решавамо.

\noindent\textbf{Дозвољене вредности.} вредности променљивих за које све операције у изразу имају смисла. Именилац мора бити различит од нуле, а подкорена величина реалног квадратног корена ненегативна.


\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}>{\raggedright\arraybackslash}X>{\raggedright\arraybackslash}X@{}}
\toprule
Израз & Услов \\
\midrule
$\frac a2$ & Сваки реалан a \\
$\frac1b$ & $b\ne0$ \\
$\sqrt b$ & $b\ge0$ \\
$\frac a{\sqrt b}$ & $b>0$ \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{center}

\section*{Вредност израза са прве фотографије}

\subsection*{Задатак 28}
Израчунај $\frac{x^2+2xy+y^2}{x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}$ за $x=-2$, $y=-1$.

\begin{enumerate}
  \item Бројилац: $(-2)^2+2(-2)(-1)+(-1)^2=4+4+1=9$.
  \item Именилац: $(-2)^3+3(-2)^2(-1)+3(-2)(-1)^2+(-1)^3=-8-12-6-1=-27$.
  \item Именилац није нула, па је вредност $9:(-27)=-\frac13$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $-\frac13$.


Овде су бројилац $(x+y)^2$, а именилац $(x+y)^3$. Зато се разломак може свести на $\frac1{x+y}$, али само за $x+y\ne0$. То даје бржу проверу: $\frac1{-2-1}=-\frac13$.

\section*{Како се чита запис — задатак 29}

\begin{itemize}
  \item $a\cdot\frac b2=\frac{ab}{2}$: половина производа бројева $a$ и $b$.
  \item $3a+2b$: збир троструке вредности $a$ и двоструке вредности $b$.
  \item $\frac a{\sqrt b}$: количник броја $a$ и квадратног корена броја $b$, уз $b>0$.
  \item $a-\frac1b$: разлика броја $a$ и реципрочне вредности $b$, уз $b\ne0$.
\end{itemize}

На фотографији су код задатка 29 записани изрази, али није приложен текст њихових поставки. Овде је објашњено значење видљивих израза, без измишљања недостајућег текста.

\section*{Заграда није украс — парови из задатка 30}

Код следећих парова проверавамо да ли су изрази једнаки за све реалне a и b. Развијање производа показује мешовите чланове које није дозвољено прескочити.

\[
  (a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
\]

\[
  (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\]

\[
  (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\]

\[
  (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
\]

\begin{itemize}
  \item $a^2-b^2$ није идентитетски једнако $(a-b)^2$. За $a=2$, $b=1$, добијамо $3$ и $1$.
  \item $a^2+b^2$ није идентитетски једнако $(a+b)^2$: исти пример даје $5$ и $9$.
  \item $a^3-b^3$ није идентитетски једнако $(a-b)^3$: добијамо $7$ и $1$.
  \item $a^3+b^3$ није идентитетски једнако $(a+b)^3$: добијамо $9$ и $27$.
\end{itemize}

Један контрапример довољан је да покаже да једнакост није идентитет. Неколико тачних примера није доказ да једнакост важи увек; за то користимо правила и општи рачун.

\paragraph{Провери разумевање}
\begin{enumerate}
  \item Израчунај $a-\frac1b$ за $a=-2$, $b=-\frac12$.
  \item Да ли се $\frac{x^2+2xy+y^2}{x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}$ може израчунати за $x=2$, $y=-2$?
  \item Ученик тврди да је $(a+b)^2=a^2+b^2$, јер једнакост важи за $a=0$. Шта је пропустио?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\frac1{-1/2}=-2$, па је $-2-(-2)=0$.; \textbf{Решење:} $0$.

\noindent\textbf{2.} $x+y=0$, па су и бројилац и именилац нула. $0/0$ није дефинисано.; \textbf{Решење:} Не; скраћивање не уклања првобитну забрану.

\noindent\textbf{3.} Идентитет мора важити за све дозвољене вредности. За a = b = 1, лева страна је 4, а десна 2.; \textbf{Решење:} Недостаје члан $2ab$.


\section*{Извори и разјашњења}

\begin{itemize}
  \item Извор. Фотографија „2026-10-28 - Algebra 19.48.55.jpeg“: задаци 28–30.
  \item Читљивост. Ознаке односа у задатку 30 нису све јасне. Наведени парови су проверени као питања о идентитетима, а не представљени као дослован препис нечитљивих знакова.
\end{itemize}

\end{document}