Поређење степена и једначине

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs,tabularx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\DeclareUnicodeCharacter{2212}{\ensuremath{-}}
\DeclareUnicodeCharacter{00B2}{\textsuperscript{2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2074}{\textsuperscript{4}}
\DeclareUnicodeCharacter{00D7}{\ensuremath{\times}}
\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Степени и увод у полиноме} \\[2pt]
  {\small Поређење степена и једначине}
\end{center}

\section*{Шта можеш поредити одмах}

\begin{itemize}
  \item За исту основу $a>1$, већи изложилац даје већу вредност: $a^m<a^n$ ако је $m<n$.
  \item За $0<a<1$, већи изложилац даје мању вредност: $(1/2)^3<(1/2)^2$.
  \item За исти природан изложилац и $0\le a<b$ важи $a^n<b^n$.
  \item Код негативних основа најпре одреди предзнак. За парне изложиоце пореди апсолутне вредности; код непарних степена већа реална основа даје већи резултат.
  \item Увек $|a^n|=|a|^n$. За $n=1$ важи $|a^n|=|a|$; строго повећање за $|a|>1$ почиње од $n>1$.
\end{itemize}

\subsection*{Задатак 74 — највећи изложилац}
Нађи највећи природан број $n$ за који је $3^n<200$.

\begin{enumerate}
  \item $3^4=81<200$, али $3^5=243>200$. Пошто степени тројке расту, сви већи изложиоци отпадају.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $n=4$.


\subsection*{Задатак 74 — негативна основа}
Нађи највећи природан $n$ за који је $-100<(-2)^n<100$.

\begin{enumerate}
  \item Услов је $|(-2)^n|=2^n<100$.
  \item $2^6=64<100$, а $2^7=128>100$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $n=6$.


\subsection*{Задатак 74 — разломачка основа}
Одреди природне $n$ за које је $\left(-\frac15\right)^n>\frac1{600}$.

\begin{enumerate}
  \item Десна страна је позитивна, па $n$ мора бити парно.
  \item За парно $n$, услов је $\frac1{5^n}>\frac1{600}$, односно $5^n<600$.
  \item $5^2=25<600$, а $5^4=625>600$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} Само $n=2$.


\section*{Једначине: сведеш на исту основу}

Код позитивне основе различите од $1$, једнаке вредности степена имају једнаке изложиоце. После решавања провери да ли добијени број припада траженом скупу: природном, целом или реалном. За основу $1$ из једнакости степена не следи једнакост изложилаца: $1^2=1^7$. Код основе $-1$ такође нема јединственог изложиоца.

\subsection*{Задатак 83 из свеске}
Реши $2^x\cdot2^5=2^7$.

\begin{enumerate}
  \item $2^{x+5}=2^7$, па је $x+5=7$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x=2$. Провера: $4\cdot32=128$.


\subsection*{Задатак 83 — потврђена једначина са c}
Реши $c^x\cdot c^{2x}=c^{x+1}$ за $c>0$, $c\ne1$, у скупу реалних бројева.

\begin{enumerate}
  \item Множењем степена исте основе добијамо $c^{x+2x}=c^{x+1}$, односно $c^{3x}=c^{x+1}$.
  \item Пошто је $c>0$ и $c\ne1$, следи $3x=x+1$, па $2x=1$ и $x=\frac12$.
  \item Провера: лева страна је $c^{1/2}\cdot c=c\sqrt c$, а десна $c^{3/2}=c\sqrt c$. Ово је пример разломачког изложиоца, а не природног.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x=\frac12$. Ако се захтева цео или природан $x$, решења нема за наведене услове на $c$.


За $c=1$ једнакост важи за сваки реалан $x$, па се изложиоци не смеју изједначити. Услов $c>0$, $c\ne1$ наведен је изричито да би решење било једнозначно. Записано $x=3$ из свеске не одговара потврђеној поставци: нпр. за $c=2$ лева страна би била $2^9=512$, а десна $2^4=16$.

\subsection*{Задатак 90 из свеске}
Реши $5^3\cdot25^3=125^x$.

\begin{enumerate}
  \item $25=5^2$, $125=5^3$.
  \item $5^3(5^2)^3=(5^3)^x$, односно $5^9=5^{3x}$.
  \item $9=3x$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x=3$.


\subsection*{Задатак 76 из свеске}
Реши $x^4=28^2+8^3$ у скупу реалних бројева.

\begin{enumerate}
  \item $28^2+8^3=784+512=1296=6^4$.
  \item И $6$ и $-6$ имају четврти степен $1296$. Формално, $(x^2)^2=1296$ и $x^2\ge0$ дају $x^2=36$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x=\pm6$.


\section*{Велики степени без исписивања огромних бројева}

\subsection*{Штампани задатак 58}
Докажи $17^{14}>31^{11}$.

\begin{enumerate}
  \item $17>16=2^4$, па је $17^{14}>2^{56}$.
  \item $31<32=2^5$, па је $31^{11}<2^{55}$.
  \item $17^{14}>2^{56}>2^{55}>31^{11}$.
\end{enumerate}


\subsection*{Штампани задатак 59}
Шта је веће: $26^{400}$ или $82^{300}$?

\begin{enumerate}
  \item $26^{400}=(26^4)^{100}$, а $82^{300}=(82^3)^{100}$.
  \item $26^4=456976$, $82^3=551368$.
  \item Пошто је $456976<551368$ и обе основе су позитивне, неједнакост се чува при степеновању са $100$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $26^{400}<82^{300}$.


\subsection*{Штампани задатак 60}
Докажи $202^{303}>303^{202}$.

\begin{enumerate}
  \item $303=3\cdot101$, $202=2\cdot101$. Зато су бројеви $(202^3)^{101}$ и $(303^2)^{101}$.
  \item $202^3=8\cdot101^3$, а $303^2=9\cdot101^2$.
  \item Поредимо $8\cdot101=808$ и $9$: први је већи. Множење са $101^2>0$, па степеновање са $101$, чувају неједнакост.
\end{enumerate}


\paragraph{Провери разумевање}
\begin{enumerate}
  \item Шта је веће, $9^{20}$ или $27^{13}$?
  \item Нађи највећи природан $n$ за који је $2^n<1000$.
  \item Реши $4^{x+1}=2^{3x}$ за цео $x$.
  \item Зашто није довољно рећи „$26<82$, па је $26^{400}<82^{300}$“?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $9^{20}=3^{40}$, а $27^{13}=3^{39}$.; \textbf{Решење:} $9^{20}>27^{13}$.

\noindent\textbf{2.} $2^9=512<1000<1024=2^{10}$.; \textbf{Решење:} $n=9$.

\noindent\textbf{3.} $2^{2x+2}=2^{3x}$, па је $2x+2=3x$.; \textbf{Решење:} $x=2$.

\noindent\textbf{4.} Изложиоци су различити. Поређење основа само по себи не решава такав задатак; нпр. 2 < 3, али 2⁴ > 3².; \textbf{Решење:} Најпре изједначи основе или изложиоце, или постави одговарајуће границе.


\section*{Извори и разјашњења}

\begin{itemize}
  \item Извор. PDF „2026-10-28 - Algebra.pdf“, стране 3, 6, 11–13, 15, 21–22 скена (број у PDF-у, не број задатка).
  \item Читљивост. Поставка $c^x\cdot c^{2x}=c^{x+1}$ потврђена је накнадним преписом. Услови на основу и скуп решења наведени су у објашњењу. Запис са основом $b$ десно на 13. страни и даље није поуздано читљив; његова поставка није нагађана.
\end{itemize}

\end{document}