Правила рачунања са степенима

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs,tabularx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\DeclareUnicodeCharacter{2212}{\ensuremath{-}}
\DeclareUnicodeCharacter{00B2}{\textsuperscript{2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2074}{\textsuperscript{4}}
\DeclareUnicodeCharacter{00D7}{\ensuremath{\times}}
\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Степени и увод у полиноме} \\[2pt]
  {\small Правила рачунања са степенима}
\end{center}

Најпре препознај операцију. При множењу једнаких основа изложиоце сабираш; при дељењу их одузимаш; при степеновању степена их множиш. То су три различита правила.

\section*{Пет правила и њихово објашњење}

\noindent\textbf{Производ степена исте основе.} $a^m a^n=a^{m+n}$: у првом производу има $m$, у другом $n$ чинилаца $a$, укупно $m+n$.


\noindent\textbf{Количник степена исте основе.} $a^m:a^n=a^{m-n}$ за $a\ne0$. Скраћују се једнаки чиниоци. За $m=n$ добија се $a^0=1$; за $m<n$ реципрочна вредност $\frac1{a^{n-m}}$.


\noindent\textbf{Степен степена.} $(a^m)^n=a^{mn}$: имамо $n$ група са по $m$ чинилаца.


\noindent\textbf{Степен производа.} $(ab)^n=a^n b^n$: у производу $n$ парова $ab$ има по $n$ чинилаца сваке врсте.


\noindent\textbf{Степен количника.} $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$, $b\ne0$. Степенујемо цео бројилац и цео именилац.


За природне изложиоце дозвољене су све реалне основе које не изазивају дељење нулом. Када користиш нулте или негативне изложиоце, одговарајуће основе морају бити ненулте. Правило за производ/количник не преноси се на збир: $(a+b)^n$ углавном није $a^n+b^n$.

\subsection*{Три слична записа}
Упрости $x^3x^6$, $(x^3)^6$ и $x^6:x^3$.

\begin{enumerate}
  \item $x^3x^6=x^{3+6}=x^9$.
  \item $(x^3)^6=x^{3\cdot6}=x^{18}$.
  \item $x^6:x^3=x^{6-3}=x^3$ уз $x\ne0$.
\end{enumerate}


\subsection*{Заграде и предзнак}
Упрости $(-x)^3\cdot(-x)^6:(-x^4)$, $x\ne0$.

\begin{enumerate}
  \item $(-x)^3=-x^3$, $(-x)^6=x^6$, док је последњи чинилац $-x^4$.
  \item $\frac{-x^3x^6}{-x^4}=x^{3+6-4}=x^5$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x^5$ за $x\ne0$.


\subsection*{Више нивоа степеновања}
Упрости $\frac{(x^2)^{10}(x^4)^5}{(x^5)^7}$, $x\ne0$.

\begin{enumerate}
  \item Прво степен степена: $x^{20}$, $x^{20}$ и $x^{35}$.
  \item Затим производ и количник: $x^{20+20-35}=x^5$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x^5$, уз првобитни услов $x\ne0$.


\subsection*{Задатак 73 из свеске}
Израчунај $3^2-(-3)^3-3^4$.

\begin{enumerate}
  \item $3^2=9$, $(-3)^3=-27$, $3^4=81$.
  \item $9-(-27)-81=9+27-81=-45$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $-45$.


\subsection*{Корени и степени — 73}
Израчунај $(\sqrt2)^3+(2\sqrt2)^3-(\sqrt2)^6-2\sqrt2$.

\begin{enumerate}
  \item $(\sqrt2)^3=2\sqrt2$, $(2\sqrt2)^3=8\cdot2\sqrt2=16\sqrt2$.
  \item $(\sqrt2)^6=2^3=8$.
  \item $2\sqrt2+16\sqrt2-8-2\sqrt2=16\sqrt2-8$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $16\sqrt2-8$.


\subsection*{Довршен рачун — 73}
Израчунај $\frac{(\sqrt3)^2(-\sqrt3)-3^2}{-3}\cdot\left(\frac12\right)^4\cdot(\sqrt2)^4$.

\begin{enumerate}
  \item Бројилац је $-3\sqrt3-9=-3(\sqrt3+3)$. Дељењем са $-3$ добија се $\sqrt3+3$.
  \item Преостали чиниоци су $\frac1{16}$ и $4$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $\frac{\sqrt3+3}{4}$.


\subsection*{Задатак 89 из свеске}
Упрости $\left[(-a)^2(a^{m-1})^2:a^{m-1}\right]a^2$ за $a\ne0$, $m\in\mathbb N$.

\begin{enumerate}
  \item $(-a)^2=a^2$, а $(a^{m-1})^2=a^{2m-2}$.
  \item Збир и разлика изложилаца: $2+(2m-2)-(m-1)+2=m+3$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $a^{m+3}$.


\subsection*{Задатак 87 из свеске}
Израчунај $\frac{9999^2}{99^2}$ без рачунања оба квадрата.

\begin{enumerate}
  \item $\frac{9999^2}{99^2}=\left(\frac{9999}{99}\right)^2=101^2$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $10201$.


\section*{Провера тачности из задатка 82}

Испод оцењујемо да ли је једнакост идентитет: да ли важи за свако дозвољено $x$. Нетачан идентитет понекад важи за појединачне вредности, што га не чини општим правилом.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}>{\raggedright\arraybackslash}X>{\raggedright\arraybackslash}X@{}}
\toprule
Запис & Оцена / исправка \\
\midrule
$x^4-x^2=x^2$ & Нетачно као идентитет \\
$x^4:x^2=x^2$ & Тачно за $x\ne0$ \\
$3x^2\cdot4x^3=12x^6$ & Нетачно; $12x^5$ \\
$(-x)^2=-x^2$ & Нетачно; $x^2$ \\
$x^3:x^3=1$ & Тачно за $x\ne0$ \\
$x^3x^3=x^9$ & Нетачно; $x^6$ \\
$\frac{4x^5}{2x^3}=2x^2$ & Тачно за $x\ne0$ \\
$x^5:x^3=x^2$ & Тачно за $x\ne0$ \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{center}

\paragraph{Провери разумевање}
\begin{enumerate}
  \item Упрости $\frac{(2a^3)^2a^4}{4a^5}$ и запиши услов.
  \item Исправи: $(x^2)^3=x^5$, $x^2+x^3=x^5$.
  \item Зашто $\frac{x^3}{x^2}=x$ не дозвољава да у почетни разломак ставиш $x=0$?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\frac{4a^6a^4}{4a^5}=a^{6+4-5}$.; \textbf{Решење:} $a^5$, $a\ne0$.

\noindent\textbf{2.} Прво је $x^6$. У другом запису чланови нису слични: збир остаје $x^2+x^3$ (или $x^2(1+x)$).; \textbf{Решење:} Сабирање изложилаца важи при множењу степена исте основе.

\noindent\textbf{3.} Почетни именилац је тада нула. Упрошћавање не мења услове дефинисаности почетног израза.; \textbf{Решење:} Једнакост важи за $x\ne0$.


\section*{Извори и разјашњења}

\begin{itemize}
  \item Извор. PDF „2026-10-28 - Algebra.pdf“, стране 1, 7–10, 13–14 скена (број у PDF-у, не број задатка).
  \item Задатак 82. Последња једнакост $x^5:x^3=x^2$ тачна је за $x\ne0$, иако је у запису означена као нетачна.
\end{itemize}

\end{document}