Степен, основа, изложилац и предзнак

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs,tabularx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\DeclareUnicodeCharacter{2212}{\ensuremath{-}}
\DeclareUnicodeCharacter{00B2}{\textsuperscript{2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2074}{\textsuperscript{4}}
\DeclareUnicodeCharacter{00D7}{\ensuremath{\times}}
\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Степени и увод у полиноме} \\[2pt]
  {\small Степен, основа, изложилац и предзнак}
\end{center}

\noindent\textbf{Степен.} За реалан број $a$ и природан број $n$, степен $a^n$ је производ $n$ једнаких чинилаца $a$. Број $a$ је основа, а $n$ изложилац (експонент). За $n=1$ важи $a^1=a$.


\[
  a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ чинилаца}}
\]

У запису $5^3=125$, основа је $5$, изложилац $3$, а вредност степена $125$. Не мешај $5^3=5\cdot5\cdot5$ са $5\cdot3=15$. Назив „степен природног изложиоца“ не захтева природну основу: основа може бити негативна, разломак или ирационалан број.

\section*{Основни случајеви}

\begin{itemize}
  \item $0^n=0$, $1^n=1$ за $n\in\mathbb N$.
  \item $a^1=a$. За $a\ne0$ дефинишемо $a^0=1$.
  \item $0^0$ се у овим школским правилима не дефинише. Услов $a\ne0$ уз $a^0=1$ не сме да се изостави.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tabular}{@{}lllllllllll@{}}
\toprule
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\midrule
$2^n$ & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 & 1024 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

Корисно је препознати $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$ и $5^2=25$, $5^3=125$, $5^4=625$. Такође, $2^6=4^3=8^2=64$: различите основе и изложиоци могу дати исту вредност.

\section*{Негативна основа и улога заграде}

\begin{itemize}
  \item Ако је $a>0$, онда је $a^n>0$.
  \item Ако је $a<0$, онда је $a^n>0$ за парно $n$, а $a^n<0$ за непарно $n$. Негативни чиниоци се упарују.
  \item $(-1)^{2k}=1$ и $(-1)^{2k+1}=-1$ за $k\in\mathbb N_0$.
  \item $(-2)^4=16$, али $-2^4=-(2^4)=-16$. У другом запису минус није део основе.
  \item $(-a)^{2k}=a^{2k}$ за $k\ge1$, а $(-a)^{2k+1}=-a^{2k+1}$ за $k\ge0$.
\end{itemize}

\subsection*{Примери из свеске}
Израчунај $(-2)^{10}$, $(-2)^9$, $\left(\frac12\right)^3$ и $\left(-\frac23\right)^4$.

\begin{enumerate}
  \item Парни изложилац даје $(-2)^{10}=2^{10}=1024$. Непарни даје $(-2)^9=-2^9=-512$.
  \item $\left(\frac12\right)^3=\frac{1\cdot1\cdot1}{2\cdot2\cdot2}=\frac18$.
  \item $\left(-\frac23\right)^4=\frac{(-2)^4}{3^4}=\frac{16}{81}$.
\end{enumerate}


\subsection*{Степен корена}
Израчунај $(\sqrt2)^7$.

\begin{enumerate}
  \item $(\sqrt2)^7=(\sqrt2)^2(\sqrt2)^2(\sqrt2)^2\sqrt2$.
  \item Сваки пар даје $2$, па је резултат $2\cdot2\cdot2\sqrt2$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $8\sqrt2$.


\section*{Негативан изложилац}

\noindent\textbf{Негативан цео изложилац.} За $a\ne0$ и $n\in\mathbb N$ важи $a^{-n}=\frac1{a^n}$. Негативан изложилац значи реципрочну вредност, а не негативан резултат.


\subsection*{Примери}
Израчунај $2^{-3}$, $(-2)^{-3}$ и $\left(\frac12\right)^{-3}$.

\begin{enumerate}
  \item $2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18$.
  \item $(-2)^{-3}=\frac1{(-2)^3}=-\frac18$.
  \item $\left(\frac12\right)^{-3}=\frac1{(1/2)^3}=\frac1{1/8}=8$.
\end{enumerate}


У свесци је забележено и $a^{1/2}=\sqrt a$ за $a\ge0$. То је веза са коренима, а не степен природног изложиоца. За препознавање полинома касније ће бити важно да изложиоци променљиве буду ненегативни цели бројеви.

\paragraph{Провери разумевање}
\begin{enumerate}
  \item Упореди $(-3)^4$ и $-3^4$.
  \item Зашто $(-a)^3=-a^3$, али $(-a)^2$ није једнако $-a^2$ за свако $a$?
  \item Израчунај $(-1)^{101}+(-1)^{100}+3^0+3^{-2}$.
  \item Да ли је $(-2)^{-4}=-\frac1{16}$?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Први је производ четири негативна чиниоца: $81$. Други је супротан број од $3^4$: $-81$.; \textbf{Решење:} $(-3)^4>-3^4$.

\noindent\textbf{2.} Три минуса дају минус, а два минуса плус.; \textbf{Решење:} $(-a)^2=a^2$; једнакост са $-a^2$ важи само за $a=0$.

\noindent\textbf{3.} $-1+1+1+\frac19=\frac{10}{9}$.; \textbf{Решење:} $\frac{10}{9}$.

\noindent\textbf{4.} $(-2)^{-4}=\frac1{(-2)^4}=\frac1{16}$.; \textbf{Решење:} Не; парни изложилац даје позитивну вредност.


\section*{Извори и разјашњења}

\begin{itemize}
  \item Извор. PDF „2026-10-28 - Algebra.pdf“, стране 4–10, 16 скена (број у PDF-у, не број задатка).
  \item Услови. Уз нулти и негативан изложилац дописан је услов ненулте основе. Корен $a^{1/2}$ издвојен је од природних изложилаца.
\end{itemize}

\end{document}