Пробни контролни 4: друга група

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Пробни контролни} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 4: друга група}
\end{center}

Шест задатака, онако како су их другови из друге групе препричали у разредној групи. Сваки корак има разлог: став подударности са сва три услова, или особина коју користиш. Решења су сложена испод сваког задатка.

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item Докажи да су оштроугли троуглови $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подударни ако им се подударају две странице и висина на трећу страницу: $a = a_1$, $b = b_1$, $h_c = h_{c_1}$ ($a = \len{BC}$, $b = \len{AC}$).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.81, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (2,4.4);
  \coordinate (D) at (2,0);
  \coordinate (A1) at (7.5,0);
  \coordinate (B1) at (13.5,0);
  \coordinate (C1) at (9.5,4.4);
  \coordinate (D1) at (9.5,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (D);
  \pic[draw] {right angle=B--D--C};
  \node[left, red!70!black] at ($(C)!0.5!(D)$) {$h_{c}$};
  \node[above right] at ($(B)!0.5!(C)$) {$a$};
  \node[above left] at ($(A)!0.5!(C)$) {$b$};
  \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (C1) -- (D1);
  \pic[draw] {right angle=B1--D1--C1};
  \node[left, red!70!black] at ($(C1)!0.5!(D1)$) {$h_{c_1}$};
  \node[above right] at ($(B1)!0.5!(C1)$) {$a_1$};
  \node[above left] at ($(A1)!0.5!(C1)$) {$b_1$};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,A1,B1,C1,D1} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below] at (A) {$A$};
  \node[below] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[below] at (A1) {$A_1$};
  \node[below] at (B1) {$B_1$};
  \node[above] at (C1) {$C_1$};
  \node[below] at (D1) {$D_1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item а) Ако су у конвексном четвороуглу $ABCD$ наспрамне странице једнаке ($\len{AB} = \len{CD}$, $\len{AD} = \len{BC}$), докажи да му се дијагонале полове. б) Ако су у четвороуглу наспрамне странице паралелне (паралелограм), докажи да су му наспрамни углови једнаки.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.98, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (7,0);
  \coordinate (C) at (9,4);
  \coordinate (D) at (2,4);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (D);
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=D--B--A};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=B--D--C};
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=C--B--D};
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=A--D--B};
  \foreach \pt in {A,B,C,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item Над страницама $AB$ и $AD$ правоугаоника $ABCD$ конструисани су, споља, једнакостранични троуглови $ABE$ и $ADF$. Докажи да је троугао $CEF$ једнакостраничан.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.82, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (5,0);
  \coordinate (C) at (5,3);
  \coordinate (D) at (0,3);
  \coordinate (E) at (2.5,-4.33);
  \coordinate (F) at (-2.6,1.5);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[] (A) -- (B) -- (E) -- cycle;
  \draw[] (A) -- (D) -- (F) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (E) -- (F) -- cycle;
  \draw ($(A)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(A)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(B)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(B)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(A)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(A)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(C)!0.5!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(C)!0.5!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(A)!0.48!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(A)!0.48!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(A)!0.52!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(A)!0.52!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(D)!0.48!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(D)!0.48!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(D)!0.52!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(D)!0.52!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(A)!0.48!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(A)!0.48!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(A)!0.52!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(A)!0.52!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(B)!0.48!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(B)!0.48!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(B)!0.52!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(B)!0.52!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,F} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above right] at (A) {$A$};
  \node[above right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[below] at (E) {$E$};
  \node[left] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item а) Докажи да је у сваком троуглу збир две странице већи од треће: $a + b > c$. б) Нека је $M$ тачка у унутрашњости троугла $ABC$. Докажи да је $\len{AM} + \len{BM} + \len{CM} < a + b + c$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.55, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (7,0);
  \coordinate (A) at (2,4);
  \coordinate (D) at (4.86,9.73);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, teal!70!black] (A) -- (D);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (C);
  \draw ($(A)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(A)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(A)!0.5!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(A)!0.5!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=A--D--C};
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=D--C--A};
  \pic[draw, angle radius=13.13mm] {angle=A--C--B};
  \foreach \pt in {B,C,A,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[left] at (A) {$A$};
  \node[above] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item Дат је паралелограм $MNPQ$. Тачка $A$ је средиште странице $MQ$, а $B$ средиште странице $PQ$. Дужи $NA$ и $NB$ секу дијагоналу $MP$ у тачкама $C$ и $D$. Одреди однос $\len{CD} : \len{MP}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.15, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (M) at (0,0);
  \coordinate (N) at (6,0);
  \coordinate (P) at (8,3.6);
  \coordinate (Q) at (2,3.6);
  \coordinate (A) at (1,1.8);
  \coordinate (B) at (5,3.6);
  \coordinate (O) at (4,1.8);
  \coordinate (C) at (2.67,1.2);
  \coordinate (D) at (5.33,2.4);
  \draw[thick] (M) -- (N) -- (P) -- (Q) -- cycle;
  \draw (N) -- (Q);
  \draw[thick, red!70!black] (M) -- (P);
  \draw[thick, teal!70!black] (N) -- (A);
  \draw[thick, teal!70!black] (N) -- (B);
  \draw ($(M)!0.5!(A)!3pt!90:(A)$) -- ($(M)!0.5!(A)!3pt!-90:(A)$);
  \draw ($(A)!0.5!(Q)!3pt!90:(Q)$) -- ($(A)!0.5!(Q)!3pt!-90:(Q)$);
  \draw ($(Q)!0.48!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(Q)!0.48!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(Q)!0.52!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(Q)!0.52!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(B)!0.48!(P)!3pt!90:(P)$) -- ($(B)!0.48!(P)!3pt!-90:(P)$);
  \draw ($(B)!0.52!(P)!3pt!90:(P)$) -- ($(B)!0.52!(P)!3pt!-90:(P)$);
  \foreach \pt in {M,N,P,Q,A,B,O,C,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (M) {$M$};
  \node[below right] at (N) {$N$};
  \node[above right] at (P) {$P$};
  \node[above left] at (Q) {$Q$};
  \node[left] at (A) {$A$};
  \node[above] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (O) {$O$};
  \node[below] at (C) {$C$};
  \node[right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2020, VI разред, 5. задатак) Троуглови $ABC$ и $A_1B_1C_1$ су једнакокрако-правоугли са хипотенузама $AB$, односно $A_1B_1$, при чему тачка $A_1$ припада дужи $AC$, тачка $B_1$ дужи $AB$ и тачка $C_1$ дужи $BC$. Докажи да је $\len{AA_1} = 2\len{CC_1}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.79, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (A) at (6,0);
  \coordinate (B) at (0,6);
  \coordinate (A1) at (3,0);
  \coordinate (B1) at (1.5,4.5);
  \coordinate (C1) at (0,1.5);
  \coordinate (D) at (0,4.5);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A1) -- (B1) -- (C1) -- cycle;
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (D) -- (B1);
  \pic[draw] {right angle=A--C--B};
  \pic[draw] {right angle=A1--C1--B1};
  \pic[draw] {right angle=C--D--B1};
  \draw ($(C1)!0.5!(A1)!3pt!90:(A1)$) -- ($(C1)!0.5!(A1)!3pt!-90:(A1)$);
  \draw ($(C1)!0.5!(B1)!3pt!90:(B1)$) -- ($(C1)!0.5!(B1)!3pt!-90:(B1)$);
  \foreach \pt in {C,A,B,A1,B1,C1,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (C) {$C$};
  \node[below right] at (A) {$A$};
  \node[above left] at (B) {$B$};
  \node[below] at (A1) {$A_1$};
  \node[above right] at (B1) {$B_1$};
  \node[left] at (C1) {$C_1$};
  \node[left] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Нека су $D$ и $D_1$ подножја висина из $C$ и $C_1$. Троуглови су оштроугли, па је $D$ између $A$ и $B$, а $D_1$ између $A_1$ и $B_1$.; $\triangle DBC \cong \triangle D_1B_1C_1$ (правоугли код $D$, $D_1$; хипотенузе $\len{BC} = a = a_1$, катете $\len{CD} = h_c = h_{c_1}$), па је $\len{DB} = \len{D_1B_1}$.; $\triangle ADC \cong \triangle A_1D_1C_1$ (правоугли; хипотенузе $\len{AC} = b = b_1$, катете $\len{CD} = h_c = h_{c_1}$), па је $\len{AD} = \len{A_1D_1}$.; $\len{AB} = \len{AD} + \len{DB} = \len{A_1D_1} + \len{D_1B_1} = \len{A_1B_1}$, тј. $c = c_1$.; $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ (ССС: $a = a_1$, $b = b_1$, $c = c_1$).; Ако је уместо $h_c$ дата висина на једну од тих страница, рецимо $h_a$ (подножје $D$ на $BC$): правоугли $\triangle ADC \cong \triangle A_1D_1C_1$ (хипотенуза $b$, катета $h_a$) дају $\angle C = \angle C_1$, па СУС ($b$, $\angle C$, $a$). Услов о оштрим угловима је и ту битан.; \textbf{Решење:} $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$

\noindent\textbf{2.} а) $\triangle ABD \cong \triangle CDB$ (ССС: $\len{AB} = \len{CD}$, $\len{AD} = \len{CB}$, $BD$ заједничка), па је $\angle ABD = \angle CDB$ и $\angle ADB = \angle CBD$.; Из $\angle ABD = \angle CDB$ (наизменични углови уз трансверзалу $BD$) следи $AB \parallel CD$; из $\angle ADB = \angle CBD$ следи $AD \parallel BC$. Дакле $ABCD$ је паралелограм.; Нека је $O = AC \cap BD$. $\angle OAB = \angle OCD$ и $\angle OBA = \angle ODC$ (наизменични углови уз $AB \parallel CD$, трансверзале $AC$ и $BD$).; $\triangle AOB \cong \triangle COD$ (УСУ: $\angle OAB = \angle OCD$, $\len{AB} = \len{CD}$, $\angle OBA = \angle ODC$), па је $\len{AO} = \len{OC}$ и $\len{BO} = \len{OD}$.; б) Повуци дијагоналу $BD$. $\angle ABD = \angle CDB$ (наизменични, $AB \parallel CD$) и $\angle ADB = \angle CBD$ (наизменични, $AD \parallel BC$).; $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \angle CDB + \angle BDA = \angle CDA$.; Исто тако, преко дијагонале $AC$, $\angle BAD = \angle BCD$ (или: $\triangle ABD \cong \triangle CDB$ по УСУ, па је $\angle BAD = \angle DCB$).; \textbf{Решење:} а) $\len{AO} = \len{OC}$, $\len{BO} = \len{OD}$; б) $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.98, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (7,0);
  \coordinate (C) at (9,4);
  \coordinate (D) at (2,4);
  \coordinate (O) at (4.5,2);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (C);
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (D);
  \pic[draw, angle radius=7.5mm] {angle=B--A--O};
  \pic[draw, angle radius=7.5mm] {angle=D--C--O};
  \pic[draw, angle radius=6.25mm] {angle=O--B--A};
  \pic[draw, angle radius=6.25mm] {angle=O--D--C};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,O} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[above] at (O) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{3.} $\len{EB} = \len{AB} = \len{DC}$ и $\len{FD} = \len{AD} = \len{BC}$ (странице једнакостраничних троуглова и наспрамне странице правоугаоника).; $\angle EBC = \angle EBA + \angle ABC = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$ и $\angle FDC = \angle FDA + \angle ADC = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$.; $\triangle EBC \cong \triangle CDF$ (СУС: $\len{EB} = \len{CD}$, $\angle EBC = \angle CDF$, $\len{BC} = \len{DF}$), па је $\len{EC} = \len{CF}$.; $\angle EAF = 360^\circ - \angle EAB - \angle BAD - \angle DAF = 360^\circ - 60^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 150^\circ$.; $\triangle EAF \cong \triangle CDF$ (СУС: $\len{EA} = \len{AB} = \len{CD}$, $\angle EAF = \angle CDF = 150^\circ$, $\len{AF} = \len{AD} = \len{DF}$), па је $\len{EF} = \len{CF}$.; $\len{CE} = \len{CF} = \len{EF}$: троугао $CEF$ је једнакостраничан.; \textbf{Решење:} $\len{CE} = \len{CF} = \len{EF}$

\noindent\textbf{4.} а) Нека је $D$ тачка на продужетку странице $BA$ преко $A$ таква да је $\len{AD} = \len{AC}$ (распоред $B$–$A$–$D$). Тада је $\len{BD} = \len{AB} + \len{AC}$.; $\triangle ACD$ је једнакокрак, па је $\angle ADC = \angle ACD$. Тачка $A$ је унутар угла $BCD$, па је $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD > \angle ACD = \angle BDC$.; У $\triangle BCD$ наспрам већег угла лежи већа страница: $\len{BD} > \len{BC}$, тј. $\len{AB} + \len{AC} > \len{BC}$. Слова су произвољна, па је и $a + b > c$.; б) Нека полуправа $AM$ сече $BC$ у $K$. У $\triangle MKB$: $\len{MB} < \len{MK} + \len{KB}$; додамо $\len{AM}$: $\len{AM} + \len{MB} < \len{AK} + \len{KB}$.; У $\triangle ACK$: $\len{AK} < \len{AC} + \len{CK}$; додамо $\len{KB}$: $\len{AK} + \len{KB} < \len{AC} + \len{CB}$. Дакле $\len{AM} + \len{MB} < \len{AC} + \len{CB}$.; Исто тако $\len{BM} + \len{MC} < \len{BA} + \len{AC}$ и $\len{CM} + \len{MA} < \len{CB} + \len{BA}$.; Саберемо три неједнакости: $2(\len{AM} + \len{BM} + \len{CM}) < 2(a + b + c)$, па је $\len{AM} + \len{BM} + \len{CM} < a + b + c$.; \textbf{Решење:} а) $a + b > c$; б) $\len{AM} + \len{BM} + \len{CM} < a + b + c$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.93, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (2,4);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (6,0);
  \coordinate (M) at (2.6,1.4);
  \coordinate (K) at (2.92,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (M) -- (B);
  \draw[thick, red!70!black] (M) -- (C);
  \draw[thick, teal!70!black] (M) -- (K);
  \foreach \pt in {A,B,C,M,K} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[left] at (M) {$M$};
  \node[below] at (K) {$K$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{5.} Нека је $O = MP \cap NQ$. Дијагонале паралелограма се полове: $O$ је средиште и $MP$ и $NQ$.; У $\triangle MNQ$ су $NA$ и $MO$ тежишне дужи ($A$ средиште $MQ$, $O$ средиште $NQ$), па је $C$ тежиште тог троугла: $\len{MC} = \tfrac23\len{MO} = \tfrac23 \cdot \tfrac12\len{MP} = \tfrac13\len{MP}$.; У $\triangle NPQ$ су $NB$ и $PO$ тежишне дужи ($B$ средиште $PQ$, $O$ средиште $NQ$), па је $D$ тежиште: $\len{PD} = \tfrac23\len{PO} = \tfrac13\len{MP}$.; $\len{CD} = \len{MP} - \len{MC} - \len{PD} = \tfrac13\len{MP}$, тј. $\len{MC} = \len{CD} = \len{DP}$ и $\len{CD} : \len{MP} = 1 : 3$.; \textbf{Решење:} $\len{CD} : \len{MP} = 1 : 3$

\noindent\textbf{6.} Нека је $D$ подножје нормале из $B_1$ на $BC$ и $\len{CC_1} = x$.; $\angle A_1C_1C + \angle B_1C_1D = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, а и $\angle A_1C_1C + \angle C_1A_1C = 90^\circ$ (правоугли $\triangle A_1CC_1$), па је $\angle B_1C_1D = \angle C_1A_1C$.; $\triangle CA_1C_1 \cong \triangle DC_1B_1$ (правоугли, хипотенузе $\len{A_1C_1} = \len{C_1B_1}$, једнаки оштри углови), па је $\len{DB_1} = \len{CC_1} = x$ и $\len{DC_1} = \len{CA_1}$.; $\triangle DB_1B$ је правоугли са $\angle B = 45^\circ$, па је једнакокрак: $\len{DB} = \len{DB_1} = x$.; $\len{AA_1} = \len{AC} - \len{CA_1} = \len{BC} - \len{DC_1} = \len{DB} + \len{CC_1} = 2x$.; \textbf{Решење:} $\len{AA_1} = 2\len{CC_1}$


\end{document}