Пробни контролни 3

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Пробни контролни} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 3}
\end{center}

Пет задатака по $20$ поена, укупно $100$. Свако тврђење образложи: наведи став подударности са сва три услова, или особину коју користиш. Решења су сложена испод сваког задатка.

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item Нека је $D$ тачка на основици $BC$ једнакокраког троугла $ABC$ таква да је $\angle BAD = 36^\circ$, а $E$ тачка на краку $AC$ таква да је $\len{AE} = \len{AD}$. Одреди меру угла $CDE$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.79, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (4,5.2);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (8,0);
  \coordinate (D) at (3.86,0);
  \coordinate (E) at (7.17,1.08);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (D);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (E);
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=B--A--D};
  \pic[draw, angle radius=6.25mm] {angle=C--D--E};
  \draw ($(A)!0.5!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(A)!0.5!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(A)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(A)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[above right] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item Симетрале спољашњих углова код темена $B$ и $C$ троугла $ABC$ секу се у тачки $S$. а) Докажи да је $\angle BSC = 90^\circ - \tfrac{\alpha}{2}$. б) Ако је $\angle BSC = 55^\circ$, одреди $\alpha$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.48, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (2.45,4.24);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (6,0);
  \coordinate (S) at (3.32,-5.75);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (S);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (S);
  \draw[dashed] (0,0) -- (-1.6,0);
  \draw[dashed] (6,0) -- (7.6,0);
  \pic[draw, angle radius=7.5mm] {angle=C--S--B};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=B--A--C};
  \foreach \pt in {A,B,C,S} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[left] at (B) {$B$};
  \node[right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (S) {$S$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item На страницама $AB$ и $AC$ једнакостраничног троугла $ABC$ дате су тачке $M$ и $N$ такве да је $\len{AM} = \len{CN}$. Докажи да је $\len{BN} = \len{CM}$ и одреди угао између правих $BN$ и $CM$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.87, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (3,5.2);
  \coordinate (M) at (2.2,0);
  \coordinate (N) at (1.9,3.29);
  \coordinate (X) at (2.62,2.71);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (N);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (M);
  \draw ($(A)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(A)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(C)!0.5!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(C)!0.5!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,M,N,X} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (M) {$M$};
  \node[above left] at (N) {$N$};
  \node[right] at (X) {$X$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item На хипотенузи $AB$ правоуглог троугла $ABC$ дата је тачка $M$ таква да је $\len{AM} = \len{AC}$, а на катети $BC$ тачка $N$ таква да је $\len{CN} = \len{CP}$, где је $P$ подножје висине из темена $C$. Одреди меру угла $CNM$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.96, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (A) at (0,4.5);
  \coordinate (B) at (7,0);
  \coordinate (P) at (2.05,3.18);
  \coordinate (M) at (3.79,2.07);
  \coordinate (N) at (3.79,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (C) -- (P);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (M);
  \draw[thick, teal!70!black] (N) -- (M);
  \pic[draw] {right angle=A--C--B};
  \pic[draw] {right angle=A--P--C};
  \draw ($(A)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(A)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(A)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(A)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(C)!0.49!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(C)!0.49!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(C)!0.51!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(C)!0.51!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(C)!0.49!(P)!3pt!90:(P)$) -- ($(C)!0.49!(P)!3pt!-90:(P)$);
  \draw ($(C)!0.51!(P)!3pt!90:(P)$) -- ($(C)!0.51!(P)!3pt!-90:(P)$);
  \foreach \pt in {C,A,B,P,M,N} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (P) {$P$};
  \node[above right] at (M) {$M$};
  \node[below] at (N) {$N$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item У троуглу $ABC$ је $\angle ACB = 60^\circ$. Симетрала угла $A$ сече $BC$ у тачки $D$, симетрала угла $B$ сече $AC$ у тачки $E$, а секу се у тачки $I$. Докажи да је $\len{ID} = \len{IE}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.19, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (3.8,3.8);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (6,0);
  \coordinate (D) at (3.3,0);
  \coordinate (E) at (4.84,2.01);
  \coordinate (I) at (3.49,1.45);
  \coordinate (F) at (2.34,2.34);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (A) -- (D);
  \draw (B) -- (E);
  \draw[thick, teal!70!black] (I) -- (F);
  \draw[thick, red!70!black] (I) -- (D);
  \draw[thick, red!70!black] (I) -- (E);
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=A--C--B};
  \draw ($(A)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(A)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(A)!0.5!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(A)!0.5!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,I,F} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below right] at (D) {$D$};
  \node[right] at (E) {$E$};
  \node[above right] at (I) {$I$};
  \node[left] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Нека је $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$, $\angle ADE = \angle AED = \beta$ и $\angle CDE = x$.; $\angle ADC = \alpha + 36^\circ$ (спољашњи угао $\triangle ABD$) и $\angle ADC = \beta + x$.; $\beta = \alpha + x$ (спољашњи угао $\triangle CDE$ код $E$).; $\alpha + 36^\circ = \alpha + 2x$, па је $x = 18^\circ$.; \textbf{Решење:} $\angle CDE = 18^\circ$

\noindent\textbf{2.} а) Спољашњи угао код $B$ има меру $\alpha + \gamma$, па је $\angle SBC = \tfrac{\alpha+\gamma}{2}$; слично $\angle SCB = \tfrac{\alpha+\beta}{2}$.; $\angle BSC = 180^\circ - \tfrac{\alpha+\gamma}{2} - \tfrac{\alpha+\beta}{2} = 180^\circ - \alpha - \tfrac{\beta+\gamma}{2} = 180^\circ - \alpha - \tfrac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \tfrac{\alpha}{2}$.; б) $90^\circ - \tfrac{\alpha}{2} = 55^\circ$, па је $\alpha = 70^\circ$.; \textbf{Решење:} $\angle BSC = 90^\circ - \tfrac{\alpha}{2}$; $\alpha = 70^\circ$

\noindent\textbf{3.} $\triangle CAM \cong \triangle BCN$ (СУС: $\len{CA} = \len{BC}$, $\angle CAM = \angle BCN = 60^\circ$, $\len{AM} = \len{CN}$), па је $\len{CM} = \len{BN}$ и $\angle ACM = \angle CBN$.; Нека је $X = BN \cap CM$. $\angle XBC = \angle CBN = \angle ACM$ и $\angle XCB = 60^\circ - \angle ACM$.; $\angle BXC = 180^\circ - \angle ACM - (60^\circ - \angle ACM) = 120^\circ$, па је угао између правих $BN$ и $CM$ једнак $60^\circ$.; \textbf{Решење:} $\len{BN} = \len{CM}$; угао $60^\circ$

\noindent\textbf{4.} Нека је $\angle BAC = \alpha$. Из правоуглог $\triangle APC$: $\angle ACP = 90^\circ - \alpha$, па је $\angle PCB = \alpha$.; $\triangle ACM$ је једнакокрак, па је $\angle ACM = \tfrac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \tfrac{\alpha}{2}$ и $\angle MCB = 90^\circ - \angle ACM = \tfrac{\alpha}{2}$.; $\angle PCM = \angle PCB - \angle MCB = \tfrac{\alpha}{2} = \angle MCB$: $CM$ је симетрала угла $PCB$.; $\triangle CPM \cong \triangle CNM$ (СУС: $\len{CP} = \len{CN}$, $\angle PCM = \angle NCM$, $CM$ заједничка), па је $\angle CNM = \angle CPM = 90^\circ$.; \textbf{Решење:} $\angle CNM = 90^\circ$

\noindent\textbf{5.} $\angle AIB = 180^\circ - \tfrac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$, па је $\angle AIE = \angle BID = 60^\circ$.; Нека је $F$ тачка дужи $AB$ са $\len{AF} = \len{AE}$. $\triangle AIE \cong \triangle AIF$ (СУС), па је $\len{IE} = \len{IF}$ и $\angle AIF = 60^\circ$.; $\angle BIF = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ = \angle BID$, па је $\triangle BIF \cong \triangle BID$ (УСУ: $BI$ заједничка, $\angle IBF = \angle IBD$, $\angle BIF = \angle BID$) и $\len{IF} = \len{ID}$.; $\len{ID} = \len{IF} = \len{IE}$.; \textbf{Решење:} $\len{ID} = \len{IE}$


\end{document}