Пробни контролни 2

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Пробни контролни} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 2}
\end{center}

Пет задатака по $20$ поена, укупно $100$. Свако тврђење образложи: наведи став подударности са сва три услова, или особину коју користиш. Решења су сложена испод сваког задатка.

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item Симетрала угла $ABC$ паралелограма $ABCD$ ($\len{AB} > \len{BC}$) сече праву $AD$ у тачки $E$ тако да је $\len{DE} = 4\,\mathrm{cm}$. Обим паралелограма је $56\,\mathrm{cm}$. Израчунај дужине страница паралелограма.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.68, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (8,0);
  \coordinate (C) at (10,3.5);
  \coordinate (D) at (2,3.5);
  \coordinate (E) at (3.97,6.95);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (E);
  \draw (D) -- (E);
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=E--B--A};
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=C--B--E};
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=A--E--B};
  \draw ($(A)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(A)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(A)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(A)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \node[left] at ($(D)!0.5!(E)$) {$4$};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[right] at (C) {$C$};
  \node[left] at (D) {$D$};
  \node[above] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item У троуглу $ABC$ је $\angle BAC = 50^\circ$ и $\angle ABC = 70^\circ$. Нека је $CD$ висина, а $CE$ симетрала угла $ACB$ ($D, E \in AB$). а) Одреди меру угла $DCE$. б) Докажи да је у сваком троуглу угао између висине и симетрале угла из истог темена једнак половини разлике друга два угла троугла.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.64, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (7,0);
  \coordinate (C) at (4.88,5.82);
  \coordinate (D) at (4.88,0);
  \coordinate (E) at (3.86,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (E);
  \pic[draw] {right angle=A--D--C};
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=E--C--D};
  \pic[draw, angle radius=7.5mm] {angle=B--A--C};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=C--B--A};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[below] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item Дат је оштроугли троугао $ABC$. Тачке $M$ и $N$ су средишта страница $AB$ и $AC$, а $D$ је подножје висине из темена $A$. Докажи да је $\angle MDN = \angle BAC$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.77, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (2.72,5.11);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (7,0);
  \coordinate (M) at (1.36,2.55);
  \coordinate (N) at (4.86,2.55);
  \coordinate (D) at (2.72,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (A) -- (D);
  \draw[thick, red!70!black] (M) -- (D);
  \draw[thick, red!70!black] (N) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (M) -- (A);
  \draw[thick, teal!70!black] (N) -- (A);
  \pic[draw] {right angle=B--D--A};
  \draw ($(A)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(A)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(M)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(M)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(A)!0.48!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(A)!0.48!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(A)!0.52!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(A)!0.52!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(N)!0.48!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(N)!0.48!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(N)!0.52!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(N)!0.52!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,M,N,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (M) {$M$};
  \node[above right] at (N) {$N$};
  \node[below] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item Дат је квадрат $ABCD$ и тачка $E$ на страници $BC$. Симетрала угла $EAD$ сече страницу $CD$ у тачки $F$. Докажи да је $\len{AE} = \len{BE} + \len{DF}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.76, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (6,6);
  \coordinate (D) at (0,6);
  \coordinate (E) at (6,2.6);
  \coordinate (F) at (3.94,6);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw (A) -- (E);
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (F);
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=E--A--F};
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=F--A--D};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,F} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above] at (D) {$D$};
  \node[right] at (E) {$E$};
  \node[above] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item У унутрашњости квадрата $ABCD$ дата је тачка $P$ таква да је $\angle PAB = \angle PBA = 15^\circ$. Докажи да је троугао $PCD$ једнакостраничан.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.76, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (6,6);
  \coordinate (D) at (0,6);
  \coordinate (P) at (3,0.8);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw (A) -- (P);
  \draw (B) -- (P);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (P);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (P);
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=B--A--P};
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=P--B--A};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,P} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[above] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $AD \parallel BC$, па је $\angle AEB = \angle EBC$ (наизменични), а $\angle EBC = \angle ABE$ (симетрала). Дакле $\triangle ABE$ је једнакокрак: $\len{AE} = \len{AB}$.; $\len{AE} = \len{AB} > \len{BC} = \len{AD}$, па је $E$ на продужетку $AD$ преко $D$: $\len{AE} = \len{AD} + \len{DE} = \len{AD} + 4$.; $2(\len{AB} + \len{AD}) = 2(2\len{AD} + 4) = 56$, па је $\len{AD} = 12\,\mathrm{cm}$ и $\len{AB} = 16\,\mathrm{cm}$.; \textbf{Решење:} $\len{AB} = \len{CD} = 16\,\mathrm{cm}$, $\len{BC} = \len{AD} = 12\,\mathrm{cm}$

\noindent\textbf{2.} а) $\gamma = 60^\circ$. Из правоуглог $\triangle ADC$: $\angle ACD = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$; $\angle ACE = 30^\circ$; $\angle DCE = 40^\circ - 30^\circ = 10^\circ$.; б) Нека је $\alpha \ge \beta$. $\angle ACD = 90^\circ - \alpha$ и $\angle ACE = \tfrac{\gamma}{2} = 90^\circ - \tfrac{\alpha + \beta}{2}$.; $\angle DCE = \angle ACE - \angle ACD = 90^\circ - \tfrac{\alpha+\beta}{2} - 90^\circ + \alpha = \tfrac{\alpha - \beta}{2}$.; \textbf{Решење:} $\angle DCE = 10^\circ$; у општем случају $\tfrac{|\alpha - \beta|}{2}$

\noindent\textbf{3.} $\triangle ADB$ је правоугли са хипотенузом $AB$, а $M$ је средиште хипотенузе, па је $\len{MD} = \len{MA}$ и $\angle MDA = \angle MAD$.; Исто тако из правоуглог $\triangle ADC$: $\len{ND} = \len{NA}$ и $\angle NDA = \angle NAD$.; Троугао је оштроугли, па је $D$ између $B$ и $C$, а $AD$ је унутар углова $MDN$ и $BAC$: $\angle MDN = \angle MDA + \angle ADN = \angle MAD + \angle DAN = \angle BAC$.; \textbf{Решење:} $\angle MDN = \angle BAC$

\noindent\textbf{4.} Нека је $F'$ тачка на продужетку странице $CD$ преко $D$ таква да је $\len{DF'} = \len{BE}$.; $\triangle ABE \cong \triangle ADF'$ (СУС: $\len{AB} = \len{AD}$, прави углови, $\len{BE} = \len{DF'}$), па је $\len{AE} = \len{AF'}$ и $\angle BAE = \angle DAF'$.; Нека је $\angle EAF = \angle FAD = \varphi$. Тада је $\angle BAE = 90^\circ - 2\varphi$ и $\angle F'AF = \angle F'AD + \angle DAF = 90^\circ - 2\varphi + \varphi = 90^\circ - \varphi$.; Из правоуглог $\triangle ADF$: $\angle AFD = 90^\circ - \varphi$, тј. $\angle AFF' = 90^\circ - \varphi = \angle FAF'$. Дакле $\triangle AFF'$ је једнакокрак, $\len{F'F} = \len{F'A}$.; $\len{AE} = \len{AF'} = \len{FF'} = \len{FD} + \len{DF'} = \len{DF} + \len{BE}$.; \textbf{Решење:} $\len{AE} = \len{BE} + \len{DF}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.76, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (6,6);
  \coordinate (D) at (0,6);
  \coordinate (E) at (6,2.6);
  \coordinate (F) at (3.94,6);
  \coordinate (F') at (-2.6,6);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw (A) -- (E);
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (F);
  \draw[thick, teal!70!black] (D) -- (F');
  \draw[thick, teal!70!black] (A) -- (F');
  \draw ($(B)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(B)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(D)!0.5!(F')!3pt!90:(F')$) -- ($(D)!0.5!(F')!3pt!-90:(F')$);
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=E--A--F};
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=F--A--D};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,F,F'} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above] at (D) {$D$};
  \node[right] at (E) {$E$};
  \node[above] at (F) {$F$};
  \node[above left] at (F') {$F'$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{5.} Нека је $Q$ тачка у унутрашњости квадрата таква да је $\triangle QCD$ једнакостраничан. Показаћемо да је $Q = P$.; $\angle QDA = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ и $\len{DQ} = \len{DC} = \len{DA}$, па је $\triangle DAQ$ једнакокрак: $\angle DAQ = \angle DQA = 75^\circ$. Отуда $\angle QAB = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.; Исто тако је $\angle QBA = 15^\circ$.; Полуправе из $A$ и $B$ које са $AB$ граде угао од $15^\circ$ (ка унутрашњости квадрата) секу се у тачно једној тачки; то је и $P$ и $Q$, па је $P = Q$.; $\triangle PCD = \triangle QCD$ је једнакостраничан.; \textbf{Решење:} $\len{PC} = \len{PD} = \len{CD}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.76, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (6,6);
  \coordinate (D) at (0,6);
  \coordinate (P) at (3,0.8);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw (A) -- (P);
  \draw (B) -- (P);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (P);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (P);
  \draw[thick, teal!70!black] (A) -- (P);
  \draw ($(D)!0.5!(P)!3pt!90:(P)$) -- ($(D)!0.5!(P)!3pt!-90:(P)$);
  \draw ($(C)!0.5!(P)!3pt!90:(P)$) -- ($(C)!0.5!(P)!3pt!-90:(P)$);
  \draw ($(D)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(D)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=B--A--P};
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=P--B--A};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,P} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[above] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{document}