Пробни контролни 1

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Пробни контролни} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 1}
\end{center}

Пет задатака по $20$ поена, укупно $100$. Свако тврђење образложи: наведи став подударности са сва три услова, или особину коју користиш. Решења су сложена испод сваког задатка.

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item Дат је квадрат $ABCD$. На страници $BC$ дата је тачка $M$, а на страници $CD$ тачка $N$ тако да је $\len{BM} = \len{CN}$. Докажи да је $\len{AM} = \len{BN}$ и $AM \perp BN$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.72, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (6,6);
  \coordinate (D) at (0,6);
  \coordinate (M) at (6,2.2);
  \coordinate (N) at (3.8,6);
  \coordinate (X) at (5.29,1.94);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (N);
  \draw ($(B)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(B)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(C)!0.5!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(C)!0.5!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,M,N,X} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[right] at (M) {$M$};
  \node[above] at (N) {$N$};
  \node[above left] at (X) {$X$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item У троуглу $ABC$ је $\angle ABC = 60^\circ$. Нека је $D$ тачка странице $BC$ таква да је $\angle BAD = 45^\circ$ и $\len{AB} + \len{BD} = \len{AC}$. Одреди меру угла $ACB$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.05, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (1.75,3.03);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (7,0);
  \coordinate (D) at (2.56,0);
  \coordinate (E) at (-3.5,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (E) -- (B);
  \draw[thick, teal!70!black] (E) -- (A);
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=C--B--A};
  \pic[draw, angle radius=8.13mm] {angle=B--A--D};
  \draw ($(E)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(E)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(A)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(A)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[below left] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item Странице троугла $ABC$ су $\len{AB} = 20$, $\len{BC} = 17$ и $\len{AC} = 15$. Симетрала угла код темена $A$ сече $BC$ у тачки $L$, а симетрала угла код темена $B$ сече $AC$ у тачки $K$. Нека су $M$ и $N$ подножја нормала из $C$ редом на $BK$ и $AL$. Израчунај $\len{MN}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.79, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (8,0);
  \coordinate (C) at (3.36,4.97);
  \coordinate (L) at (5.35,2.84);
  \coordinate (K) at (1.82,2.69);
  \coordinate (M) at (2.28,2.49);
  \coordinate (N) at (4.68,2.49);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (A) -- (L);
  \draw (B) -- (K);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (M);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (N);
  \draw[thick, red!70!black] (M) -- (N);
  \pic[draw] {right angle=B--M--C};
  \pic[draw] {right angle=A--N--C};
  \node[below] at ($(A)!0.5!(B)$) {$20$};
  \node[above right] at ($(B)!0.5!(C)$) {$17$};
  \node[above left] at ($(A)!0.5!(C)$) {$15$};
  \foreach \pt in {A,B,C,L,K,M,N} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[right] at (L) {$L$};
  \node[left] at (K) {$K$};
  \node[below] at (M) {$M$};
  \node[below] at (N) {$N$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item У правоуглом троуглу $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) је $\angle ABC = 35^\circ$. Нека је $M$ средиште хипотенузе $AB$, а симетрала угла $ACM$ сече $AB$ у тачки $D$. Одреди меру угла $CDB$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.88, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (A) at (0,4.2);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (M) at (3,2.1);
  \coordinate (D) at (1.6,3.08);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (C) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (D);
  \pic[draw] {right angle=A--C--B};
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=D--C--A};
  \pic[draw, angle radius=11.25mm] {angle=M--C--D};
  \pic[draw, angle radius=11.25mm] {angle=A--B--C};
  \draw ($(A)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(A)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(M)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(M)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \foreach \pt in {C,A,B,M,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (M) {$M$};
  \node[above right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item У једнакокраком троуглу $ABC$ ($\len{AB} = \len{AC}$) је $\angle BAC = 100^\circ$. Симетрала угла $ABC$ сече страницу $AC$ у тачки $D$. Докажи да је $\len{BC} = \len{BD} + \len{AD}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.19, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (3.5,2.94);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (7,0);
  \coordinate (D) at (4.88,1.78);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (D);
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=D--B--A};
  \pic[draw, angle radius=11.25mm] {angle=C--B--D};
  \pic[draw, angle radius=6.25mm] {angle=B--A--C};
  \foreach \pt in {A,B,C,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[above right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\triangle ABM \cong \triangle BCN$ (СУС: $\len{AB} = \len{BC}$, $\angle ABM = \angle BCN = 90^\circ$, $\len{BM} = \len{CN}$), па је $\len{AM} = \len{BN}$ и $\angle BAM = \angle CBN$.; Нека је $X = AM \cap BN$. У $\triangle ABX$: $\angle XAB = \angle BAM$ и $\angle XBA = 90^\circ - \angle CBN = 90^\circ - \angle BAM$.; $\angle AXB = 180^\circ - \angle BAM - (90^\circ - \angle BAM) = 90^\circ$, тј. $AM \perp BN$.; \textbf{Решење:} $\len{AM} = \len{BN}$, $AM \perp BN$

\noindent\textbf{2.} Из $\triangle ABD$: $\angle ADB = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$.; Нека је $E$ тачка праве $CB$ таква да је $B$ између $C$ и $E$ и $\len{EB} = \len{BA}$. $\angle ABE = 120^\circ$, а $\triangle ABE$ је једнакокрак, па је $\angle AEB = \angle EAB = 30^\circ$.; $\angle EAD = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ = \angle EDA$, па је $\len{EA} = \len{ED}$.; $\len{ED} = \len{EB} + \len{BD} = \len{AB} + \len{BD} = \len{AC}$, па је $\len{EA} = \len{AC}$ и $\angle ACB = \angle ACE = \angle AEC = 30^\circ$.; \textbf{Решење:} $\angle ACB = 30^\circ$

\noindent\textbf{3.} Нека права $CM$ сече $AB$ у $P$. $\triangle BMC \cong \triangle BMP$ (УСУ: $\angle CBM = \angle PBM$, $BM$ заједничка, прави углови код $M$), па је $\len{BP} = \len{BC} = 17$ и $M$ је средиште $CP$.; Ако права $CN$ сече $AB$ у $Q$, исто тако је $\len{AQ} = \len{AC} = 15$ и $N$ је средиште $CQ$.; $MN$ је средња линија $\triangle CPQ$: $\len{MN} = \tfrac12\len{PQ}$.; $\len{PQ} = \len{AQ} + \len{BP} - \len{AB} = 15 + 17 - 20 = 12$, па је $\len{MN} = 6$.; \textbf{Решење:} $\len{MN} = 6$

\noindent\textbf{4.} $\angle BAC = 55^\circ$. $\len{MC} = \len{MA}$ (тежишна дуж на хипотенузу), па је $\angle MCA = \angle MAC = 55^\circ$.; $CD$ полови угао $ACM$: $\angle ACD = 27^\circ 30'$.; $\angle CDB$ је спољашњи угао $\triangle ACD$: $\angle CDB = \angle CAD + \angle ACD = 55^\circ + 27^\circ 30' = 82^\circ 30'$.; \textbf{Решење:} $\angle CDB = 82^\circ 30'$

\noindent\textbf{5.} $\angle ABC = \angle ACB = 40^\circ$, $\angle ABD = \angle DBC = 20^\circ$, $\angle ADB = 180^\circ - 100^\circ - 20^\circ = 60^\circ$.; У $\triangle ABD$ је $\angle BAD = 100^\circ > \angle ADB = 60^\circ$, па је $\len{BD} > \len{BA}$. Нека су $F$ и $E$ тачке странице $BC$ такве да је $\len{BF} = \len{BA}$ и $\len{BE} = \len{BD}$; тада је $F$ између $B$ и $E$.; $\triangle ABD \cong \triangle FBD$ (СУС: $\len{BA} = \len{BF}$, $\angle ABD = \angle FBD$, $BD$ заједничка), па је $\len{FD} = \len{AD}$ и $\angle BFD = \angle BAD = 100^\circ$, тј. $\angle DFE = 80^\circ$.; $\triangle BDE$ је једнакокрак са $\angle DBE = 20^\circ$, па је $\angle BED = \angle BDE = 80^\circ$. У $\triangle DFE$ су углови код $F$ и $E$ по $80^\circ$, па је $\len{DE} = \len{DF} = \len{AD}$.; $\angle DEC = 100^\circ$ и $\angle DCE = 40^\circ$, па је $\angle EDC = 40^\circ$ и $\len{EC} = \len{ED} = \len{AD}$.; $\len{BC} = \len{BE} + \len{EC} = \len{BD} + \len{AD}$.; \textbf{Решење:} $\len{BC} = \len{BD} + \len{AD}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.19, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (3.5,2.94);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (7,0);
  \coordinate (D) at (4.88,1.78);
  \coordinate (F) at (4.57,0);
  \coordinate (E) at (5.2,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (D) -- (F);
  \draw[thick, teal!70!black] (D) -- (E);
  \draw ($(B)!0.5!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(B)!0.5!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(B)!0.5!(A)!3pt!90:(A)$) -- ($(B)!0.5!(A)!3pt!-90:(A)$);
  \draw ($(B)!0.49!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(B)!0.49!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(B)!0.51!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(B)!0.51!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(B)!0.49!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(B)!0.49!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(B)!0.51!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(B)!0.51!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=D--B--A};
  \pic[draw, angle radius=11.25mm] {angle=C--B--D};
  \pic[draw, angle radius=6.25mm] {angle=B--A--C};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,F,E} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[above right] at (D) {$D$};
  \node[below] at (F) {$F$};
  \node[below] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{document}