Симетрала угла: \(|BD| = |DE|\)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Значајне линије троугла} \\[2pt]
  {\small Симетрала угла: $\len{BD} = \len{DE}$}
\end{center}

\begin{theorem}
Симетрала угла $BAC$ троугла $ABC$ сече страницу $BC$ у тачки $D$. Тачка $E$ на страници $AC$ је таква да је $\angle CDE = \angle BAC = \alpha$. Тада је $\len{BD} = \len{DE}$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (1.45,4.47);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (5.2,0);
  \coordinate (D) at (2.32,0);
  \coordinate (E) at (3.55,1.97);
  \coordinate (P) at (0.22,0.68);
  \coordinate (Q) at (4.01,1.42);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (A) -- (D);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (E);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (D) -- (P);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (D) -- (Q);
  \pic[draw] {right angle=A--P--D};
  \pic[draw] {right angle=A--Q--D};
  \draw ($(B)!0.48!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(B)!0.48!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(B)!0.52!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(B)!0.52!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(D)!0.48!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(D)!0.48!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(D)!0.52!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(D)!0.52!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=B--A--C};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=C--D--E};
  \pic[draw, angle radius=6.25mm] {angle=C--B--A};
  \pic[draw, angle radius=6.25mm] {angle=D--E--C};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,P,Q} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[right] at (E) {$E$};
  \node[left] at (P) {$P$};
  \node[above right] at (Q) {$Q$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\angle BAD = \angle DAC = \tfrac{\alpha}{2}$, $D \in BC$, $E \in AC$, $\angle CDE = \alpha$. \\
\textbf{Доказати:} $\len{BD} = \len{DE}$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}p{13.5cm}}{\emph{Конструкција: $P$ и $Q$ су подножја нормала из $D$ на праве $AB$ и $AC$.}} \\
1. & \len{DP} = \len{DQ} & $D$ је на симетрали угла $BAC$, па је подједнако удаљена од кракова. \\
2. & \angle DEC = \beta & $\angle DEC = 180^\circ - \alpha - \gamma$ из збира углова у $\triangle CDE$ ($\angle CDE = \alpha$, $\angle DCE = \gamma$) и у $\triangle ABC$. \\
3. & \angle DEQ = \angle DBP & оштри угао између праве $DE$ и праве $AC$ једнак је оштром углу између праве $DB$ и праве $AB$, по кораку 2 (оба су $\beta$ или оба $180^\circ - \beta$). \\
4. & \triangle DPB \cong \triangle DQE & правоугли (код $P$ и $Q$), $\len{DP} = \len{DQ}$ (1), једнаки оштри углови (3), па и трећи углови; став УСУ. \\
5. & \len{BD} = \len{DE} & одговарајуће странице — хипотенузе (4). \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}