Симетрала угла, симетрала дужи, тежишна дуж

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Значајне линије троугла} \\[2pt]
  {\small Симетрала угла, симетрала дужи, тежишна дуж}
\end{center}

У свакој од ове три линије има по једно „подједнако“: тачке симетрале угла подједнако су удаљене од кракова, тачке симетрале дужи од њених крајева, а тежишна дуж иде до тачке која страницу дели на два једнака дела. Све три особине доказују се подударношћу троуглова.

\section*{Симетрала угла}

\noindent\textbf{Симетрала угла.} полуправа из темена која угао дели на два једнака угла. У троуглу симетрала угла код темена $A$ сече наспрамну страницу $BC$ у тачки $D$.


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (1.93,3.63);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (5.2,0);
  \coordinate (D) at (2.38,0);
  \coordinate (P) at (0.52,0.99);
  \coordinate (Q) at (3.94,1.4);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (D) -- (P);
  \draw[thick, teal!70!black] (D) -- (Q);
  \pic[draw] {right angle=A--P--D};
  \pic[draw] {right angle=A--Q--D};
  \pic[draw, angle radius=8.13mm] {angle=B--A--D};
  \pic[draw, angle radius=10mm] {angle=D--A--C};
  \draw ($(D)!0.5!(P)!3pt!90:(P)$) -- ($(D)!0.5!(P)!3pt!-90:(P)$);
  \draw ($(D)!0.5!(Q)!3pt!90:(Q)$) -- ($(D)!0.5!(Q)!3pt!-90:(Q)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,P,Q} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[above left] at (P) {$P$};
  \node[above right] at (Q) {$Q$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}\small $AD$ је симетрала угла $A$; $DP \perp AB$, $DQ \perp AC$.\end{center}

\begin{theorem}[Особина симетрале угла]
Свака тачка симетрале угла подједнако је удаљена од кракова: $\len{DP} = \len{DQ}$. Важи и обрнуто: тачка унутар угла која је подједнако удаљена од кракова лежи на симетрали.
\end{theorem}

Доказ: правоугли троуглови $APD$ и $AQD$ имају заједничку хипотенузу $AD$ и једнаке оштре углове код $A$, па су подударни (УСУ, уз трећи угао из збира углова); отуда $\len{DP}=\len{DQ}$.

\begin{itemize}
  \item Симетрале сва три угла троугла секу се у једној тачки $S$. Она је подједнако удаљена од свих страница, па је центар уписаног круга (подударност, страна 03).
  \item У једнакокраком троуглу симетрала угла при врху је истовремено висина и тежишна дуж на основицу (подударност, страна 08).
\end{itemize}

\section*{Симетрала дужи (странице)}

\noindent\textbf{Симетрала дужи.} права која садржи средиште $S$ дужи $AB$ и нормална је на $AB$.


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (5,0);
  \coordinate (S) at (2.5,0);
  \coordinate (X) at (2.5,2.7);
  \draw[thick] (A) -- (B);
  \draw[thick, red!70!black] (2.5,-0.5) -- (2.5,3.2);
  \draw[thick, teal!70!black] (X) -- (A);
  \draw[thick, teal!70!black] (X) -- (B);
  \pic[draw] {right angle=B--S--X};
  \draw ($(A)!0.5!(S)!3pt!90:(S)$) -- ($(A)!0.5!(S)!3pt!-90:(S)$);
  \draw ($(S)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(S)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(X)!0.49!(A)!3pt!90:(A)$) -- ($(X)!0.49!(A)!3pt!-90:(A)$);
  \draw ($(X)!0.51!(A)!3pt!90:(A)$) -- ($(X)!0.51!(A)!3pt!-90:(A)$);
  \draw ($(X)!0.49!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(X)!0.49!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(X)!0.51!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(X)!0.51!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \node[left, red!70!black] at ($(2.5,-0.5)!1!(2.5,3.2)$) {$s$};
  \foreach \pt in {A,B,S,X} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (S) {$S$};
  \node[right] at (X) {$X$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}\small $s$ је симетрала дужи $AB$; за сваку тачку $X \in s$ важи $\len{XA} = \len{XB}$.\end{center}

\begin{theorem}[Особина симетрале дужи]
Тачка је на симетрали дужи $AB$ ако и само ако је подједнако удаљена од $A$ и $B$.
\end{theorem}

Доказ: за $X \in s$ троуглови $ASX$ и $BSX$ су подударни по ставу СУС ($\len{AS}=\len{BS}$, прав угао код $S$, $SX$ заједничка), па је $\len{XA}=\len{XB}$. Обрнуто, ако је $\len{XA}=\len{XB}$, троуглови $ASX$ и $BSX$ су подударни по ставу ССС, па су углови код $S$ једнаки и зато прави.

\begin{itemize}
  \item Симетрале све три странице троугла секу се у једној тачки $O$, подједнако удаљеној од сва три темена: то је центар описаног круга (подударност, страна 04).
  \item У једнакокраком троуглу симетрала основице пролази кроз врх и поклапа се са висином на основицу.
\end{itemize}

\section*{Тежишна дуж}

\noindent\textbf{Тежишна дуж.} дуж која спаја теме троугла са средиштем наспрамне странице. Тежишна дуж из темена $A$ означава се са $t_a$.


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (2.03,3.25);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (5.4,0);
  \coordinate (A1) at (2.7,0);
  \coordinate (B1) at (3.72,1.63);
  \coordinate (C1) at (1.02,1.63);
  \coordinate (T) at (2.48,1.08);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (A1);
  \draw[thick, teal!70!black] (B) -- (B1);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (C1);
  \draw ($(B)!0.5!(A1)!3pt!90:(A1)$) -- ($(B)!0.5!(A1)!3pt!-90:(A1)$);
  \draw ($(A1)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(A1)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(A)!0.48!(B1)!3pt!90:(B1)$) -- ($(A)!0.48!(B1)!3pt!-90:(B1)$);
  \draw ($(A)!0.52!(B1)!3pt!90:(B1)$) -- ($(A)!0.52!(B1)!3pt!-90:(B1)$);
  \draw ($(B1)!0.48!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(B1)!0.48!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(B1)!0.52!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(B1)!0.52!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \node[left, red!70!black] at ($(A)!0.35!(A1)$) {$t_a$};
  \foreach \pt in {A,B,C,A1,B1,C1,T} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (A1) {$A_1$};
  \node[above right] at (B1) {$B_1$};
  \node[above left] at (C1) {$C_1$};
  \node[below right] at (T) {$T$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}\small $A_1$, $B_1$, $C_1$ су средишта страница; тежишне дужи се секу у тежишту $T$.\end{center}

\begin{theorem}[Тежиште]
Све три тежишне дужи троугла секу се у једној тачки $T$ (тежиште), која сваку од њих дели у односу $2:1$ рачунајући од темена: $\len{AT} = 2\len{TA_1}$.
\end{theorem}

\begin{itemize}
  \item Тежишна дуж на хипотенузу правоуглог троугла једнака је половини хипотенузе; средиште хипотенузе је центар описаног круга.
  \item Тежишне дужи и тежиште користе се у подударности на странама 07, 10, 12 и 22.
\end{itemize}

\section*{Подсетник са почетка свеске}

Прва страна свеске је кратак преглед раније пређеног, уз скице:

\begin{center}
\begin{tabular}{@{}lll@{}}
\toprule
 & Тврђење & Где \\
\midrule
1 & Средња линија троугла једнака је половини странице са којом је паралелна: $\tfrac{a}{2}$. & подударност 01 \\
2 & Ако су два троугла подударна, подударне су им и одговарајуће висине. & подударност 02 \\
3 & Паралелограм: наспрамне странице су једнаке и паралелне, дијагонале се полове. & подударност 05, 06 \\
4 & Правоугаоник: дијагонале су једнаке и полове се; пресек дијагонала је центар описаног круга. & подударност 06 \\
5 & Круг полупречника $r$: $P = r^2\pi$, $O = 2r\pi$, па је $\tfrac{P}{O} = \tfrac{r}{2}$. &  \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\end{document}