Значајне линије троугла · свеска: задатак 1

Квадрат: \(|AM| = |DM| + |BN|\)

Теорема. На страници \(DC\) квадрата \(ABCD\) дата је тачка \(M\). Симетрала угла \(BAM\) сече страницу \(BC\) у тачки \(N\). Тада је \(|AM| = |DM| + |BN|\).

A B C D M N M'
Дато \(ABCD\) квадрат, \(M \in DC\), \(N \in BC\), \(\angle MAN = \angle NAB = \alpha\)
Доказати \(|AM| = |DM| + |BN|\)
симетрала \(AN\) помоћни троугао \(ABM'\)

Доказ

ТврђењеОбразложење
Конструкција: \(M'\) је тачка на продужетку странице \(CB\) преко \(B\) таква да је \(|BM'| = |DM|\).
1.\(\triangle ADM \cong \triangle ABM'\)став СУС: \(|AD|=|AB|\), \(\angle ADM = \angle ABM' = 90^\circ\), \(|DM|=|BM'|\).
2.\(|AM| = |AM'|,\ \angle DAM = \angle BAM'\)одговарајуће странице и углови (1).
3.\(\angle DAM = 90^\circ - 2\alpha\)\(\angle DAB = 90^\circ\) и \(\angle MAB = 2\alpha\).
4.\(\angle NAM' = 90^\circ - \alpha\)збир углова \(\angle NAB = \alpha\) и \(\angle BAM' = 90^\circ - 2\alpha\) (2, 3).
5.\(\angle ANM' = \angle ANB = 90^\circ - \alpha\)збир углова у правоуглом \(\triangle ABN\).
6.\(|AM'| = |NM'|\)у \(\triangle ANM'\) углови код \(A\) и \(N\) су једнаки (4, 5), па је једнакокрак.
7.\(|AM| = |BN| + |DM|\)\(|AM| = |AM'| = |NM'|\) (2, 6), а \(|NM'| = |NB| + |BM'|\), јер је \(B\) између \(N\) и \(M'\).

∎

Напомене уз запис из свеске

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица) 
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Значајне линије троугла} \\[2pt]
  {\small Квадрат: $\len{AM} = \len{DM} + \len{BN}$}
\end{center}

\begin{theorem}
На страници $DC$ квадрата $ABCD$ дата је тачка $M$. Симетрала угла $BAM$ сече страницу $BC$ у тачки $N$. Тада је $\len{AM} = \len{DM} + \len{BN}$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=5, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (1,0);
  \coordinate (C) at (1,1);
  \coordinate (D) at (0,1);
  \coordinate (M) at (0.42,1);
  \coordinate (N) at (1,0.66);
  \coordinate (M') at (1,-0.42);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw (A) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (N);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (B) -- (M');
  \draw[thick, teal!70!black] (A) -- (M');
  \draw ($(D)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(D)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(B)!0.5!(M')!3pt!90:(M')$) -- ($(B)!0.5!(M')!3pt!-90:(M')$);
  \pic[draw, angle radius=11.25mm] {angle=N--A--M};
  \pic[draw, angle radius=13.13mm] {angle=B--A--N};
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=M--A--D};
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=M'--A--B};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,M,N,M'} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[above] at (M) {$M$};
  \node[right] at (N) {$N$};
  \node[right] at (M') {$M'$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $ABCD$ квадрат, $M \in DC$, $N \in BC$, $\angle MAN = \angle NAB = \alpha$. \\
\textbf{Доказати:} $\len{AM} = \len{DM} + \len{BN}$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}p{13.5cm}}{\emph{Конструкција: $M'$ је тачка на продужетку странице $CB$ преко $B$ таква да је $\len{BM'} = \len{DM}$.}} \\
1. & \triangle ADM \cong \triangle ABM' & став СУС: $\len{AD}=\len{AB}$, $\angle ADM = \angle ABM' = 90^\circ$, $\len{DM}=\len{BM'}$. \\
2. & \len{AM} = \len{AM'},\ \angle DAM = \angle BAM' & одговарајуће странице и углови (1). \\
3. & \angle DAM = 90^\circ - 2\alpha & $\angle DAB = 90^\circ$ и $\angle MAB = 2\alpha$. \\
4. & \angle NAM' = 90^\circ - \alpha & збир углова $\angle NAB = \alpha$ и $\angle BAM' = 90^\circ - 2\alpha$ (2, 3). \\
5. & \angle ANM' = \angle ANB = 90^\circ - \alpha & збир углова у правоуглом $\triangle ABN$. \\
6. & \len{AM'} = \len{NM'} & у $\triangle ANM'$ углови код $A$ и $N$ су једнаки (4, 5), па је једнакокрак. \\
7. & \len{AM} = \len{BN} + \len{DM} & $\len{AM} = \len{AM'} = \len{NM'}$ (2, 6), а $\len{NM'} = \len{NB} + \len{BM'}$, јер је $B$ између $N$ и $M'$. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}