Једнакокраки троугао: \(AS \perp BQ\)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Једнакокраки троугао: $AS \perp BQ$}
\end{center}

\begin{theorem}
У једнакокраком троуглу $ABC$ ($\len{AB} = \len{AC}$) $P$ је средиште основице $BC$, $Q$ је подножје нормале из $P$ на крак $AC$, а $S$ средиште дужи $PQ$. Тада је $AS \perp BQ$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.86, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (3,6);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (6,0);
  \coordinate (P) at (3,0);
  \coordinate (Q) at (5.4,1.2);
  \coordinate (S) at (4.2,0.6);
  \coordinate (F) at (5.7,0.6);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (A) -- (P);
  \draw (P) -- (Q);
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (S);
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (Q);
  \draw[thick, teal!70!black] (P) -- (F);
  \draw[thick, teal!70!black] (S) -- (F);
  \pic[draw] {right angle=A--P--C};
  \pic[draw] {right angle=P--Q--C};
  \draw ($(P)!0.5!(S)!3pt!90:(S)$) -- ($(P)!0.5!(S)!3pt!-90:(S)$);
  \draw ($(S)!0.5!(Q)!3pt!90:(Q)$) -- ($(S)!0.5!(Q)!3pt!-90:(Q)$);
  \draw ($(Q)!0.41!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(Q)!0.41!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(Q)!0.59!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(Q)!0.59!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(F)!0.41!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(F)!0.41!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(F)!0.59!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(F)!0.59!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,P,Q,S,F} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (P) {$P$};
  \node[above right] at (Q) {$Q$};
  \node[left] at (S) {$S$};
  \node[right] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\len{AB} = \len{AC}$, $P$ средиште $BC$, $Q \in AC$, $PQ \perp AC$, $S$ средиште $PQ$. \\
\textbf{Доказати:} $AS \perp BQ$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}p{13.5cm}}{\emph{Ознака: $F$ је средиште дужи $QC$.}} \\
1. & AP \perp BC & тежишна дуж на основицу једнакокраког троугла је и висина. \\
2. & SF \parallel PC & $SF$ је средња линија $\triangle PQC$. \\
3. & SF \perp AP & из 1 и 2. \\
4. & PQ \perp AF & $F \in AC$ и $PQ \perp AC$. \\
5. & S \text{ је ортоцентар } \triangle APF & $S$ је пресек висине из $F$ (права $FS \perp AP$, корак 3) и висине из $P$ (права $PS \perp AF$, корак 4). \\
6. & AS \perp PF & трећа висина $\triangle APF$ пролази кроз $S$. \\
7. & PF \parallel BQ & $PF$ је средња линија $\triangle BQC$ ($P$ средиште $BC$, $F$ средиште $QC$). \\
8. & AS \perp BQ & из 6 и 7. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}