Висина на хипотенузу: \(AM \perp CN\)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Висина на хипотенузу: $AM \perp CN$}
\end{center}

\begin{theorem}
У правоуглом троуглу $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $CD$ је висина, а $M$ и $N$ су средишта дужи $CD$ и $DB$. Тада је $AM \perp CN$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.11, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (7,0);
  \coordinate (C) at (2,3.16);
  \coordinate (D) at (2,0);
  \coordinate (M) at (2,1.58);
  \coordinate (N) at (4.5,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (C) -- (D);
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (N);
  \draw[thick, teal!70!black] (M) -- (N);
  \pic[draw] {right angle=A--C--B};
  \pic[draw] {right angle=A--D--C};
  \draw ($(C)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(C)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(M)!0.5!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(M)!0.5!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(D)!0.48!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(D)!0.48!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(D)!0.52!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(D)!0.52!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(N)!0.48!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(N)!0.48!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(N)!0.52!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(N)!0.52!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,M,N} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[left] at (M) {$M$};
  \node[below] at (N) {$N$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\angle ACB = 90^\circ$, $CD \perp AB$, $M$ средиште $CD$, $N$ средиште $DB$. \\
\textbf{Доказати:} $AM \perp CN$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
1. & MN \parallel CB & $MN$ је средња линија $\triangle CDB$. \\
2. & MN \perp AC & $CB \perp AC$ и корак 1. \\
3. & CD \perp AN & $N \in AB$, а $CD$ је висина на $AB$. \\
4. & M \text{ је ортоцентар } \triangle ACN & $M$ је пресек две висине тог троугла: висине из $N$ (права $NM \perp AC$, корак 2) и висине из $C$ (права $CM \perp AN$, корак 3). \\
5. & AM \perp CN & трећа висина $\triangle ACN$ пролази кроз ортоцентар $M$. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}