Подударност троуглова · свеска: задатак 37

Тачка у троуглу: \(\angle AMB > \angle ACB\)

Теорема. Ако је \(M\) тачка у унутрашњости троугла \(ABC\), онда је \(\angle AMB > \angle ACB\).

Дато \(M\) у унутрашњости \(\triangle ABC\)

Доказати \(\angle AMB > \angle ACB\)

краци угла \(AMB\)

Доказ

	Тврђење	Образложење
1.	\(\angle MAB < \angle CAB,\ \angle MBA < \angle CBA\)	\(M\) је у унутрашњости углова \(CAB\) и \(CBA\).
2.	\(\angle AMB = 180^\circ - \angle MAB - \angle MBA\)	збир углова у \(\triangle AMB\).
3.	\(\angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle CBA\)	збир углова у \(\triangle ABC\).
4.	\(\angle AMB > \angle ACB\)	из 2 и 3: од \(180^\circ\) се у (2) одузима мање (1).

∎

Напомене уз запис из свеске

Провера. Доказ из свеске је исправан и најкраћи могући. Прецртани покушај са подударношћу троуглова \(AMB\) и \(ABC\) није водио никуда: ти троуглови нису подударни.
Други доказ. Продужи \(AM\) до \(K \in BC\): \(\angle AMB\) је спољашњи угао \(\triangle MKB\), па је већи од \(\angle AKB\), а \(\angle AKB\) је спољашњи угао \(\triangle AKC\), па је већи од \(\angle ACB\).

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Тачка у троуглу: $\angle AMB > \angle ACB$}
\end{center}

\begin{theorem}
Ако је $M$ тачка у унутрашњости троугла $ABC$, онда је $\angle AMB > \angle ACB$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.03, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (2.3,3.6);
  \coordinate (M) at (2.6,1.3);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (M);
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=A--M--B};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=A--C--B};
  \pic[draw, angle radius=11.25mm] {angle=B--A--M};
  \pic[draw, angle radius=11.25mm] {angle=M--B--A};
  \foreach \pt in {A,B,C,M} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[above] at (M) {$M$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $M$ у унутрашњости $\triangle ABC$. \\
\textbf{Доказати:} $\angle AMB > \angle ACB$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
1. & \angle MAB < \angle CAB,\ \angle MBA < \angle CBA & $M$ је у унутрашњости углова $CAB$ и $CBA$. \\
2. & \angle AMB = 180^\circ - \angle MAB - \angle MBA & збир углова у $\triangle AMB$. \\
3. & \angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle CBA & збир углова у $\triangle ABC$. \\
4. & \angle AMB > \angle ACB & из 2 и 3: од $180^\circ$ се у (2) одузима мање (1). \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}