Подударност троуглова · свеска: задатак 33

Неједнакост троугла

Теорема. У сваком троуглу \(ABC\) важи \(|AB| + |AC| > |BC|\).

Дато \(\triangle ABC\)

Доказати \(|AB| + |AC| > |BC|\)

дуж \(CC'\) пренета дуж \(AC' = AC\)

Доказ

	Тврђење	Образложење
Конструкција: \(C'\) је тачка на продужетку странице \(BA\) преко \(A\) таква да је \(\|AC'\| = \|AC\|\).
1.	\(\|BC'\| = \|BA\| + \|AC\|\)	\(A\) је између \(B\) и \(C'\).
2.	\(\angle AC'C = \angle ACC'\)	\(\triangle ACC'\) је једнакокрак.
3.	\(\angle BCC' > \angle ACC'\)	\(A\) је у унутрашњости угла \(BCC'\) (тачка \(A\) је на дужи \(BC'\)), па је \(\angle BCC'\) \(= \angle BCA + \angle ACC'\).
4.	\(\angle BCC' > \angle BC'C\)	из 3 и 2.
5.	\(\|BC'\| > \|BC\|\)	у \(\triangle BCC'\) наспрам већег угла је већа страница (<a href="09-veca-stranica-veci-ugao.html">страна 09</a>).
6.	\(\|AB\| + \|AC\| > \|BC\|\)	из 5 и 1.

∎

Напомене уз запис из свеске

Провера. Оба доказа из свеске су исправна и једнака: страница се продужи за дужину друге странице, добије се једнакокраки троугао и пореде се углови. У првом запису је продужена \(BA\) преко \(A\), у другом \(BC\) преко \(B\); само су ознаке другачије.
Запис. Тврђење је на почетку записано као \(|AB| + |BC| > |AC|\), а доказано је \(|AB| + |AC| > |BC|\); то је иста неједнакост за другу страницу. Теорема важи за сваку страницу.
Списак тема за контролни. На дну стране је списак: 1. подударност троуглова, 2. паралелограм, ромб и трапез, 3. углови, 4. правоугли троугао, 5. неједнакост троугла, 6. значајне линије троугла, уз напомену „задаци са такмичења“.

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Неједнакост троугла}
\end{center}

\begin{theorem}
У сваком троуглу $ABC$ важи $\len{AB} + \len{AC} > \len{BC}$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.69, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (2.2,3);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (6,0);
  \coordinate (C') at (5.06,6.9);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, teal!70!black] (A) -- (C');
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (C');
  \draw ($(A)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(A)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(A)!0.5!(C')!3pt!90:(C')$) -- ($(A)!0.5!(C')!3pt!-90:(C')$);
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=A--C'--C};
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=C'--C--A};
  \pic[draw, angle radius=13.75mm] {angle=C'--C--B};
  \foreach \pt in {A,B,C,C'} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[left] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[above] at (C') {$C'$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\triangle ABC$. \\
\textbf{Доказати:} $\len{AB} + \len{AC} > \len{BC}$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}p{13.5cm}}{\emph{Конструкција: $C'$ је тачка на продужетку странице $BA$ преко $A$ таква да је $\len{AC'} = \len{AC}$.}} \\
1. & \len{BC'} = \len{BA} + \len{AC} & $A$ је између $B$ и $C'$. \\
2. & \angle AC'C = \angle ACC' & $\triangle ACC'$ је једнакокрак. \\
3. & \angle BCC' > \angle ACC' & $A$ је у унутрашњости угла $BCC'$ (тачка $A$ је на дужи $BC'$), па је $\angle BCC' = \angle BCA + \angle ACC'$. \\
4. & \angle BCC' > \angle BC'C & из 3 и 2. \\
5. & \len{BC'} > \len{BC} & у $\triangle BCC'$ наспрам већег угла је већа страница (<a href="09-veca-stranica-veci-ugao.html">страна 09</a>). \\
6. & \len{AB} + \len{AC} > \len{BC} & из 5 и 1. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}