Центри квадрата над \(AC\) и \(BC\) и средиште \(AB\)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Центри квадрата над $AC$ и $BC$ и средиште $AB$}
\end{center}

\begin{theorem}
Над страницама $AC$ и $BC$ троугла $ABC$ конструисани су споља квадрати $ACFG$ и $CBDE$ са центрима $M$ и $N$. Ако је $P$ средиште странице $AB$, онда је $\len{PM} = \len{PN}$ и $PM \perp PN$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (2,3.5);
  \coordinate (F) at (-1.5,5.5);
  \coordinate (G) at (-3.5,2);
  \coordinate (D) at (9.5,4);
  \coordinate (E) at (5.5,7.5);
  \coordinate (M) at (-0.75,2.75);
  \coordinate (N) at (5.75,3.75);
  \coordinate (P) at (3,0);
  \coordinate (K) at (1,1.75);
  \coordinate (L) at (4,1.75);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[] (A) -- (C) -- (F) -- (G) -- cycle;
  \draw[] (C) -- (B) -- (D) -- (E) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (P) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (P) -- (N);
  \draw[thick, teal!70!black] (M) -- (K);
  \draw[thick, teal!70!black] (K) -- (P);
  \draw[thick, teal!70!black] (N) -- (L);
  \draw[thick, teal!70!black] (L) -- (P);
  \pic[draw] {right angle=M--P--N};
  \draw ($(P)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(P)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(P)!0.5!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(P)!0.5!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,F,G,D,E,M,N,P,K,L} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[below] at (C) {$C$};
  \node[above] at (F) {$F$};
  \node[left] at (G) {$G$};
  \node[right] at (D) {$D$};
  \node[above] at (E) {$E$};
  \node[left] at (M) {$M$};
  \node[right] at (N) {$N$};
  \node[below] at (P) {$P$};
  \node[below left] at (K) {$K$};
  \node[below right] at (L) {$L$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $ACFG$, $CBDE$ квадрати споља, $M$, $N$ њихови центри, $P$ средиште $AB$. \\
\textbf{Доказати:} $\len{PM} = \len{PN}$, $PM \perp PN$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}p{13.5cm}}{\emph{Ознаке: $K$ и $L$ су средишта страница $AC$ и $BC$; $\angle ACB = \gamma$.}} \\
1. & MK \perp AC,\ \len{MK} = \tfrac12\len{AC} & центар квадрата је на симетрали странице $AC$, на растојању пола странице. \\
2. & NL \perp BC,\ \len{NL} = \tfrac12\len{BC} & исто за квадрат над $BC$. \\
3. & PK \parallel BC,\ \len{PK} = \tfrac12\len{BC};\ PL \parallel AC,\ \len{PL} = \tfrac12\len{AC} & средње линије $\triangle ABC$. \\
4. & \angle MKP = \angle PLN = 90^\circ + \gamma & $\angle AKP = \gamma$ (сагласни углови, $PK \parallel CB$), а $KM$ је нормална на $AC$ са спољашње стране, па је $\angle MKP = 90^\circ + \gamma$; исто код $L$. \\
5. & \triangle MKP \cong \triangle PLN & став СУС: $\len{MK} = \len{PL}$ (1, 3), $\angle MKP = \angle PLN$ (4), $\len{KP} = \len{LN}$ (3, 2). \\
6. & \len{PM} = \len{PN},\ \angle KMP = \angle LPN & одговарајући елементи (5). \\
7. & \angle KPL = \gamma & $PKCL$ је паралелограм (3), наспрамни углови. \\
8. & \angle MPN = 90^\circ & $\angle MPN = \angle MPK + \angle KPL + \angle LPN = \angle MPK + \gamma + \angle KMP = \gamma + (180^\circ - \angle MKP) = \gamma + 90^\circ - \gamma$. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}