Угао \(B\) двапут већи од угла \(A\), тежишна дуж нормална на симетралу

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Угао $B$ двапут већи од угла $A$, тежишна дуж нормална на симетралу}
\end{center}

\begin{theorem}
У троуглу $ABC$ је $\angle ABC = 2\angle BAC$, а тежишна дуж из темена $C$ нормална је на симетралу угла $ABC$. Тада су углови троугла $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3.8, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (2,0);
  \coordinate (C) at (1.5,0.87);
  \coordinate (G) at (1,0);
  \coordinate (H) at (1,0.58);
  \coordinate (D) at (1.25,0.43);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (G);
  \draw[thick, teal!70!black] (B) -- (H);
  \draw[dashed] (H) -- (G);
  \pic[draw] {right angle=C--D--B};
  \draw ($(A)!0.5!(G)!3pt!90:(G)$) -- ($(A)!0.5!(G)!3pt!-90:(G)$);
  \draw ($(G)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(G)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(B)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(B)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=B--A--C};
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=H--B--A};
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=C--B--H};
  \foreach \pt in {A,B,C,G,H,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (G) {$G$};
  \node[above left] at (H) {$H$};
  \node[above right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = 2\alpha$, $G$ средиште $AB$, $BH$ симетрала угла $B$ ($H \in AC$), $CG \perp BH$. \\
\textbf{Доказати:} $\alpha = 30^\circ$, $\angle ABC = 60^\circ$, $\angle ACB = 90^\circ$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}p{13.5cm}}{\emph{Ознака: $D$ је пресек дужи $CG$ и $BH$.}} \\
1. & \triangle BDG \cong \triangle BDC & став УСУ: $\angle GBD = \angle CBD = \alpha$, $BD$ заједничка, $\angle BDG = \angle BDC = 90^\circ$. \\
2. & \len{BG} = \len{BC} & одговарајуће странице (1). \\
3. & \len{HA} = \len{HB} & $\angle HAB = \alpha = \angle HBA$, па је $\triangle HAB$ једнакокрак. \\
4. & HG \perp AB & $G$ је средиште основице $AB$ једнакокраког $\triangle HAB$, па је $HG$ и висина. \\
5. & \triangle HGB \cong \triangle HCB & став СУС: $\len{GB} = \len{CB}$ (2), $\angle GBH = \angle CBH = \alpha$, $HB$ заједничка. \\
6. & \angle HCB = \angle HGB = 90^\circ & одговарајући углови (5) и корак 4; $H \in AC$, па је $\angle ACB = 90^\circ$. \\
7. & \alpha = 30^\circ & $\alpha + 2\alpha + 90^\circ = 180^\circ$. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}