Нормала на \(CD\) у средишту хипотенузе

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Нормала на $CD$ у средишту хипотенузе}
\end{center}

\begin{theorem}
У правоуглом троуглу $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\len{AC} > \len{BC}$) тачка $D$ је средиште хипотенузе $AB$. Права кроз $D$ нормална на $CD$ сече праве $AC$ и $BC$ у тачкама $E$ и $F$, а $M$ је средиште дужи $EF$. Тада је $CM \perp AB$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.03, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (B) at (3,0);
  \coordinate (A) at (0,5);
  \coordinate (D) at (1.5,2.5);
  \coordinate (E) at (0,3.4);
  \coordinate (F) at (5.67,0);
  \coordinate (M) at (2.83,1.7);
  \coordinate (X) at (2.21,1.32);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (C) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (E) -- (F);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (M);
  \draw (A) -- (E);
  \draw (B) -- (F);
  \pic[draw] {right angle=A--C--B};
  \pic[draw] {right angle=C--D--F};
  \pic[draw] {right angle=A--X--C};
  \draw ($(A)!0.5!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(A)!0.5!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(D)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(D)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(E)!0.48!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(E)!0.48!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(E)!0.52!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(E)!0.52!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(M)!0.48!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(M)!0.48!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(M)!0.52!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(M)!0.52!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \pic[draw, angle radius=8.13mm] {angle=D--C--A};
  \pic[draw, angle radius=8.13mm] {angle=C--A--D};
  \pic[draw, angle radius=11.25mm] {angle=F--C--M};
  \pic[draw, angle radius=11.25mm] {angle=M--F--C};
  \foreach \pt in {C,B,A,D,E,F,M,X} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (C) {$C$};
  \node[below] at (B) {$B$};
  \node[left] at (A) {$A$};
  \node[above right] at (D) {$D$};
  \node[left] at (E) {$E$};
  \node[below right] at (F) {$F$};
  \node[above right] at (M) {$M$};
  \node[above right] at (X) {$X$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $\angle ACB = 90^\circ$, $D$ средиште $AB$, $EF \perp CD$, $D \in EF$, $E \in AC$, $F \in BC$, $M$ средиште $EF$. \\
\textbf{Доказати:} $CM \perp AB$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}p{13.5cm}}{\emph{Ознаке: $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta = 90^\circ - \alpha$; $X$ је пресек правих $CM$ и $AB$. Тачка $E$ је на катети $AC$, а $F$ на продужетку катете $CB$ преко $B$ (види напомену).}} \\
1. & \len{DC} = \len{DA} = \len{DB} & тежишна дуж на хипотенузу једнака је половини хипотенузе. \\
2. & \angle DCA = \alpha & $\triangle DAC$ је једнакокрак (1). \\
3. & \angle CED = 90^\circ - \alpha & $\triangle CDE$ је правоугли код $D$; $\angle DCE = \angle DCA = \alpha$ ($E$ на правој $AC$, са исте стране као $A$). \\
4. & \angle CFE = \alpha & $\triangle ECF$ је правоугли код $C$ (праве $AC$ и $BC$), па је $\angle CFE = 90^\circ - \angle CEF$ (3). \\
5. & \len{MC} = \len{MF} & $M$ је средиште хипотенузе $EF$ правоуглог $\triangle ECF$. \\
6. & \angle MCF = \angle MFC = \alpha & $\triangle MCF$ је једнакокрак (5) и корак 4. \\
7. & \angle XCB = \alpha & $B$ и $F$ су на истој полуправој из $C$, а $X$ и $M$ на истој полуправој из $C$. \\
8. & \angle CXB = 90^\circ & збир углова у $\triangle XCB$: $180^\circ - \angle XBC - \angle XCB = 180^\circ - (90^\circ - \alpha) - \alpha$. \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}