Правоугаоник \(1 : 3\) и збир три угла

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подударност троуглова} \\[2pt]
  {\small Правоугаоник $1 : 3$ и збир три угла}
\end{center}

\begin{theorem}
У правоугаонику $ABCD$ је $\len{AB} = 3\len{BC}$, а тачке $E$ и $F$ деле страницу $AB$ на три једнака дела: $\len{AE} = \len{EF} = \len{FB}$. Тада је $\angle AED + \angle AFD + \angle ABD = 90^\circ$.
\end{theorem}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2.38, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (3,0);
  \coordinate (C) at (3,1);
  \coordinate (D) at (0,1);
  \coordinate (E) at (1,0);
  \coordinate (F) at (2,0);
  \coordinate (G) at (3,2);
  \coordinate (H) at (2,2);
  \coordinate (I) at (2,1);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw (D) -- (E);
  \draw (D) -- (F);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (B);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (I) -- (H) -- (G) -- cycle;
  \draw[thick, teal!70!black] (D) -- (H);
  \draw[thick, teal!70!black] (H) -- (B);
  \draw ($(A)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(A)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(E)!0.5!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(E)!0.5!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(F)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(F)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \pic[draw] {right angle=D--H--B};
  \pic[draw, angle radius=5.63mm] {angle=D--E--A};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=D--F--A};
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=D--B--A};
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=H--B--D};
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=C--B--H};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,F,G,H,I} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[right] at (C) {$C$};
  \node[left] at (D) {$D$};
  \node[below] at (E) {$E$};
  \node[below] at (F) {$F$};
  \node[right] at (G) {$G$};
  \node[above] at (H) {$H$};
  \node[above left] at (I) {$I$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent
\textbf{Дато:} $ABCD$ правоугаоник, $\len{AB} = 3\len{BC}$, $E, F \in AB$, $\len{AE} = \len{EF} = \len{FB}$. \\
\textbf{Доказати:} $\angle AED + \angle AFD + \angle ABD = 90^\circ$.

\begin{proof}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{@{}r >{$}p{5.4cm}<{$} p{7.4cm}@{}}
\toprule
 & \multicolumn{1}{l}{Тврђење} & Образложење \\
\midrule
\multicolumn{3}{@{}p{13.5cm}}{\emph{Конструкција: нека је $\len{BC} = 1$. $G$ је тачка на продужетку $BC$ преко $C$ са $\len{CG} = 1$, $I$ тачка странице $DC$ са $\len{IC} = 1$, а $H$ четврто теме квадрата $CIHG$.}} \\
1. & \angle AED = 45^\circ & $\triangle AED$ је правоугли код $A$ и једнакокрак ($\len{AE} = \len{AD} = 1$). \\
2. & \triangle DIH \cong \triangle BGH & став СУС: $\len{DI} = \len{BG} = 2$, $\angle DIH = \angle BGH = 90^\circ$, $\len{IH} = \len{GH} = 1$. \\
3. & \len{DH} = \len{BH},\ \angle IHD = \angle GHB,\ \angle IDH = \angle GBH & одговарајући елементи (2). \\
4. & \angle DHB = 90^\circ & $I$--$H$--$G$ су колинеарне, па је $\angle DHB = 180^\circ - \angle IHD - \angle GHB = 180^\circ - (\angle IHD + \angle IDH) = 180^\circ - 90^\circ$. \\
5. & \angle DBH = 45^\circ & $\triangle DHB$ је правоугли (4) и једнакокрак (3). \\
6. & \angle AFD = \angle GBH = \angle CBH & $\triangle AFD \cong \triangle GBH$ (СУС: $\len{AF} = \len{GB} = 2$, прави углови, $\len{AD} = \len{GH} = 1$); $G$ је на полуправој $BC$. \\
7. & \angle ABD + \angle DBH + \angle HBC = 90^\circ & полуправе $BD$ и $BH$ су унутар правог угла $ABC$, и то тим редом ($D$ је ближе краку $BA$: $\angle ABD < \angle ABH$ јер је $\len{AD} : \len{AB} = 1 : 3 < 2 : 1$). \\
8. & \angle AED + \angle AFD + \angle ABD = 90^\circ & из 7 са (5) и (6): $\angle ABD + \angle AFD = 45^\circ$, па додајемо (1). \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{proof}

\end{document}