Пробни контролни 4

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Контролни: кинематика} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 4}
\end{center}

Мешавина свих типова са три листа. Задаци као на контролном: РППК, графици брзине и убрзања, сустизање. Уз сваки задатак напиши шта је дато, формулу, па рачун са јединицама. Решења су сложена испод сваког задатка.

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item Тело је прешло $3\,\mathrm{m}$ за $2\,\mathrm{s}$. При томе се брзина повећала четири пута. Колико је убрзање тела ако се кретало равномерно убрзано?
  \item Тело креће из мировања из тачке $A$ ка тачкама $B$ и $C$ на истој правој. Растојање $BC = 45\,\mathrm{m}$ пређе за $5\,\mathrm{s}$, а брзина у тачки $C$ је $12\,\mathrm{m/s}$. Израчунати брзину у тачки $B$, убрзање и растојање $AC$.
  \item Зауставни пут воза је $450\,\mathrm{m}$. Пре кочења брзина је била $108\,\mathrm{km/h}$. Израчунати зауставно време, успорење и брзину на средини зауставног пута.
  \item Дете се спусти на санкама из мировања низ падину дужине $40\,\mathrm{m}$ за $10\,\mathrm{s}$, а затим се по хоризонталном путу заустави након још $16\,\mathrm{m}$. Одредити брзину на крају падине, средњу брзину на целом путу и нацртати графике брзине и убрзања.
  \item Тело креће из мировања. График убрзања: $2\,\mathrm{m/s^2}$ од $0$ до $5\,\mathrm{s}$, $0$ од $5$ до $8\,\mathrm{s}$, $-2{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ од $8$ до $12\,\mathrm{s}$. Нацртати график брзине и израчунати пређени пут и средњу брзину.
  \item Тело се креће равномерно брзином $5\,\mathrm{m/s}$ и прође кроз тачку $A$. После $10\,\mathrm{s}$ из тачке $A$ за њим креће друго тело из мировања убрзањем $2\,\mathrm{m/s^2}$. После колико времена од свог поласка друго тело сустигне прво и на ком растојању од $A$?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $s = \tfrac{v_0 + 4 v_0}{2} \cdot 2 = 5 v_0 = 3$, па је $v_0 = 0{,}6\,\mathrm{m/s}$, $v = 2{,}4\,\mathrm{m/s}$.; $a = \tfrac{2{,}4 - 0{,}6}{2} = 0{,}9\,\mathrm{m/s^2}$.; \textbf{Решење:} $a = 0{,}9\,\mathrm{m/s^2}$

\noindent\textbf{2.} $45 = \tfrac{v_B + 12}{2} \cdot 5$, $v_B + 12 = 18$, $v_B = 6\,\mathrm{m/s}$.; $a = \tfrac{12 - 6}{5} = 1{,}2\,\mathrm{m/s^2}$.; $AC = \tfrac{12^2}{2 \cdot 1{,}2} = 60\,\mathrm{m}$ ($AB = \tfrac{36}{2{,}4} = 15\,\mathrm{m}$, $15 + 45 = 60$).; \textbf{Решење:} $v_B = 6\,\mathrm{m/s}$, $a = 1{,}2\,\mathrm{m/s^2}$, $AC = 60\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{3.} $v_0 = 30\,\mathrm{m/s}$. $t = \tfrac{2 s}{v_0} = \tfrac{900}{30} = 30\,\mathrm{s}$, $a = \tfrac{30}{30} = 1\,\mathrm{m/s^2}$.; На $225\,\mathrm{m}$: $v^2 = 900 - 2 \cdot 1 \cdot 225 = 450$, $v = \sqrt{450} \approx 21{,}2\,\mathrm{m/s}$ (више од половине почетне брзине).; \textbf{Решење:} $t = 30\,\mathrm{s}$, $a = 1\,\mathrm{m/s^2}$, $v \approx 21{,}2\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{4.} $v = \tfrac{2 \cdot 40}{10} = 8\,\mathrm{m/s}$, $a_1 = 0{,}8\,\mathrm{m/s^2}$.; $t_2 = \tfrac{2 \cdot 16}{8} = 4\,\mathrm{s}$, $a_2 = -\tfrac{8}{4} = -2\,\mathrm{m/s^2}$.; $v_{sr} = \tfrac{56}{14} = 4\,\mathrm{m/s}$.; \textbf{Решење:} $v = 8\,\mathrm{m/s}$, $v_{sr} = 4\,\mathrm{m/s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (187.14,-3) -- (187.14,3);
  \node[below] at ($(187.14,0)!0!(187.14,0)$) {$10$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$14$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$8$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (187.14,162.5) -- (187.14,0);
  \draw[dashed] (187.14,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (187.14,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (187.14,162.5) -- (262,0);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-123) -- (0,75);
  \draw (187.14,-3) -- (187.14,3);
  \node[below] at ($(187.14,0)!0!(187.14,0)$) {$10$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$14$};
  \draw (-3,34.67) -- (3,34.67);
  \node[left] at ($(0,34.67)!0!(0,34.67)$) {$0{,}8$};
  \draw (-3,-86.67) -- (3,-86.67);
  \node[left] at ($(0,-86.67)!0!(0,-86.67)$) {$-2$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,75)!0!(0,75)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,34.67) -- (187.14,34.67);
  \draw[thick, red!70!black] (187.14,-86.67) -- (262,-86.67);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{5.} $v_1 = 2 \cdot 5 = 10\,\mathrm{m/s}$, $s_1 = \tfrac{2 \cdot 25}{2} = 25\,\mathrm{m}$.; Равномерно $3\,\mathrm{s}$: $s_2 = 30\,\mathrm{m}$.; $v_3 = 10 - 2{,}5 \cdot 4 = 0$, $s_3 = \tfrac{10}{2} \cdot 4 = 20\,\mathrm{m}$.; $s = 75\,\mathrm{m}$, $v_{sr} = \tfrac{75}{12} = 6{,}25\,\mathrm{m/s}$.; \textbf{Решење:} $s = 75\,\mathrm{m}$, $v_{sr} = 6{,}25\,\mathrm{m/s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (109.17,-3) -- (109.17,3);
  \node[below] at ($(109.17,0)!0!(109.17,0)$) {$5$};
  \draw (174.67,-3) -- (174.67,3);
  \node[below] at ($(174.67,0)!0!(174.67,0)$) {$8$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$12$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$10$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (109.17,162.5) -- (109.17,0);
  \draw[dashed] (109.17,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[dashed] (174.67,162.5) -- (174.67,0);
  \draw[dashed] (174.67,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (109.17,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (109.17,162.5) -- (174.67,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (174.67,162.5) -- (262,0);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-103.74) -- (0,94.26);
  \draw (109.17,-3) -- (109.17,3);
  \node[below] at ($(109.17,0)!0!(109.17,0)$) {$5$};
  \draw (174.67,-3) -- (174.67,3);
  \node[below] at ($(174.67,0)!0!(174.67,0)$) {$8$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$12$};
  \draw (-3,53.93) -- (3,53.93);
  \node[left] at ($(0,53.93)!0!(0,53.93)$) {$2$};
  \draw (-3,-67.41) -- (3,-67.41);
  \node[left] at ($(0,-67.41)!0!(0,-67.41)$) {$-2{,}5$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,94.26)!0!(0,94.26)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,53.93) -- (109.17,53.93);
  \draw[thick, red!70!black] (109.17,0) -- (174.67,0);
  \draw[thick, red!70!black] (174.67,-67.41) -- (262,-67.41);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{6.} Нека је $t$ време кретања другог тела. Прво тело је тада путовало $t + 10$ секунди.; $\tfrac{2 t^2}{2} = 5 (t + 10)$, тј. $t^2 - 5 t - 50 = 0$, $(t - 10)(t + 5) = 0$, $t = 10\,\mathrm{s}$.; Растојање од $A$: $s = \tfrac{2 \cdot 100}{2} = 100\,\mathrm{m}$ (прво тело: $5 \cdot 20 = 100\,\mathrm{m}$).; \textbf{Решење:} $t = 10\,\mathrm{s}$, $s = 100\,\mathrm{m}$


\end{document}