Пример контролног 1 (решен)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Контролни: кинематика} \\[2pt]
  {\small Пример контролног 1 (решен)}
\end{center}

Први пример са листа, десет задатака, решени до краја. Задаци као на контролном: РППК, графици брзине и убрзања, сустизање. Уз сваки задатак напиши шта је дато, формулу, па рачун са јединицама. Решења су сложена испод сваког задатка.

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item Тело из мировања пређе $152\,\mathrm{m}$ убрзањем $2{,}6\,\mathrm{m/s^2}$. Колико времена се кретало и колику брзину је достигло?
  \item Тело се креће брзином $4\,\mathrm{m/s}$ током $5\,\mathrm{s}$, након следеће $3\,\mathrm{s}$ брзина му је $1{,}6\,\mathrm{m/s}$, а затим следећих $7\,\mathrm{s}$ убрзава са $1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$. Нацртати графике брзине и убрзања и израчунати средњу брзину на целом путу.
  \item Воз полази из станице и у једном тренутку има брзину $30\,\mathrm{m/s}$, а $160\,\mathrm{m}$ даље брзину $50\,\mathrm{m/s}$. Колико је убрзање воза и колики је пређени пут пре брзине $30\,\mathrm{m/s}$?
  \item Тело из мировања пређе $12\,\mathrm{m}$ у четвртој секунди. Колико је убрзање? Кретање је РППК.
  \item Тело има брзину $12\,\mathrm{m/s}$, а онда равномерно успорава убрзањем $1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$. Колики пут тело пређе за $10\,\mathrm{s}$? Сила која делује на тело све време је иста.
  \item Тело је прешло $3\,\mathrm{m}$ за $2\,\mathrm{s}$. При томе се брзина повећала пет пута. Колико је убрзање тела ако се кретало равномерно убрзано?
  \item Тело креће из мировања из тачке $A$ ка тачкама $B$ и $C$ које се налазе на правој линији. Растојање између $B$ и $C$ од $60\,\mathrm{m}$ пређе за $6\,\mathrm{s}$, при чему је брзина у тачки $C$ $15\,\mathrm{m/s}$. Израчунати брзину тела у тачки $B$, убрзање тела и растојање између тачака $A$ и $C$.
  \item Зауставни пут воза је $1\,\mathrm{km}$. Пре кочења брзина је била $72\,\mathrm{km/h}$. Израчунати зауставно време, убрзање и брзину на средини зауставног пута.
  \item Дете се спусти на санкама из мировања низ падину дужине $60\,\mathrm{m}$ за $15\,\mathrm{s}$, а затим се по хоризонталном путу заустави након још $30\,\mathrm{m}$. Одредити брзину на крају падине, средњу брзину на целом путу и нацртати графике брзине и убрзања.
  \item Након $40\,\mathrm{s}$ од проласка брода кроз пристаниште, за њим је кренуо глисер убрзањем $0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$. Након $30\,\mathrm{s}$ од свог поласка глисер је сустигао брод. Ако се брод креће равномерно, колика је његова брзина?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $s = \tfrac{a t^2}{2}$, па је $t = \sqrt{\tfrac{2s}{a}} = \sqrt{\tfrac{304}{2{,}6}} = \sqrt{116{,}9} \approx 10{,}8\,\mathrm{s}$.; $v = a t = 2{,}6 \cdot 10{,}81 \approx 28{,}1\,\mathrm{m/s}$. Провера: $v = \sqrt{2 a s} = \sqrt{790{,}4} \approx 28{,}1\,\mathrm{m/s}$.; \textbf{Решење:} $t \approx 10{,}8\,\mathrm{s}$, $v \approx 28{,}1\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{2.} Прва етапа (равномерно): $s_1 = 4 \cdot 5 = 20\,\mathrm{m}$, $a_1 = 0$.; Друга етапа (успорено од $4$ до $1{,}6\,\mathrm{m/s}$ за $3\,\mathrm{s}$): $a_2 = \tfrac{1{,}6 - 4}{3} = -0{,}8\,\mathrm{m/s^2}$, $s_2 = \tfrac{4 + 1{,}6}{2} \cdot 3 = 8{,}4\,\mathrm{m}$.; Трећа етапа: $v_3 = 1{,}6 + 1{,}5 \cdot 7 = 12{,}1\,\mathrm{m/s}$, $s_3 = 1{,}6 \cdot 7 + \tfrac{1{,}5 \cdot 7^2}{2} = 11{,}2 + 36{,}75 = 47{,}95\,\mathrm{m}$.; $v_{sr} = \tfrac{s_1 + s_2 + s_3}{t} = \tfrac{76{,}35\,\mathrm{m}}{15\,\mathrm{s}} \approx 5{,}09\,\mathrm{m/s}$.; \textbf{Решење:} $v_{sr} \approx 5{,}09\,\mathrm{m/s}$; график брзине: тачке $(0, 4)$, $(5, 4)$, $(8, 1{,}6)$, $(15, 12{,}1)$; убрзање $0$, $-0{,}8$, $1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (87.33,-3) -- (87.33,3);
  \node[below] at ($(87.33,0)!0!(87.33,0)$) {$5$};
  \draw (139.73,-3) -- (139.73,3);
  \node[below] at ($(139.73,0)!0!(139.73,0)$) {$8$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$15$};
  \draw (-3,53.72) -- (3,53.72);
  \node[left] at ($(0,53.72)!0!(0,53.72)$) {$4$};
  \draw (-3,21.49) -- (3,21.49);
  \node[left] at ($(0,21.49)!0!(0,21.49)$) {$1{,}6$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$12{,}1$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (87.33,53.72) -- (87.33,0);
  \draw[dashed] (87.33,53.72) -- (0,53.72);
  \draw[dashed] (139.73,21.49) -- (139.73,0);
  \draw[dashed] (139.73,21.49) -- (0,21.49);
  \draw[dashed] (262,162.5) -- (262,0);
  \draw[dashed] (262,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (0,53.72) -- (87.33,53.72);
  \draw[thick, red!70!black] (87.33,53.72) -- (139.73,21.49);
  \draw[thick, red!70!black] (139.73,21.49) -- (262,162.5);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-78.54) -- (0,119.46);
  \draw (87.33,-3) -- (87.33,3);
  \node[below] at ($(87.33,0)!0!(87.33,0)$) {$5$};
  \draw (139.73,-3) -- (139.73,3);
  \node[below] at ($(139.73,0)!0!(139.73,0)$) {$8$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$15$};
  \draw (-3,-42.2) -- (3,-42.2);
  \node[left] at ($(0,-42.2)!0!(0,-42.2)$) {$-0{,}8$};
  \draw (-3,79.13) -- (3,79.13);
  \node[left] at ($(0,79.13)!0!(0,79.13)$) {$1{,}5$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,119.46)!0!(0,119.46)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (87.33,0);
  \draw[thick, red!70!black] (87.33,-42.2) -- (139.73,-42.2);
  \draw[thick, red!70!black] (139.73,79.13) -- (262,79.13);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{3.} Без времена: $v_2^2 - v_1^2 = 2 a s$, па је $a = \tfrac{50^2 - 30^2}{2 \cdot 160} = \tfrac{1600}{320} = 5\,\mathrm{m/s^2}$.; Од мировања до $30\,\mathrm{m/s}$: $s_0 = \tfrac{v_1^2}{2a} = \tfrac{900}{10} = 90\,\mathrm{m}$.; Провера преко времена: $t_1 = \tfrac{30}{5} = 6\,\mathrm{s}$, $s_0 = \tfrac{5 \cdot 36}{2} = 90\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} $a = 5\,\mathrm{m/s^2}$, $s_0 = 90\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{4.} Пут у четвртој секунди је разлика путева за $4\,\mathrm{s}$ и за $3\,\mathrm{s}$: $s_{4} = \tfrac{a \cdot 4^2}{2} - \tfrac{a \cdot 3^2}{2} = \tfrac{a}{2}(16 - 9) = 3{,}5 a$.; $3{,}5 a = 12$, па је $a = \tfrac{12}{3{,}5} = \tfrac{24}{7} \approx 3{,}43\,\mathrm{m/s^2}$.; \textbf{Решење:} $a = \tfrac{24}{7}\,\mathrm{m/s^2} \approx 3{,}43\,\mathrm{m/s^2}$

\noindent\textbf{5.} Тело се зауставља после $t_z = \tfrac{v_0}{a} = \tfrac{12}{1{,}5} = 8\,\mathrm{s}$, а не после $10\,\mathrm{s}$. Формула $s = v_0 t - \tfrac{a t^2}{2}$ са $t = 10$ дала би $45\,\mathrm{m}$, али то је померај, не пут.; До заустављања: $s_1 = \tfrac{v_0^2}{2a} = \tfrac{144}{3} = 48\,\mathrm{m}$.; Сила је иста, па после заустављања тело креће назад и за преостале $2\,\mathrm{s}$ пређе $s_2 = \tfrac{1{,}5 \cdot 2^2}{2} = 3\,\mathrm{m}$.; Пређени пут: $s = 48 + 3 = 51\,\mathrm{m}$ (тело је на крају $45\,\mathrm{m}$ од почетка).; \textbf{Решење:} $s = 51\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{6.} $v = 5 v_0$, а код РППК је $s = \tfrac{v_0 + v}{2} \cdot t = \tfrac{6 v_0}{2} \cdot 2 = 6 v_0$.; $6 v_0 = 3$, па је $v_0 = 0{,}5\,\mathrm{m/s}$ и $v = 2{,}5\,\mathrm{m/s}$.; $a = \tfrac{v - v_0}{t} = \tfrac{2{,}5 - 0{,}5}{2} = 1\,\mathrm{m/s^2}$.; \textbf{Решење:} $a = 1\,\mathrm{m/s^2}$

\noindent\textbf{7.} На делу $BC$: $s = \tfrac{v_B + v_C}{2} \cdot t$, тј. $60 = \tfrac{v_B + 15}{2} \cdot 6$, па је $v_B + 15 = 20$ и $v_B = 5\,\mathrm{m/s}$.; $a = \tfrac{v_C - v_B}{t} = \tfrac{15 - 5}{6} = \tfrac{5}{3} \approx 1{,}67\,\mathrm{m/s^2}$.; Од $A$ (мировање) до $C$: $AC = \tfrac{v_C^2}{2a} = \tfrac{225}{2 \cdot 5/3} = \tfrac{225 \cdot 3}{10} = 67{,}5\,\mathrm{m}$. Провера: $AB = \tfrac{25}{10/3} = 7{,}5\,\mathrm{m}$ и $7{,}5 + 60 = 67{,}5$.; \textbf{Решење:} $v_B = 5\,\mathrm{m/s}$, $a = \tfrac53\,\mathrm{m/s^2} \approx 1{,}67\,\mathrm{m/s^2}$, $AC = 67{,}5\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{8.} $v_0 = 72\,\mathrm{km/h} = 20\,\mathrm{m/s}$, $s = 1000\,\mathrm{m}$, $v = 0$.; $s = \tfrac{v_0 + 0}{2} \cdot t$, па је $t = \tfrac{2s}{v_0} = \tfrac{2000}{20} = 100\,\mathrm{s}$.; $a = \tfrac{v_0}{t} = \tfrac{20}{100} = 0{,}2\,\mathrm{m/s^2}$ (успорење).; На средини пута ($500\,\mathrm{m}$): $v^2 = v_0^2 - 2 a s = 400 - 2 \cdot 0{,}2 \cdot 500 = 200$, $v = \sqrt{200} \approx 14{,}1\,\mathrm{m/s}$. То је више од $10\,\mathrm{m/s}$: на средини пута брзина није половина почетне.; \textbf{Решење:} $t = 100\,\mathrm{s}$, $a = 0{,}2\,\mathrm{m/s^2}$, $v \approx 14{,}1\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{9.} Падина: $s_1 = \tfrac{0 + v}{2} \cdot t_1$, па је $v = \tfrac{2 s_1}{t_1} = \tfrac{120}{15} = 8\,\mathrm{m/s}$; $a_1 = \tfrac{8}{15} \approx 0{,}53\,\mathrm{m/s^2}$.; Хоризонтала: $s_2 = \tfrac{v + 0}{2} \cdot t_2$, па је $t_2 = \tfrac{2 \cdot 30}{8} = 7{,}5\,\mathrm{s}$; $a_2 = -\tfrac{8}{7{,}5} \approx -1{,}07\,\mathrm{m/s^2}$.; $v_{sr} = \tfrac{60 + 30}{15 + 7{,}5} = \tfrac{90}{22{,}5} = 4\,\mathrm{m/s}$.; \textbf{Решење:} $v = 8\,\mathrm{m/s}$, $v_{sr} = 4\,\mathrm{m/s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (174.67,-3) -- (174.67,3);
  \node[below] at ($(174.67,0)!0!(174.67,0)$) {$15$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$22{,}5$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$8$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (174.67,162.5) -- (174.67,0);
  \draw[dashed] (174.67,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (174.67,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (174.67,162.5) -- (262,0);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-117.22) -- (0,80.78);
  \draw (174.67,-3) -- (174.67,3);
  \node[below] at ($(174.67,0)!0!(174.67,0)$) {$15$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$22{,}5$};
  \draw (-3,40.42) -- (3,40.42);
  \node[left] at ($(0,40.42)!0!(0,40.42)$) {$0{,}533$};
  \draw (-3,-80.91) -- (3,-80.91);
  \node[left] at ($(0,-80.91)!0!(0,-80.91)$) {$-1{,}067$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,80.78)!0!(0,80.78)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,40.44) -- (174.67,40.44);
  \draw[thick, red!70!black] (174.67,-80.89) -- (262,-80.89);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{10.} Глисер из мировања за $30\,\mathrm{s}$: $s = \tfrac{0{,}5 \cdot 30^2}{2} = 225\,\mathrm{m}$.; Брод је до сустизања путовао $40 + 30 = 70\,\mathrm{s}$ и прешао исти пут: $v = \tfrac{225}{70} \approx 3{,}21\,\mathrm{m/s}$.; \textbf{Решење:} $v \approx 3{,}21\,\mathrm{m/s}$


\end{document}