Пробни контролни 3

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Контролни: кинематика} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 3}
\end{center}

По узору на трећи пример. Задаци као на контролном: РППК, графици брзине и убрзања, сустизање. Уз сваки задатак напиши шта је дато, формулу, па рачун са јединицама. Решења су сложена испод сваког задатка.

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item Тело креће из мировања и након одређеног времена има брзину $8\,\mathrm{m/s}$. Након следећих $36\,\mathrm{m}$ брзина тела је $10\,\mathrm{m/s}$. Колики је укупан пут и време кретања? Кретање је равномерно убрзано.
  \item Трамвај полази са станице и у току треће и четврте секунде прелази укупно $24\,\mathrm{m}$. Такво кретање траје $5\,\mathrm{s}$, а онда кочи и након следећих $75\,\mathrm{m}$ брзина је двоструко мања него пре кочења. Одредити колико је убрзање и успорење трамваја.
  \item Тело за првих $5\,\mathrm{s}$ пређе $40\,\mathrm{m}$, а за следећих $5\,\mathrm{s}$ пређе $65\,\mathrm{m}$. Колика је почетна брзина и убрзање ако је кретање РППК?
  \item Два тела крену из мировања једно ка другом по узајамно нормалним правцима ка тачки њиховог пресека $O$. У почетном тренутку прво тело је $25\,\mathrm{m}$, а друго $30\,\mathrm{m}$ од тачке $O$. Убрзања тела су $0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ и $1\,\mathrm{m/s^2}$. Друго тело креће $2\,\mathrm{s}$ касније. Колико је међусобно растојање између тела након $6\,\mathrm{s}$ од поласка другог тела?
  \item Падобранац је искочио из хеликоптера и падао убрзањем $10\,\mathrm{m/s^2}$ током $2\,\mathrm{s}$. Затим је отворио падобран и почео равномерно успоравати убрзањем $2\,\mathrm{m/s^2}$. Подлогу је додирнуо брзином $8\,\mathrm{m/s}$. Одредити време кретања падобранца и висину са које је скочио.
  \item Аутомобил прође поред полицајца брзином $90\,\mathrm{km/h}$. Он пали мотор и након $1\,\mathrm{min}$ почиње равномерно убрзано кретање убрзањем $2{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ које траје $12\,\mathrm{s}$, након чега наставља равномерно. Након колико времена од проласка аутомобила ће полицајац сустићи аутомобил?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $a = \tfrac{10^2 - 8^2}{2 \cdot 36} = \tfrac{36}{72} = 0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$.; $s = \tfrac{10^2}{2 \cdot 0{,}5} = 100\,\mathrm{m}$, $t = \tfrac{10}{0{,}5} = 20\,\mathrm{s}$.; \textbf{Решење:} $s = 100\,\mathrm{m}$, $t = 20\,\mathrm{s}$

\noindent\textbf{2.} $s(4) - s(2) = \tfrac{a}{2}(16 - 4) = 6 a = 24$, па је $a = 4\,\mathrm{m/s^2}$.; Брзина после $5\,\mathrm{s}$: $v = 20\,\mathrm{m/s}$; после кочења $10\,\mathrm{m/s}$.; $v^2 - (v/2)^2 = 2 a' s$: $400 - 100 = 2 a' \cdot 75$, $a' = \tfrac{300}{150} = 2\,\mathrm{m/s^2}$.; \textbf{Решење:} $a = 4\,\mathrm{m/s^2}$, $a' = 2\,\mathrm{m/s^2}$

\noindent\textbf{3.} Првих $5\,\mathrm{s}$: $5 v_0 + 12{,}5 a = 40$. Свих $10\,\mathrm{s}$: $10 v_0 + 50 a = 105$.; Из прве $v_0 = 8 - 2{,}5 a$; замена: $80 - 25 a + 50 a = 105$, $25 a = 25$, $a = 1\,\mathrm{m/s^2}$.; $v_0 = 8 - 2{,}5 = 5{,}5\,\mathrm{m/s}$. Провера: $5{,}5 \cdot 5 + 12{,}5 = 40$.; \textbf{Решење:} $v_0 = 5{,}5\,\mathrm{m/s}$, $a = 1\,\mathrm{m/s^2}$

\noindent\textbf{4.} Прво тело се креће $8\,\mathrm{s}$: $s_1 = \tfrac{0{,}5 \cdot 64}{2} = 16\,\mathrm{m}$, па је $25 - 16 = 9\,\mathrm{m}$ од $O$.; Друго тело се креће $6\,\mathrm{s}$: $s_2 = \tfrac{1 \cdot 36}{2} = 18\,\mathrm{m}$, па је $30 - 18 = 12\,\mathrm{m}$ од $O$.; Правци су нормални: $d = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} $d = 15\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{5.} $v_1 = 10 \cdot 2 = 20\,\mathrm{m/s}$, $h_1 = \tfrac{10 \cdot 4}{2} = 20\,\mathrm{m}$.; $t_2 = \tfrac{20 - 8}{2} = 6\,\mathrm{s}$, $h_2 = \tfrac{20 + 8}{2} \cdot 6 = 84\,\mathrm{m}$.; $t = 8\,\mathrm{s}$, $h = 104\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} $t = 8\,\mathrm{s}$, $h = 104\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{6.} Аутомобил: $25\,\mathrm{m/s}$, $s_a = 25 T$.; Полицајац: мирује $60\,\mathrm{s}$, убрзава $12\,\mathrm{s}$ до $30\,\mathrm{m/s}$ и пређе $\tfrac{2{,}5 \cdot 144}{2} = 180\,\mathrm{m}$; од $T = 72\,\mathrm{s}$ иде равномерно: $s_p = 180 + 30 (T - 72)$.; $25 T = 180 + 30 T - 2160$, $5 T = 1980$, $T = 396\,\mathrm{s}$ ($> 72$, претпоставка важи). Оба пређу $9900\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} $T = 396\,\mathrm{s} = 6\,\mathrm{min}\ 36\,\mathrm{s}$


\end{document}