Пробни контролни 2

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Контролни: кинематика} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 2}
\end{center}

По узору на други пример. Задаци као на контролном: РППК, графици брзине и убрзања, сустизање. Уз сваки задатак напиши шта је дато, формулу, па рачун са јединицама. Решења су сложена испод сваког задатка.

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item Мотоцикл креће из мировања убрзањем $2\,\mathrm{m/s^2}$ до брзине $72\,\mathrm{km/h}$, затим иде равномерно, а онда успорава са $1\,\mathrm{m/s^2}$ до заустављања. Укупан пут је $3\,\mathrm{km}$. Колико је укупно време кретања?
  \item Ауто се креће иза камиона на растојању $30\,\mathrm{m}$, при чему оба возила имају брзине $54\,\mathrm{km/h}$. Кад ауто почне да убрзава да би претекао камион, и камион убрза. Убрзања аута и камиона су $1\,\mathrm{m/s^2}$ и $0{,}4\,\mathrm{m/s^2}$. После ког времена ће ауто достићи камион и колики пут ће прећи до тог тренутка?
  \item Тело креће из мировања убрзањем $2\,\mathrm{m/s^2}$. Након пређених $100\,\mathrm{m}$ сила која проузрокује убрзање престаје да делује. Колики је укупан пут након $25\,\mathrm{s}$ од почетка кретања? Занемарити трење.
  \item Из тачке $A$ крећу се у истом правцу и смеру два тела: прво се креће равномерно убрзано почетном брзином $4\,\mathrm{m/s}$ и убрзањем $1\,\mathrm{m/s^2}$, а друго креће $2\,\mathrm{s}$ раније равномерно успорено почетном брзином $12\,\mathrm{m/s}$ и убрзањем $1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$. а) Колико је растојање између њих у тренутку кад се друго тело заустави? б) Колика мора бити почетна брзина првог тела да би у тренутку заустављања другог тела била на истом месту?
  \item Тело је за првих $8\,\mathrm{s}$ прешло $5\,\mathrm{m}$. Прве $4\,\mathrm{s}$ се кретало са сталним убрзањем, а затим равномерно. Колика је почетна брзина ако је тело у шестој секунди прешло пут $0{,}5\,\mathrm{m}$?
  \item Возећи сталном брзином $16\,\mathrm{m/s}$ на путу где је ограничење $40\,\mathrm{km/h}$, таксиста примети полицијски ауто $30\,\mathrm{m}$ испред себе који се креће у истом смеру брзином $8\,\mathrm{m/s}$ и одмах почиње да кочи успорењем $0{,}8\,\mathrm{m/s^2}$. Ако га престигне, плаћа казну. Да ли ће платити казну и, ако хоће, после колико секунди га престиже?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $v = 20\,\mathrm{m/s}$. Убрзавање: $t_1 = 10\,\mathrm{s}$, $s_1 = \tfrac{2 \cdot 100}{2} = 100\,\mathrm{m}$.; Кочење: $t_3 = \tfrac{20}{1} = 20\,\mathrm{s}$, $s_3 = \tfrac{20}{2} \cdot 20 = 200\,\mathrm{m}$.; Равномерно: $s_2 = 3000 - 300 = 2700\,\mathrm{m}$, $t_2 = \tfrac{2700}{20} = 135\,\mathrm{s}$.; $t = 10 + 135 + 20 = 165\,\mathrm{s}$.; \textbf{Решење:} $t = 165\,\mathrm{s} = 2\,\mathrm{min}\ 45\,\mathrm{s}$

\noindent\textbf{2.} $v_0 = 15\,\mathrm{m/s}$ за оба. Разлика путева: $s_a - s_k = \tfrac{1 - 0{,}4}{2} t^2 = 0{,}3 t^2$.; $0{,}3 t^2 = 30$, $t^2 = 100$, $t = 10\,\mathrm{s}$.; $s_a = 15 \cdot 10 + \tfrac{1 \cdot 100}{2} = 200\,\mathrm{m}$ (камион: $150 + 20 = 170\,\mathrm{m}$, разлика $30\,\mathrm{m}$).; \textbf{Решење:} $t = 10\,\mathrm{s}$, $s_a = 200\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{3.} $v = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 100} = 20\,\mathrm{m/s}$, $t_1 = \tfrac{20}{2} = 10\,\mathrm{s}$.; Равномерно још $15\,\mathrm{s}$: $s_2 = 20 \cdot 15 = 300\,\mathrm{m}$.; $s = 100 + 300 = 400\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} $s = 400\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{4.} Друго тело стаје после $\tfrac{12}{1{,}5} = 8\,\mathrm{s}$ и пређе $\tfrac{12^2}{2 \cdot 1{,}5} = 48\,\mathrm{m}$.; Прво тело се тада креће $8 - 2 = 6\,\mathrm{s}$: $s_1 = 4 \cdot 6 + \tfrac{1 \cdot 36}{2} = 42\,\mathrm{m}$.; а) $d = 48 - 42 = 6\,\mathrm{m}$.; б) $6 v_0 + 18 = 48$, $v_0 = 5\,\mathrm{m/s}$.; \textbf{Решење:} а) $6\,\mathrm{m}$; б) $v_0 = 5\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{5.} Шеста секунда је у равномерном делу: $v = 0{,}5\,\mathrm{m/s}$.; Равномерни део: $s_2 = 0{,}5 \cdot 4 = 2\,\mathrm{m}$; убрзани део: $s_1 = 5 - 2 = 3\,\mathrm{m}$.; $\tfrac{v_0 + 0{,}5}{2} \cdot 4 = 3$, $v_0 + 0{,}5 = 1{,}5$, $v_0 = 1\,\mathrm{m/s}$ (тело је успоравало, $a = -0{,}125\,\mathrm{m/s^2}$).; \textbf{Решење:} $v_0 = 1\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{6.} Разлика брзина је $8\,\mathrm{m/s}$ и смањује се $0{,}8\,\mathrm{m/s}$ сваке секунде, па се такси приближава $\tfrac{8}{0{,}8} = 10\,\mathrm{s}$ и за то време смањи растојање за $\tfrac{8}{2} \cdot 10 = 40\,\mathrm{m}$.; $40\,\mathrm{m} > 30\,\mathrm{m}$, па га престиже. Тренутак: $16 t - \tfrac{0{,}8 t^2}{2} = 8 t + 30$, тј. $0{,}4 t^2 - 8 t + 30 = 0$, $t^2 - 20 t + 75 = 0$, $t = 5\,\mathrm{s}$ (друго решење $15\,\mathrm{s}$ је тренутак кад га полиција поново стигне).; Провера: такси $16 \cdot 5 - 0{,}4 \cdot 25 = 70\,\mathrm{m}$, полиција $8 \cdot 5 = 40\,\mathrm{m}$, $70 - 40 = 30\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} Плаћа: престиже га после $5\,\mathrm{s}$.


\end{document}