Пробни контролни 1

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Контролни: кинематика} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 1}
\end{center}

По узору на први пример: исти типови задатака, нови бројеви. Задаци као на контролном: РППК, графици брзине и убрзања, сустизање. Уз сваки задатак напиши шта је дато, формулу, па рачун са јединицама. Решења су сложена испод сваког задатка.

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item Тело из мировања пређе $180\,\mathrm{m}$ убрзањем $1{,}6\,\mathrm{m/s^2}$. Колико времена се кретало и колику брзину је достигло?
  \item Тело се креће брзином $5\,\mathrm{m/s}$ током $4\,\mathrm{s}$, након следеће $4\,\mathrm{s}$ брзина му је $1\,\mathrm{m/s}$, а затим следеће $2\,\mathrm{s}$ убрзава са $2\,\mathrm{m/s^2}$. Нацртати графике брзине и убрзања и израчунати средњу брзину на целом путу.
  \item Воз полази из станице и у једном тренутку има брзину $12\,\mathrm{m/s}$, а $180\,\mathrm{m}$ даље брзину $18\,\mathrm{m/s}$. Колико је убрзање воза и колики је пређени пут пре брзине $12\,\mathrm{m/s}$?
  \item Тело из мировања пређе $18\,\mathrm{m}$ у петој секунди. Колико је убрзање? Кретање је РППК.
  \item Тело има брзину $15\,\mathrm{m/s}$, а онда равномерно успорава убрзањем $2{,}5\,\mathrm{m/s^2}$. Колики пут тело пређе за $8\,\mathrm{s}$? Сила која делује на тело све време је иста.
  \item Након $30\,\mathrm{s}$ од проласка брода кроз пристаниште, за њим је кренуо глисер убрзањем $0{,}8\,\mathrm{m/s^2}$. Након $20\,\mathrm{s}$ од свог поласка глисер је сустигао брод. Ако се брод креће равномерно, колика је његова брзина?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $t = \sqrt{\tfrac{2s}{a}} = \sqrt{\tfrac{360}{1{,}6}} = \sqrt{225} = 15\,\mathrm{s}$.; $v = a t = 1{,}6 \cdot 15 = 24\,\mathrm{m/s}$. Провера: $s = \tfrac{v}{2} \cdot t = 12 \cdot 15 = 180\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} $t = 15\,\mathrm{s}$, $v = 24\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{2.} Равномерно: $s_1 = 5 \cdot 4 = 20\,\mathrm{m}$, $a_1 = 0$.; Успорено: $a_2 = \tfrac{1 - 5}{4} = -1\,\mathrm{m/s^2}$, $s_2 = \tfrac{5 + 1}{2} \cdot 4 = 12\,\mathrm{m}$.; Убрзано: $v_3 = 1 + 2 \cdot 2 = 5\,\mathrm{m/s}$, $s_3 = 1 \cdot 2 + \tfrac{2 \cdot 4}{2} = 6\,\mathrm{m}$.; $v_{sr} = \tfrac{20 + 12 + 6}{10} = 3{,}8\,\mathrm{m/s}$.; \textbf{Решење:} $v_{sr} = 3{,}8\,\mathrm{m/s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (104.8,-3) -- (104.8,3);
  \node[below] at ($(104.8,0)!0!(104.8,0)$) {$4$};
  \draw (209.6,-3) -- (209.6,3);
  \node[below] at ($(209.6,0)!0!(209.6,0)$) {$8$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$5$};
  \draw (-3,32.5) -- (3,32.5);
  \node[left] at ($(0,32.5)!0!(0,32.5)$) {$1$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (104.8,162.5) -- (104.8,0);
  \draw[dashed] (104.8,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[dashed] (209.6,32.5) -- (209.6,0);
  \draw[dashed] (209.6,32.5) -- (0,32.5);
  \draw[dashed] (262,162.5) -- (262,0);
  \draw[dashed] (262,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (0,162.5) -- (104.8,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (104.8,162.5) -- (209.6,32.5);
  \draw[thick, red!70!black] (209.6,32.5) -- (262,162.5);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-76.78) -- (0,121.22);
  \draw (104.8,-3) -- (104.8,3);
  \node[below] at ($(104.8,0)!0!(104.8,0)$) {$4$};
  \draw (209.6,-3) -- (209.6,3);
  \node[below] at ($(209.6,0)!0!(209.6,0)$) {$8$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,-40.44) -- (3,-40.44);
  \node[left] at ($(0,-40.44)!0!(0,-40.44)$) {$-1$};
  \draw (-3,80.89) -- (3,80.89);
  \node[left] at ($(0,80.89)!0!(0,80.89)$) {$2$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,121.22)!0!(0,121.22)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (104.8,0);
  \draw[thick, red!70!black] (104.8,-40.44) -- (209.6,-40.44);
  \draw[thick, red!70!black] (209.6,80.89) -- (262,80.89);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{3.} $a = \tfrac{18^2 - 12^2}{2 \cdot 180} = \tfrac{324 - 144}{360} = 0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$.; $s_0 = \tfrac{12^2}{2 \cdot 0{,}5} = 144\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} $a = 0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$, $s_0 = 144\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{4.} $s_5 = \tfrac{a}{2}(5^2 - 4^2) = \tfrac{9a}{2} = 4{,}5 a$.; $4{,}5 a = 18$, па је $a = 4\,\mathrm{m/s^2}$.; \textbf{Решење:} $a = 4\,\mathrm{m/s^2}$

\noindent\textbf{5.} Заустављање после $t_z = \tfrac{15}{2{,}5} = 6\,\mathrm{s}$, пре истека $8\,\mathrm{s}$.; До заустављања: $s_1 = \tfrac{15^2}{2 \cdot 2{,}5} = 45\,\mathrm{m}$.; Иста сила: тело креће назад и за $2\,\mathrm{s}$ пређе $s_2 = \tfrac{2{,}5 \cdot 4}{2} = 5\,\mathrm{m}$.; $s = 45 + 5 = 50\,\mathrm{m}$ (удаљеност од почетка је $40\,\mathrm{m}$).; \textbf{Решење:} $s = 50\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{6.} Глисер: $s = \tfrac{0{,}8 \cdot 20^2}{2} = 160\,\mathrm{m}$.; Брод путује $30 + 20 = 50\,\mathrm{s}$: $v = \tfrac{160}{50} = 3{,}2\,\mathrm{m/s}$.; \textbf{Решење:} $v = 3{,}2\,\mathrm{m/s}$


\end{document}