Пример контролног 3 (решен)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Контролни: кинематика} \\[2pt]
  {\small Пример контролног 3 (решен)}
\end{center}

Трећи пример са листа, шест задатака. Задаци као на контролном: РППК, графици брзине и убрзања, сустизање. Уз сваки задатак напиши шта је дато, формулу, па рачун са јединицама. Решења су сложена испод сваког задатка.

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item Тело креће из мировања и након одређеног времена има брзину $6\,\mathrm{m/s}$. Након следећих $25\,\mathrm{m}$ брзина тела је $10\,\mathrm{m/s}$. Колики је укупан пут и време кретања? Кретање је равномерно убрзано.
  \item Трамвај полази са станице и у току седме и осме секунде прелази укупно $32\,\mathrm{m}$. Такво кретање траје $12\,\mathrm{s}$, а онда кочи и након следећих $18\,\mathrm{m}$ брзина је двоструко мања него пре кочења. Одредити колико је убрзање и успорење трамваја.
  \item Тело за првих $6\,\mathrm{s}$ пређе $48\,\mathrm{m}$, а за следећих $12\,\mathrm{s}$ пређе $70\,\mathrm{m}$. Колика је почетна брзина и убрзање ако је кретање РППК?
  \item Два тела крену из мировања једно ка другом по узајамно нормалним правцима ка тачки њиховог пресека $O$. У почетном тренутку оба тела су $50\,\mathrm{m}$ од тачке $O$. Убрзања тела су $1\,\mathrm{m/s^2}$ и $4\,\mathrm{m/s^2}$. Колико је међусобно растојање између тела након $8\,\mathrm{s}$ од поласка другог тела ако је оно кренуло $2\,\mathrm{s}$ касније? Кретање је РППК.
  \item Падобранац је искочио из хеликоптера и падао убрзањем $10\,\mathrm{m/s^2}$ током $3\,\mathrm{s}$. Затим је отворио падобран и почео равномерно успоравати убрзањем $3\,\mathrm{m/s^2}$. Подлогу је додирнуо брзином $12\,\mathrm{m/s}$. Одредити време кретања падобранца и висину са које је скочио.
  \item Аутомобил прође поред полицајца брзином $72\,\mathrm{km/h}$. Он пали мотор и након $2\,\mathrm{min}$ почиње равномерно убрзано кретање убрзањем $3\,\mathrm{m/s^2}$ које траје $10\,\mathrm{s}$, након чега наставља равномерно. Након колико времена од проласка аутомобила ће полицајац сустићи аутомобил?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} На делу од $25\,\mathrm{m}$: $a = \tfrac{v_2^2 - v_1^2}{2 s} = \tfrac{100 - 36}{50} = 1{,}28\,\mathrm{m/s^2}$.; Укупан пут од мировања до $10\,\mathrm{m/s}$: $s = \tfrac{v_2^2}{2a} = \tfrac{100}{2{,}56} = 39{,}0625\,\mathrm{m} \approx 39{,}1\,\mathrm{m}$.; Време: $t = \tfrac{v_2}{a} = \tfrac{10}{1{,}28} = 7{,}8125\,\mathrm{s} \approx 7{,}8\,\mathrm{s}$.; \textbf{Решење:} $s \approx 39{,}1\,\mathrm{m}$, $t \approx 7{,}8\,\mathrm{s}$

\noindent\textbf{2.} Пут у седмој и осмој секунди: $s(8) - s(6) = \tfrac{a}{2}(64 - 36) = 14 a = 32$, па је $a = \tfrac{16}{7} \approx 2{,}29\,\mathrm{m/s^2}$.; Брзина после $12\,\mathrm{s}$: $v = a \cdot 12 = \tfrac{192}{7} \approx 27{,}4\,\mathrm{m/s}$.; Кочење: $v^2 - \left(\tfrac{v}{2}\right)^2 = 2 a' s$, тј. $\tfrac{3}{4} v^2 = 2 a' \cdot 18$, $a' = \tfrac{v^2}{48} = \tfrac{(192/7)^2}{48} = \tfrac{768}{49} \approx 15{,}7\,\mathrm{m/s^2}$.; \textbf{Решење:} $a \approx 2{,}29\,\mathrm{m/s^2}$, $a' \approx 15{,}7\,\mathrm{m/s^2}$

\noindent\textbf{3.} За првих $6\,\mathrm{s}$: $6 v_0 + \tfrac{a \cdot 36}{2} = 48$, тј. $6 v_0 + 18 a = 48$.; За свих $18\,\mathrm{s}$: $18 v_0 + \tfrac{a \cdot 324}{2} = 118$, тј. $18 v_0 + 162 a = 118$.; Из прве: $v_0 = 8 - 3a$. Замена: $144 - 54 a + 162 a = 118$, $108 a = -26$, $a = -\tfrac{13}{54} \approx -0{,}24\,\mathrm{m/s^2}$.; $v_0 = 8 + \tfrac{13}{18} \approx 8{,}72\,\mathrm{m/s}$. Тело успорава, али се не зауставља до $18\,\mathrm{s}$ ($v(18) \approx 4{,}4\,\mathrm{m/s}$), па је рачун исправан.; \textbf{Решење:} $v_0 \approx 8{,}72\,\mathrm{m/s}$, $a \approx -0{,}24\,\mathrm{m/s^2}$ (успорава)

\noindent\textbf{4.} Прво тело се креће $10\,\mathrm{s}$: $s_1 = \tfrac{1 \cdot 100}{2} = 50\,\mathrm{m}$, тачно стигне у $O$.; Друго тело се креће $8\,\mathrm{s}$: $s_2 = \tfrac{4 \cdot 64}{2} = 128\,\mathrm{m}$, прође кроз $O$ и настави још $128 - 50 = 78\,\mathrm{m}$.; Растојање: прво тело је у $O$, друго $78\,\mathrm{m}$ од $O$, па је $d = 78\,\mathrm{m}$. (Општи случај: $d = \sqrt{d_1^2 + d_2^2}$, где су $d_1$, $d_2$ растојања од $O$.); \textbf{Решење:} $d = 78\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{5.} Слободан пад: $v_1 = 10 \cdot 3 = 30\,\mathrm{m/s}$, $h_1 = \tfrac{10 \cdot 9}{2} = 45\,\mathrm{m}$.; Успоравање од $30$ до $12\,\mathrm{m/s}$: $t_2 = \tfrac{30 - 12}{3} = 6\,\mathrm{s}$, $h_2 = \tfrac{30 + 12}{2} \cdot 6 = 126\,\mathrm{m}$.; $t = 3 + 6 = 9\,\mathrm{s}$, $h = 45 + 126 = 171\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} $t = 9\,\mathrm{s}$, $h = 171\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{6.} Аутомобил: $v = 20\,\mathrm{m/s}$, после $T$ секунди од проласка $s_a = 20 T$.; Полицајац: мирује $120\,\mathrm{s}$, убрзава $10\,\mathrm{s}$ до $v_p = 30\,\mathrm{m/s}$ и пређе $\tfrac{3 \cdot 100}{2} = 150\,\mathrm{m}$, па иде равномерно $30\,\mathrm{m/s}$ од тренутка $T = 130\,\mathrm{s}$.; За $T \ge 130$: $s_p = 150 + 30 (T - 130)$. Сустизање: $20 T = 150 + 30 T - 3900$, $10 T = 3750$, $T = 375\,\mathrm{s}$.; Провера: $T = 375 > 130$, па је претпоставка о равномерном делу тачна. Оба су прешли $7500\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} $T = 375\,\mathrm{s} = 6\,\mathrm{min}\ 15\,\mathrm{s}$


\end{document}