Пример контролног 2 (решен)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Контролни: кинематика} \\[2pt]
  {\small Пример контролног 2 (решен)}
\end{center}

Други пример са листа, шест задатака. Задаци као на контролном: РППК, графици брзине и убрзања, сустизање. Уз сваки задатак напиши шта је дато, формулу, па рачун са јединицама. Решења су сложена испод сваког задатка.

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item Мотоцикл креће из мировања убрзањем $1\,\mathrm{m/s^2}$ до брзине $72\,\mathrm{km/h}$, затим иде равномерно, а онда успорава са $0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ до заустављања. Укупан пут је $4\,\mathrm{km}$. Колико је укупно време кретања?
  \item Ауто се креће иза камиона на растојању $20\,\mathrm{m}$, при чему оба возила имају брзине $36\,\mathrm{km/h}$. Кад ауто почне да убрзава да би претекао камион, и камион убрза. Убрзања аута и камиона су $0{,}8\,\mathrm{m/s^2}$ и $0{,}3\,\mathrm{m/s^2}$, респективно. После ког времена ће ауто достићи камион и колики пут ће прећи до тог тренутка?
  \item Тело креће из мировања убрзањем $3\,\mathrm{m/s^2}$. Након пређених $181{,}5\,\mathrm{m}$ сила која проузрокује убрзање престаје да делује. Колики је укупан пут након $30\,\mathrm{s}$ од почетка кретања? Занемарити трење.
  \item Из тачке $A$ крећу се у истом правцу и смеру два тела: прво се креће равномерно убрзано почетном брзином $5\,\mathrm{m/s}$ и убрзањем $1{,}2\,\mathrm{m/s^2}$, а друго креће $3\,\mathrm{s}$ раније равномерно успорено почетном брзином $15\,\mathrm{m/s}$ и убрзањем $2\,\mathrm{m/s^2}$. а) Колико је растојање између њих у тренутку кад се друго тело заустави? б) Колика мора бити почетна брзина првог тела да би у тренутку заустављања другог тела била на истом месту?
  \item Тело је за првих $6\,\mathrm{s}$ прешло $2{,}7\,\mathrm{m}$. Прве $3\,\mathrm{s}$ се кретало са сталним убрзањем, а затим равномерно. Колика је почетна брзина ако је тело у петој секунди прешло пут $0{,}4\,\mathrm{m}$?
  \item Возећи сталном брзином $19\,\mathrm{m/s}$ на путу где је ограничење брзине $40\,\mathrm{km/h}$, таксиста примети полицијски ауто $32\,\mathrm{m}$ испред њега који се креће у истом смеру брзином $11\,\mathrm{m/s}$ и одмах почиње да кочи успорењем $1\,\mathrm{m/s^2}$. Ако га престигне, плаћа казну. Да ли ће платити казну?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $v = 72\,\mathrm{km/h} = 20\,\mathrm{m/s}$. Убрзавање: $t_1 = \tfrac{20}{1} = 20\,\mathrm{s}$, $s_1 = \tfrac{1 \cdot 20^2}{2} = 200\,\mathrm{m}$.; Кочење: $t_3 = \tfrac{20}{0{,}5} = 40\,\mathrm{s}$, $s_3 = \tfrac{20 + 0}{2} \cdot 40 = 400\,\mathrm{m}$.; Равномерно: $s_2 = 4000 - 200 - 400 = 3400\,\mathrm{m}$, $t_2 = \tfrac{3400}{20} = 170\,\mathrm{s}$.; $t = 20 + 170 + 40 = 230\,\mathrm{s}$.; \textbf{Решење:} $t = 230\,\mathrm{s} = 3\,\mathrm{min}\ 50\,\mathrm{s}$

\noindent\textbf{2.} $v_0 = 36\,\mathrm{km/h} = 10\,\mathrm{m/s}$ за оба. Путеви: $s_a = 10 t + \tfrac{0{,}8 t^2}{2}$, $s_k = 10 t + \tfrac{0{,}3 t^2}{2}$.; Ауто стиже камион кад је $s_a = s_k + 20$: $\tfrac{0{,}8 - 0{,}3}{2} t^2 = 20$, тј. $0{,}25 t^2 = 20$, $t^2 = 80$, $t = \sqrt{80} \approx 8{,}94\,\mathrm{s}$.; Пут аута: $s_a = 10 \cdot 8{,}94 + 0{,}4 \cdot 80 = 89{,}4 + 32 \approx 121{,}4\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} $t \approx 8{,}94\,\mathrm{s}$, $s_a \approx 121{,}4\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{3.} Брзина на крају убрзавања: $v^2 = 2 a s = 2 \cdot 3 \cdot 181{,}5 = 1089$, $v = 33\,\mathrm{m/s}$; трајање $t_1 = \tfrac{33}{3} = 11\,\mathrm{s}$.; Без силе и без трења тело наставља равномерно још $30 - 11 = 19\,\mathrm{s}$: $s_2 = 33 \cdot 19 = 627\,\mathrm{m}$.; $s = 181{,}5 + 627 = 808{,}5\,\mathrm{m}$.; \textbf{Решење:} $s = 808{,}5\,\mathrm{m}$

\noindent\textbf{4.} Друго тело стаје после $t_z = \tfrac{15}{2} = 7{,}5\,\mathrm{s}$ од свог поласка и пређе $s_2 = \tfrac{15^2}{2 \cdot 2} = 56{,}25\,\mathrm{m}$.; Прво тело се тада креће $7{,}5 - 3 = 4{,}5\,\mathrm{s}$: $s_1 = 5 \cdot 4{,}5 + \tfrac{1{,}2 \cdot 4{,}5^2}{2} = 22{,}5 + 12{,}15 = 34{,}65\,\mathrm{m}$.; а) $d = 56{,}25 - 34{,}65 = 21{,}6\,\mathrm{m}$.; б) $v_0 \cdot 4{,}5 + 12{,}15 = 56{,}25$, па је $v_0 = \tfrac{44{,}1}{4{,}5} = 9{,}8\,\mathrm{m/s}$.; \textbf{Решење:} а) $21{,}6\,\mathrm{m}$; б) $v_0 = 9{,}8\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{5.} Пета секунда (од $4$ до $5\,\mathrm{s}$) је у равномерном делу, па је брзина равномерног кретања $v = \tfrac{0{,}4\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{s}} = 0{,}4\,\mathrm{m/s}$.; Равномерни део ($3\,\mathrm{s}$): $s_2 = 0{,}4 \cdot 3 = 1{,}2\,\mathrm{m}$. Убрзани део: $s_1 = 2{,}7 - 1{,}2 = 1{,}5\,\mathrm{m}$.; На убрзаном делу брзина иде од $v_0$ до $0{,}4\,\mathrm{m/s}$: $s_1 = \tfrac{v_0 + 0{,}4}{2} \cdot 3 = 1{,}5$, па је $v_0 + 0{,}4 = 1$ и $v_0 = 0{,}6\,\mathrm{m/s}$.; Тело је успоравало: $a = \tfrac{0{,}4 - 0{,}6}{3} \approx -0{,}067\,\mathrm{m/s^2}$.; \textbf{Решење:} $v_0 = 0{,}6\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{6.} Гледамо кретање таксија у односу на полицијски ауто: почетна разлика брзина је $19 - 11 = 8\,\mathrm{m/s}$ и смањује се за $1\,\mathrm{m/s}$ сваке секунде.; Такси се приближава док му брзина не падне на $11\,\mathrm{m/s}$, тј. $t = \tfrac{8}{1} = 8\,\mathrm{s}$. За то време растојање се смањи за $\tfrac{8 + 0}{2} \cdot 8 = 32\,\mathrm{m}$.; Исто рачуном: такси $s_t = 19 \cdot 8 - \tfrac{1 \cdot 64}{2} = 120\,\mathrm{m}$, полиција $s_p = 11 \cdot 8 = 88\,\mathrm{m}$, $120 - 88 = 32\,\mathrm{m}$.; Такси тачно сустигне полицијски ауто у тренутку кад су им брзине једнаке, а после тога је спорији. Не претиче га, па не плаћа казну.; \textbf{Решење:} Не плаћа: сустигне га тачно после $8\,\mathrm{s}$, али га не престигне.


\end{document}