Кинематика · свеска

Пређени пут код РППК

Пређени пут је површина испод графика \(v(t)\). Код равномерног кретања то је правоугаоник: \(s = v \cdot t\).

Код РППК површина испод дужи од \(v_0\) до \(v\) дели се на правоугаоник и троугао:

\(s_1 = v_0 \cdot t\) (правоугаоник висине \(v_0\)), \(\ s_2 = \tfrac{(v - v_0) \cdot t}{2}\) (троугао).

Пошто је \(v - v_0 = a \cdot t\), површина троугла је \(s_2 = \tfrac{a t \cdot t}{2}\) \(= \tfrac{a t^2}{2}\), па је:

\[s = v_0 \cdot t + \frac{a t^2}{2}\]

Са знаком: \(a > 0\) за убрзано, \(a < 0\) за успорено (или \(s = v_0 t - \tfrac{|a| t^2}{2}\)). Пут може да се рачуна и преко средње брзине: \(s = v_{sr} \cdot t\) \(= \tfrac{v_0 + v}{2} \cdot t\).

Пример. График брзине: \(A(0, 0)\), \(B(5\,\mathrm{s}, 20\,\mathrm{m/s})\), \(C(15, 5)\), \(D(20, 5)\). Колика је средња брзина?

\(AB\): \(a_1 = \tfrac{20 - 0}{5}\) \(= 4\,\mathrm{m/s^2}\); \(\ s_1 = 0 + \tfrac{4 \cdot 5^2}{2}\) \(= 50\,\mathrm{m}\).
\(BC\): \(a_2 = \tfrac{5 - 20}{10}\) \(= -1{,}5\,\mathrm{m/s^2}\); \(\ s_2 = 20 \cdot 10 - \tfrac{1{,}5 \cdot 10^2}{2}\) \(= 200 - 75\) \(= 125\,\mathrm{m}\).
\(CD\): \(s_3 = 5\,\mathrm{m/s} \cdot 5\,\mathrm{s}\) \(= 25\,\mathrm{m}\).
\(v_{sr}\) \(= \tfrac{50 + 125 + 25}{20}\,\mathrm{m/s}\) \(= \tfrac{200\,\mathrm{m}}{20\,\mathrm{s}}\).
Други начин: \(v_{sr,AB}\) \(= \tfrac{0 + 20}{2}\) \(= 10\,\mathrm{m/s}\), \(s_1 = 10 \cdot 5 = 50\,\mathrm{m}\); \(\ v_{sr,BC}\) \(= \tfrac{20 + 5}{2}\) \(= 12{,}5\,\mathrm{m/s}\), \(s_2 = 12{,}5 \cdot 10\) \(= 125\,\mathrm{m}\).

Решење\(v_{sr} = 10\,\mathrm{m/s}\)

Слични задаци (нису из свеске)

График брзине: \(A(0, 4)\), \(B(4, 12)\), \(C(8, 12)\), \(D(10, 0)\) (време у \(\mathrm s\), брзина у \(\mathrm{m/s}\)). Колика је средња брзина?
Решење
1. \(AB\): \(a_1 = 2\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_1 = 4 \cdot 4 + \dfrac{2 \cdot 4^2}{2}\) \(= 32\,\mathrm{m}\)
2. \(BC\): \(a_2 = 0\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_2 = 12 \cdot 4 + \dfrac{0 \cdot 4^2}{2}\) \(= 48\,\mathrm{m}\)
3. \(CD\): \(a_3 = -6\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_3 = 12 \cdot 2 + \dfrac{(-6) \cdot 2^2}{2}\) \(= 12\,\mathrm{m}\)
4. \(s = 92\,\mathrm{m}\), \(\ v_{sr}\) \(= \dfrac{92\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{s}}\)
Решење\(v_{sr} = 9{,}2\,\mathrm{m/s}\)
График брзине: \(A(0, 0)\), \(B(5, 20)\), \(C(10, 10)\), \(D(20, 10)\) (време у \(\mathrm s\), брзина у \(\mathrm{m/s}\)). Колика је средња брзина?
Решење
1. \(AB\): \(a_1 = 4\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_1 = 0 \cdot 5 + \dfrac{4 \cdot 5^2}{2}\) \(= 50\,\mathrm{m}\)
2. \(BC\): \(a_2 = -2\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_2 = 20 \cdot 5 + \dfrac{(-2) \cdot 5^2}{2}\) \(= 75\,\mathrm{m}\)
3. \(CD\): \(a_3 = 0\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_3 = 10 \cdot 10 + \dfrac{0 \cdot 10^2}{2}\) \(= 100\,\mathrm{m}\)
4. \(s = 225\,\mathrm{m}\), \(\ v_{sr}\) \(= \dfrac{225\,\mathrm{m}}{20\,\mathrm{s}}\)
Решење\(v_{sr} = 11{,}25\,\mathrm{m/s}\)
График брзине: \(A(0, 15)\), \(B(5, 5)\), \(C(9, 5)\), \(D(10, 0)\) (време у \(\mathrm s\), брзина у \(\mathrm{m/s}\)). Колика је средња брзина?
Решење
1. \(AB\): \(a_1 = -2\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_1 = 15 \cdot 5 + \dfrac{(-2) \cdot 5^2}{2}\) \(= 50\,\mathrm{m}\)
2. \(BC\): \(a_2 = 0\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_2 = 5 \cdot 4 + \dfrac{0 \cdot 4^2}{2}\) \(= 20\,\mathrm{m}\)
3. \(CD\): \(a_3 = -5\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_3 = 5 \cdot 1 + \dfrac{(-5) \cdot 1^2}{2}\) \(= 2{,}5\,\mathrm{m}\)
4. \(s = 72{,}5\,\mathrm{m}\), \(\ v_{sr}\) \(= \dfrac{72{,}5\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{s}}\)
Решење\(v_{sr} = 7{,}25\,\mathrm{m/s}\)

Куглица. Куглица се спушта низ низбрдицу дужине \(100\,\mathrm{m}\) убрзањем \(1{,}5\,\mathrm{m/s^2}\) за \(8\,\mathrm{s}\). Колика је брзина на почетку и на крају низбрдице?

\(s = v_0 t + \tfrac{a t^2}{2}\): \(\ 100 = v_0 \cdot 8 + \tfrac{1{,}5 \cdot 64}{2}\) \(= 8 v_0 + 48\).
\(v_0 = \tfrac{52\,\mathrm{m}}{8\,\mathrm{s}}\) \(= 6{,}5\,\mathrm{m/s}\).
\(v = v_0 + a t\) \(= 6{,}5 + 1{,}5 \cdot 8\) \(= 18{,}5\,\mathrm{m/s}\).
Провера преко средње брзине: \(v_{sr}\) \(= \tfrac{100}{8}\) \(= 12{,}5\,\mathrm{m/s}\) \(= \tfrac{6{,}5 + 18{,}5}{2}\).

Решење\(v_0 = 6{,}5\,\mathrm{m/s}\), \(\ v = 18{,}5\,\mathrm{m/s}\)

Слични задаци (нису из свеске)

Скијаш се креће убрзањем \(2\,\mathrm{m/s^2}\) и за \(5\,\mathrm{s}\) пређе \(35\,\mathrm{m}\). Колика му је брзина на почетку, а колика на крају?
Решење
1. \(s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}\): \(\ 35 = v_0 \cdot 5 + \dfrac{2 \cdot 5^2}{2}\) \(= 5 v_0 + 25\)
2. \(v_0 = \dfrac{10\,\mathrm{m}}{5\,\mathrm{s}}\) \(= 2\,\mathrm{m/s}\)
3. \(v = v_0 + a t\) \(= 2 + 2 \cdot 5\) \(= 12\,\mathrm{m/s}\)
4. Провера: \(v_{sr}\) \(= \dfrac{s}{t}\) \(= 7\,\mathrm{m/s}\) \(= \dfrac{2 + 12}{2}\)
Решење\(v_0 = 2\,\mathrm{m/s}\), \(\ v = 12\,\mathrm{m/s}\)
Бициклиста се креће убрзањем \(0{,}5\,\mathrm{m/s^2}\) и за \(10\,\mathrm{s}\) пређе \(65\,\mathrm{m}\). Колика му је брзина на почетку, а колика на крају?
Решење
1. \(s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}\): \(\ 65 = v_0 \cdot 10 + \dfrac{0{,}5 \cdot 10^2}{2}\) \(= 10 v_0 + 25\)
2. \(v_0 = \dfrac{40\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{s}}\) \(= 4\,\mathrm{m/s}\)
3. \(v = v_0 + a t\) \(= 4 + 0{,}5 \cdot 10\) \(= 9\,\mathrm{m/s}\)
4. Провера: \(v_{sr}\) \(= \dfrac{s}{t}\) \(= 6{,}5\,\mathrm{m/s}\) \(= \dfrac{4 + 9}{2}\)
Решење\(v_0 = 4\,\mathrm{m/s}\), \(\ v = 9\,\mathrm{m/s}\)
Аутомобил кочи успорењем \(2\,\mathrm{m/s^2}\) и за \(6\,\mathrm{s}\) пређе \(84\,\mathrm{m}\). Колика му је брзина на почетку, а колика на крају?
Решење
1. \(s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}\): \(\ 84 = v_0 \cdot 6 + \dfrac{(-2) \cdot 6^2}{2}\) \(= 6 v_0 - 36\)
2. \(v_0 = \dfrac{120\,\mathrm{m}}{6\,\mathrm{s}}\) \(= 20\,\mathrm{m/s}\)
3. \(v = v_0 + a t\) \(= 20 + (-2) \cdot 6\) \(= 8\,\mathrm{m/s}\)
4. Провера: \(v_{sr}\) \(= \dfrac{s}{t}\) \(= 14\,\mathrm{m/s}\) \(= \dfrac{20 + 8}{2}\)
Решење\(v_0 = 20\,\mathrm{m/s}\), \(\ v = 8\,\mathrm{m/s}\)
Куглица се креће убрзањем \(1{,}2\,\mathrm{m/s^2}\) и за \(5\,\mathrm{s}\) пређе \(30\,\mathrm{m}\). Колика му је брзина на почетку, а колика на крају?
Решење
1. \(s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}\): \(\ 30 = v_0 \cdot 5 + \dfrac{1{,}2 \cdot 5^2}{2}\) \(= 5 v_0 + 15\)
2. \(v_0 = \dfrac{15\,\mathrm{m}}{5\,\mathrm{s}}\) \(= 3\,\mathrm{m/s}\)
3. \(v = v_0 + a t\) \(= 3 + 1{,}2 \cdot 5\) \(= 9\,\mathrm{m/s}\)
4. Провера: \(v_{sr}\) \(= \dfrac{s}{t}\) \(= 6\,\mathrm{m/s}\) \(= \dfrac{3 + 9}{2}\)
Решење\(v_0 = 3\,\mathrm{m/s}\), \(\ v = 9\,\mathrm{m/s}\)

Задатак 3. Тело креће из мировања. График убрзања: \(2{,}5\,\mathrm{m/s^2}\) од \(0\) до \(5\,\mathrm{s}\), \(-2\,\mathrm{m/s^2}\) од \(5\) до \(8\,\mathrm{s}\), \(1\,\mathrm{m/s^2}\) од \(8\) до \(10\,\mathrm{s}\). а) Колика је средња брзина? б) Нацртај график брзине.

\(v_1 = 0 + 2{,}5 \cdot 5\) \(= 12{,}5\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_1 = \tfrac{2{,}5 \cdot 25}{2}\) \(= 31{,}25\,\mathrm{m}\).
\(v_2 = 12{,}5 - 2 \cdot 3\) \(= 6{,}5\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_2 = 12{,}5 \cdot 3 - \tfrac{2 \cdot 9}{2}\) \(= 28{,}5\,\mathrm{m}\).
\(v_3 = 6{,}5 + 1 \cdot 2\) \(= 8{,}5\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_3 = 6{,}5 \cdot 2 + \tfrac{1 \cdot 4}{2}\) \(= 15\,\mathrm{m}\).
\(s = 74{,}75\,\mathrm{m}\), \(\ t = 10\,\mathrm{s}\).

Решење\(v_{sr}\) \(= 7{,}475\,\mathrm{m/s} \approx 7{,}48\,\mathrm{m/s}\)

Решење под б).

Слични задаци (нису из свеске)

Тело креће из мировања. Убрзање: \(2\,\mathrm{m/s^2}\) од \(0\) до \(4\,\mathrm{s}\), \(0\,\mathrm{m/s^2}\) од \(4\) до \(6\,\mathrm{s}\), \(-3\,\mathrm{m/s^2}\) од \(6\) до \(8\,\mathrm{s}\). а) Колика је средња брзина? б) Нацртај график брзине.
Решење
1. \(v_1 = 0 + 2 \cdot 4\) \(= 8\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_1 = 0 \cdot 4 + \dfrac{2 \cdot 4^2}{2}\) \(= 16\,\mathrm{m}\)
2. \(v_2 = 8 + 0 \cdot 2\) \(= 8\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_2 = 8 \cdot 2 + \dfrac{0 \cdot 2^2}{2}\) \(= 16\,\mathrm{m}\)
3. \(v_3 = 8 + (-3) \cdot 2\) \(= 2\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_3 = 8 \cdot 2 + \dfrac{(-3) \cdot 2^2}{2}\) \(= 10\,\mathrm{m}\)
4. \(s = 42\,\mathrm{m}\), \(\ t = 8\,\mathrm{s}\)
Решење\(v_{sr} = 5{,}25\,\mathrm{m/s}\)
Тело креће из мировања. Убрзање: \(3\,\mathrm{m/s^2}\) од \(0\) до \(2\,\mathrm{s}\), \(-1\,\mathrm{m/s^2}\) од \(2\) до \(6\,\mathrm{s}\), \(0\,\mathrm{m/s^2}\) од \(6\) до \(10\,\mathrm{s}\). а) Колика је средња брзина? б) Нацртај график брзине.
Решење
1. \(v_1 = 0 + 3 \cdot 2\) \(= 6\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_1 = 0 \cdot 2 + \dfrac{3 \cdot 2^2}{2}\) \(= 6\,\mathrm{m}\)
2. \(v_2 = 6 + (-1) \cdot 4\) \(= 2\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_2 = 6 \cdot 4 + \dfrac{(-1) \cdot 4^2}{2}\) \(= 16\,\mathrm{m}\)
3. \(v_3 = 2 + 0 \cdot 4\) \(= 2\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_3 = 2 \cdot 4 + \dfrac{0 \cdot 4^2}{2}\) \(= 8\,\mathrm{m}\)
4. \(s = 30\,\mathrm{m}\), \(\ t = 10\,\mathrm{s}\)
Решење\(v_{sr} = 3\,\mathrm{m/s}\)
Почетна брзина тела је \(4\,\mathrm{m/s}\). Убрзање: \(1\,\mathrm{m/s^2}\) од \(0\) до \(4\,\mathrm{s}\), \(2\,\mathrm{m/s^2}\) од \(4\) до \(6\,\mathrm{s}\), \(-3\,\mathrm{m/s^2}\) од \(6\) до \(10\,\mathrm{s}\). а) Колика је средња брзина? б) Нацртај график брзине.
Решење
1. \(v_1 = 4 + 1 \cdot 4\) \(= 8\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_1 = 4 \cdot 4 + \dfrac{1 \cdot 4^2}{2}\) \(= 24\,\mathrm{m}\)
2. \(v_2 = 8 + 2 \cdot 2\) \(= 12\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_2 = 8 \cdot 2 + \dfrac{2 \cdot 2^2}{2}\) \(= 20\,\mathrm{m}\)
3. \(v_3 = 12 + (-3) \cdot 4\) \(= 0\,\mathrm{m/s}\); \(\ s_3 = 12 \cdot 4 + \dfrac{(-3) \cdot 4^2}{2}\) \(= 24\,\mathrm{m}\)
4. \(s = 68\,\mathrm{m}\), \(\ t = 10\,\mathrm{s}\)
Решење\(v_{sr} = 6{,}8\,\mathrm{m/s}\)

Домаћи 1. График брзине: од \(0\) до \(20\,\mathrm{m/s}\) за \(4\,\mathrm{s}\), затим пад брзине до \(-10\,\mathrm{m/s}\) у \(10\,\mathrm{s}\) (брзина је \(0\) у \(8\,\mathrm{s}\)). Нацртај график убрзања и израчунај пређени пут и средњу брзину.

Од \(0\) до \(4\,\mathrm{s}\): \(a_1 = \tfrac{20}{4}\) \(= 5\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_1 = \tfrac{0 + 20}{2} \cdot 4\) \(= 40\,\mathrm{m}\).
Од \(4\) до \(8\,\mathrm{s}\): \(a_2 = \tfrac{0 - 20}{4}\) \(= -5\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_2 = \tfrac{20 + 0}{2} \cdot 4\) \(= 40\,\mathrm{m}\).
Од \(8\) до \(10\,\mathrm{s}\): брзина је негативна — тело се враћа. \(a_3 = \tfrac{-10 - 0}{2}\) \(= -5\,\mathrm{m/s^2}\), \(\ s_3 = \tfrac{10}{2} \cdot 2\) \(= 10\,\mathrm{m}\) уназад.
Пређени пут \(s = 40 + 40 + 10 = 90\,\mathrm{m}\); \(\ v_{sr}\) \(= \tfrac{90\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{s}}\) \(= 9\,\mathrm{m/s}\).
Тело је на крају \(40 + 40 - 10 = 70\,\mathrm{m}\) од почетка (померај).

Решење\(s = 90\,\mathrm{m}\), \(\ v_{sr} = 9\,\mathrm{m/s}\)

График убрзања: \(a = -5\,\mathrm{m/s^2}\) све од \(4\) до \(10\,\mathrm{s}\).

ИсправкаУ свесци је на графику убрзања део од \(8\) до \(10\,\mathrm{s}\) нацртан на \(+5\,\mathrm{m/s^2}\). Брзина и ту опада (од \(0\) до \(-10\,\mathrm{m/s}\)), па је \(a_3 = -5\,\mathrm{m/s^2}\). Пређени пут \(90\,\mathrm{m}\) и средња брзина \(9\,\mathrm{m/s}\) у свесци су тачни.

Слични задаци (нису из свеске)

График брзине: \(A(0, 0)\), \(B(3, 12)\), \(C(7, 0)\), \(D(10, -6)\) (време у \(\mathrm s\), брзина у \(\mathrm{m/s}\)). Нацртај график убрзања и израчунај пређени пут, померај и средњу брзину.
Решење
1. \(AB\): \(a_1 = 4\,\mathrm{m/s^2}\), пут \(18\,\mathrm{m}\) унапред
2. \(BC\): \(a_2 = -3\,\mathrm{m/s^2}\), пут \(24\,\mathrm{m}\) унапред
3. \(CD\): \(a_3 = -2\,\mathrm{m/s^2}\), пут \(9\,\mathrm{m}\) уназад (брзина је негативна)
4. Пређени пут: \(s = 51\,\mathrm{m}\); померај: \(33\,\mathrm{m}\) од почетка.
5. \(v_{sr}\) \(= \dfrac{51\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{s}}\)
Решење\(s = 51\,\mathrm{m}\), \(\ v_{sr} = 5{,}1\,\mathrm{m/s}\)
График брзине: \(A(0, 10)\), \(B(5, 0)\), \(C(8, -6)\) (време у \(\mathrm s\), брзина у \(\mathrm{m/s}\)). Нацртај график убрзања и израчунај пређени пут, померај и средњу брзину.
Решење
1. \(AB\): \(a_1 = -2\,\mathrm{m/s^2}\), пут \(25\,\mathrm{m}\) унапред
2. \(BC\): \(a_2 = -2\,\mathrm{m/s^2}\), пут \(9\,\mathrm{m}\) уназад (брзина је негативна)
3. Пређени пут: \(s = 34\,\mathrm{m}\); померај: \(16\,\mathrm{m}\) од почетка.
4. \(v_{sr}\) \(= \dfrac{34\,\mathrm{m}}{8\,\mathrm{s}}\)
Решење\(s = 34\,\mathrm{m}\), \(\ v_{sr} = 4{,}25\,\mathrm{m/s}\)
График брзине: \(A(0, 0)\), \(B(2, 8)\), \(C(4, 0)\), \(D(6, -8)\) (време у \(\mathrm s\), брзина у \(\mathrm{m/s}\)). Нацртај график убрзања и израчунај пређени пут, померај и средњу брзину.
Решење
1. \(AB\): \(a_1 = 4\,\mathrm{m/s^2}\), пут \(8\,\mathrm{m}\) унапред
2. \(BC\): \(a_2 = -4\,\mathrm{m/s^2}\), пут \(8\,\mathrm{m}\) унапред
3. \(CD\): \(a_3 = -4\,\mathrm{m/s^2}\), пут \(8\,\mathrm{m}\) уназад (брзина је негативна)
4. Пређени пут: \(s = 24\,\mathrm{m}\); померај: \(8\,\mathrm{m}\) од почетка.
5. \(v_{sr}\) \(= \dfrac{24\,\mathrm{m}}{6\,\mathrm{s}}\)
Решење\(s = 24\,\mathrm{m}\), \(\ v_{sr} = 4\,\mathrm{m/s}\)

Задатак. Тело креће из мировања убрзањем \(3\,\mathrm{m/s^2}\). Колики пут пређе за \(4\,\mathrm{s}\)?

\(v_1 = v_0 + a t\) \(= 0 + 3 \cdot 4\) \(= 12\,\mathrm{m/s}\).
\(s = v_0 t + \tfrac{a t^2}{2}\) \(= 0 + \tfrac{3 \cdot 16}{2}\) \(= 24\,\mathrm{m}\) (исто и као \(s = v_1 t - \tfrac{a t^2}{2}\) \(= 48 - 24\)).

Решење\(s = 24\,\mathrm{m}\)

Слични задаци (нису из свеске)

Аутомобил креће из мировања убрзањем \(2\,\mathrm{m/s^2}\). Колики пут пређе за \(5\,\mathrm{s}\) и колику брзину тада има?
Решење
1. \(v = a t\) \(= 2 \cdot 5\) \(= 10\,\mathrm{m/s}\)
2. \(s = \dfrac{a t^2}{2}\) \(= \dfrac{2 \cdot 5^2}{2}\) \(= 25\,\mathrm{m}\)
Решење\(s = 25\,\mathrm{m}\), \(\ v = 10\,\mathrm{m/s}\)
Мотор креће из мировања убрзањем \(4\,\mathrm{m/s^2}\). Колики пут пређе за \(3\,\mathrm{s}\) и колику брзину тада има?
Решење
1. \(v = a t\) \(= 4 \cdot 3\) \(= 12\,\mathrm{m/s}\)
2. \(s = \dfrac{a t^2}{2}\) \(= \dfrac{4 \cdot 3^2}{2}\) \(= 18\,\mathrm{m}\)
Решење\(s = 18\,\mathrm{m}\), \(\ v = 12\,\mathrm{m/s}\)
Воз креће из мировања убрзањем \(0{,}5\,\mathrm{m/s^2}\). Колики пут пређе за \(20\,\mathrm{s}\) и колику брзину тада има?
Решење
1. \(v = a t\) \(= 0{,}5 \cdot 20\) \(= 10\,\mathrm{m/s}\)
2. \(s = \dfrac{a t^2}{2}\) \(= \dfrac{0{,}5 \cdot 20^2}{2}\) \(= 100\,\mathrm{m}\)
Решење\(s = 100\,\mathrm{m}\), \(\ v = 10\,\mathrm{m/s}\)
Бициклиста креће из мировања убрзањем \(1{,}5\,\mathrm{m/s^2}\). Колики пут пређе за \(4\,\mathrm{s}\) и колику брзину тада има?
Решење
1. \(v = a t\) \(= 1{,}5 \cdot 4\) \(= 6\,\mathrm{m/s}\)
2. \(s = \dfrac{a t^2}{2}\) \(= \dfrac{1{,}5 \cdot 4^2}{2}\) \(= 12\,\mathrm{m}\)
Решење\(s = 12\,\mathrm{m}\), \(\ v = 6\,\mathrm{m/s}\)

Напомене уз запис из свеске

Запис. У последњем задатку у свесци стоји \(a = \tfrac{v_1 + v_0}{4\,\mathrm{s}}\); треба \(v_1 - v_0\) (овде је \(v_0 = 0\), па резултат не зависи од тога).
Провера. Пример \(ABCD\), куглица, задатак 3 и домаћи 1 проверени су рачуном; резултати из свеске (\(10\,\mathrm{m/s}\); \(6{,}5\) и \(18{,}5\,\mathrm{m/s}\); \(74{,}75\,\mathrm{m}\) и \(7{,}48\,\mathrm{m/s}\); \(90\,\mathrm{m}\) и \(9\,\mathrm{m/s}\)) су тачни.

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Кинематика} \\[2pt]
  {\small Пређени пут код РППК}
\end{center}

Пређени пут је површина испод графика $v(t)$. Код равномерног кретања то је правоугаоник: $s = v \cdot t$.

Код РППК површина испод дужи од $v_0$ до $v$ дели се на правоугаоник и троугао:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v$};
  \draw[dashed] (209.6,156) -- (209.6,0);
  \draw[dashed] (209.6,156) -- (0,156);
  \draw[dashed] (209.6,52) -- (209.6,0);
  \draw[dashed] (209.6,52) -- (0,52);
  \draw[thick, red!70!black] (0,52) -- (209.6,156);
  \node[left] at ($(0,52)!0!(0,52)$) {$v_0$};
  \node[left] at ($(0,156)!0!(0,156)$) {$v$};
  \node[right, teal!70!black] at ($(104.8,26)!0!(104.8,26)$) {$s_1$};
  \node[right, teal!70!black] at ($(136.24,85.8)!0!(136.24,85.8)$) {$s_2$};
  \node[right] at ($(209.6,104)!0!(209.6,104)$) {$v - v_0$};
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}\small $s_1 = v_0 \cdot t$ (правоугаоник висине $v_0$), $\ s_2 = \tfrac{(v - v_0) \cdot t}{2}$ (троугао).\end{center}

Пошто је $v - v_0 = a \cdot t$, површина троугла је $s_2 = \tfrac{a t \cdot t}{2} = \tfrac{a t^2}{2}$, па је:

\[
  s = v_0 \cdot t + \frac{a t^2}{2}
\]

Са знаком: $a > 0$ за убрзано, $a < 0$ за успорено (или $s = v_0 t - \tfrac{|a| t^2}{2}$). Пут може да се рачуна и преко средње брзине: $s = v_{sr} \cdot t = \tfrac{v_0 + v}{2} \cdot t$.

\subsection*{Пример}
График брзине: $A(0, 0)$, $B(5\,\mathrm{s}, 20\,\mathrm{m/s})$, $C(15, 5)$, $D(20, 5)$. Колика је средња брзина?

\begin{enumerate}
  \item $AB$: $a_1 = \tfrac{20 - 0}{5} = 4\,\mathrm{m/s^2}$; $\ s_1 = 0 + \tfrac{4 \cdot 5^2}{2} = 50\,\mathrm{m}$.
  \item $BC$: $a_2 = \tfrac{5 - 20}{10} = -1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$; $\ s_2 = 20 \cdot 10 - \tfrac{1{,}5 \cdot 10^2}{2} = 200 - 75 = 125\,\mathrm{m}$.
  \item $CD$: $s_3 = 5\,\mathrm{m/s} \cdot 5\,\mathrm{s} = 25\,\mathrm{m}$.
  \item $v_{sr} = \tfrac{50 + 125 + 25}{20}\,\mathrm{m/s} = \tfrac{200\,\mathrm{m}}{20\,\mathrm{s}}$.
  \item Други начин: $v_{sr,AB} = \tfrac{0 + 20}{2} = 10\,\mathrm{m/s}$, $s_1 = 10 \cdot 5 = 50\,\mathrm{m}$; $\ v_{sr,BC} = \tfrac{20 + 5}{2} = 12{,}5\,\mathrm{m/s}$, $s_2 = 12{,}5 \cdot 10 = 125\,\mathrm{m}$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $v_{sr} = 10\,\mathrm{m/s}$


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (65.5,165.45);
  \coordinate (C) at (196.5,41.36);
  \coordinate (D) at (262,41.36);
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (65.5,-3) -- (65.5,3);
  \node[below] at ($(65.5,0)!0!(65.5,0)$) {$5$};
  \draw (196.5,-3) -- (196.5,3);
  \node[below] at ($(196.5,0)!0!(196.5,0)$) {$15$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$20$};
  \draw (-3,41.36) -- (3,41.36);
  \node[left] at ($(0,41.36)!0!(0,41.36)$) {$5$};
  \draw (-3,165.45) -- (3,165.45);
  \node[left] at ($(0,165.45)!0!(0,165.45)$) {$20$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (65.5,165.45) -- (65.5,0);
  \draw[dashed] (65.5,165.45) -- (0,165.45);
  \draw[dashed] (196.5,41.36) -- (196.5,0);
  \draw[dashed] (196.5,41.36) -- (0,41.36);
  \draw[dashed] (262,41.36) -- (262,0);
  \draw[dashed] (262,41.36) -- (0,41.36);
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (65.5,165.45);
  \draw[thick, red!70!black] (65.5,165.45) -- (196.5,41.36);
  \draw[thick, red!70!black] (196.5,41.36) -- (262,41.36);
  \foreach \pt in {A,B,C,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[above] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[above] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\paragraph{Слични задаци}
\begin{enumerate}
  \item График брзине: $A(0, 4)$, $B(4, 12)$, $C(8, 12)$, $D(10, 0)$ (време у $\mathrm s$, брзина у $\mathrm{m/s}$). Колика је средња брзина?
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,54.17);
  \coordinate (B) at (104.8,162.5);
  \coordinate (C) at (209.6,162.5);
  \coordinate (D) at (262,0);
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (104.8,-3) -- (104.8,3);
  \node[below] at ($(104.8,0)!0!(104.8,0)$) {$4$};
  \draw (209.6,-3) -- (209.6,3);
  \node[below] at ($(209.6,0)!0!(209.6,0)$) {$8$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,54.17) -- (3,54.17);
  \node[left] at ($(0,54.17)!0!(0,54.17)$) {$4$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$12$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (104.8,162.5) -- (104.8,0);
  \draw[dashed] (104.8,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[dashed] (209.6,162.5) -- (209.6,0);
  \draw[dashed] (209.6,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (0,54.17) -- (104.8,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (104.8,162.5) -- (209.6,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (209.6,162.5) -- (262,0);
  \foreach \pt in {A,B,C,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[above] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[above] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item График брзине: $A(0, 0)$, $B(5, 20)$, $C(10, 10)$, $D(20, 10)$ (време у $\mathrm s$, брзина у $\mathrm{m/s}$). Колика је средња брзина?
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (65.5,162.5);
  \coordinate (C) at (131,81.25);
  \coordinate (D) at (262,81.25);
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (65.5,-3) -- (65.5,3);
  \node[below] at ($(65.5,0)!0!(65.5,0)$) {$5$};
  \draw (131,-3) -- (131,3);
  \node[below] at ($(131,0)!0!(131,0)$) {$10$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$20$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$20$};
  \draw (-3,81.25) -- (3,81.25);
  \node[left] at ($(0,81.25)!0!(0,81.25)$) {$10$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (65.5,162.5) -- (65.5,0);
  \draw[dashed] (65.5,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[dashed] (131,81.25) -- (131,0);
  \draw[dashed] (131,81.25) -- (0,81.25);
  \draw[dashed] (262,81.25) -- (262,0);
  \draw[dashed] (262,81.25) -- (0,81.25);
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (65.5,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (65.5,162.5) -- (131,81.25);
  \draw[thick, red!70!black] (131,81.25) -- (262,81.25);
  \foreach \pt in {A,B,C,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[above] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[above] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item График брзине: $A(0, 15)$, $B(5, 5)$, $C(9, 5)$, $D(10, 0)$ (време у $\mathrm s$, брзина у $\mathrm{m/s}$). Колика је средња брзина?
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,162.5);
  \coordinate (B) at (131,54.17);
  \coordinate (C) at (235.8,54.17);
  \coordinate (D) at (262,0);
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (131,-3) -- (131,3);
  \node[below] at ($(131,0)!0!(131,0)$) {$5$};
  \draw (235.8,-3) -- (235.8,3);
  \node[below] at ($(235.8,0)!0!(235.8,0)$) {$9$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$15$};
  \draw (-3,54.17) -- (3,54.17);
  \node[left] at ($(0,54.17)!0!(0,54.17)$) {$5$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (131,54.17) -- (131,0);
  \draw[dashed] (131,54.17) -- (0,54.17);
  \draw[dashed] (235.8,54.17) -- (235.8,0);
  \draw[dashed] (235.8,54.17) -- (0,54.17);
  \draw[thick, red!70!black] (0,162.5) -- (131,54.17);
  \draw[thick, red!70!black] (131,54.17) -- (235.8,54.17);
  \draw[thick, red!70!black] (235.8,54.17) -- (262,0);
  \foreach \pt in {A,B,C,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[above] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[above] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $AB$: $a_1 = 2\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_1 = 4 \cdot 4 + \dfrac{2 \cdot 4^2}{2} = 32\,\mathrm{m}$; $BC$: $a_2 = 0\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_2 = 12 \cdot 4 + \dfrac{0 \cdot 4^2}{2} = 48\,\mathrm{m}$; $CD$: $a_3 = -6\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_3 = 12 \cdot 2 + \dfrac{(-6) \cdot 2^2}{2} = 12\,\mathrm{m}$; $s = 92\,\mathrm{m}$, $\ v_{sr} = \dfrac{92\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{s}}$; \textbf{Решење:} $v_{sr} = 9{,}2\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{2.} $AB$: $a_1 = 4\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_1 = 0 \cdot 5 + \dfrac{4 \cdot 5^2}{2} = 50\,\mathrm{m}$; $BC$: $a_2 = -2\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_2 = 20 \cdot 5 + \dfrac{(-2) \cdot 5^2}{2} = 75\,\mathrm{m}$; $CD$: $a_3 = 0\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_3 = 10 \cdot 10 + \dfrac{0 \cdot 10^2}{2} = 100\,\mathrm{m}$; $s = 225\,\mathrm{m}$, $\ v_{sr} = \dfrac{225\,\mathrm{m}}{20\,\mathrm{s}}$; \textbf{Решење:} $v_{sr} = 11{,}25\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{3.} $AB$: $a_1 = -2\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_1 = 15 \cdot 5 + \dfrac{(-2) \cdot 5^2}{2} = 50\,\mathrm{m}$; $BC$: $a_2 = 0\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_2 = 5 \cdot 4 + \dfrac{0 \cdot 4^2}{2} = 20\,\mathrm{m}$; $CD$: $a_3 = -5\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_3 = 5 \cdot 1 + \dfrac{(-5) \cdot 1^2}{2} = 2{,}5\,\mathrm{m}$; $s = 72{,}5\,\mathrm{m}$, $\ v_{sr} = \dfrac{72{,}5\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{s}}$; \textbf{Решење:} $v_{sr} = 7{,}25\,\mathrm{m/s}$


\subsection*{Куглица}
Куглица се спушта низ низбрдицу дужине $100\,\mathrm{m}$ убрзањем $1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ за $8\,\mathrm{s}$. Колика је брзина на почетку и на крају низбрдице?

\begin{enumerate}
  \item $s = v_0 t + \tfrac{a t^2}{2}$: $\ 100 = v_0 \cdot 8 + \tfrac{1{,}5 \cdot 64}{2} = 8 v_0 + 48$.
  \item $v_0 = \tfrac{52\,\mathrm{m}}{8\,\mathrm{s}} = 6{,}5\,\mathrm{m/s}$.
  \item $v = v_0 + a t = 6{,}5 + 1{,}5 \cdot 8 = 18{,}5\,\mathrm{m/s}$.
  \item Провера преко средње брзине: $v_{sr} = \tfrac{100}{8} = 12{,}5\,\mathrm{m/s} = \tfrac{6{,}5 + 18{,}5}{2}$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $v_0 = 6{,}5\,\mathrm{m/s}$, $\ v = 18{,}5\,\mathrm{m/s}$


\paragraph{Слични задаци}
\begin{enumerate}
  \item Скијаш се креће убрзањем $2\,\mathrm{m/s^2}$ и за $5\,\mathrm{s}$ пређе $35\,\mathrm{m}$. Колика му је брзина на почетку, а колика на крају?
  \item Бициклиста се креће убрзањем $0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ и за $10\,\mathrm{s}$ пређе $65\,\mathrm{m}$. Колика му је брзина на почетку, а колика на крају?
  \item Аутомобил кочи успорењем $2\,\mathrm{m/s^2}$ и за $6\,\mathrm{s}$ пређе $84\,\mathrm{m}$. Колика му је брзина на почетку, а колика на крају?
  \item Куглица се креће убрзањем $1{,}2\,\mathrm{m/s^2}$ и за $5\,\mathrm{s}$ пређе $30\,\mathrm{m}$. Колика му је брзина на почетку, а колика на крају?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$: $\ 35 = v_0 \cdot 5 + \dfrac{2 \cdot 5^2}{2} = 5 v_0 + 25$; $v_0 = \dfrac{10\,\mathrm{m}}{5\,\mathrm{s}} = 2\,\mathrm{m/s}$; $v = v_0 + a t = 2 + 2 \cdot 5 = 12\,\mathrm{m/s}$; Провера: $v_{sr} = \dfrac{s}{t} = 7\,\mathrm{m/s} = \dfrac{2 + 12}{2}$; \textbf{Решење:} $v_0 = 2\,\mathrm{m/s}$, $\ v = 12\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{2.} $s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$: $\ 65 = v_0 \cdot 10 + \dfrac{0{,}5 \cdot 10^2}{2} = 10 v_0 + 25$; $v_0 = \dfrac{40\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{s}} = 4\,\mathrm{m/s}$; $v = v_0 + a t = 4 + 0{,}5 \cdot 10 = 9\,\mathrm{m/s}$; Провера: $v_{sr} = \dfrac{s}{t} = 6{,}5\,\mathrm{m/s} = \dfrac{4 + 9}{2}$; \textbf{Решење:} $v_0 = 4\,\mathrm{m/s}$, $\ v = 9\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{3.} $s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$: $\ 84 = v_0 \cdot 6 + \dfrac{(-2) \cdot 6^2}{2} = 6 v_0 - 36$; $v_0 = \dfrac{120\,\mathrm{m}}{6\,\mathrm{s}} = 20\,\mathrm{m/s}$; $v = v_0 + a t = 20 + (-2) \cdot 6 = 8\,\mathrm{m/s}$; Провера: $v_{sr} = \dfrac{s}{t} = 14\,\mathrm{m/s} = \dfrac{20 + 8}{2}$; \textbf{Решење:} $v_0 = 20\,\mathrm{m/s}$, $\ v = 8\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{4.} $s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$: $\ 30 = v_0 \cdot 5 + \dfrac{1{,}2 \cdot 5^2}{2} = 5 v_0 + 15$; $v_0 = \dfrac{15\,\mathrm{m}}{5\,\mathrm{s}} = 3\,\mathrm{m/s}$; $v = v_0 + a t = 3 + 1{,}2 \cdot 5 = 9\,\mathrm{m/s}$; Провера: $v_{sr} = \dfrac{s}{t} = 6\,\mathrm{m/s} = \dfrac{3 + 9}{2}$; \textbf{Решење:} $v_0 = 3\,\mathrm{m/s}$, $\ v = 9\,\mathrm{m/s}$


\subsection*{Задатак 3}
Тело креће из мировања. График убрзања: $2{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ од $0$ до $5\,\mathrm{s}$, $-2\,\mathrm{m/s^2}$ од $5$ до $8\,\mathrm{s}$, $1\,\mathrm{m/s^2}$ од $8$ до $10\,\mathrm{s}$. а) Колика је средња брзина? б) Нацртај график брзине.

\begin{enumerate}
  \item $v_1 = 0 + 2{,}5 \cdot 5 = 12{,}5\,\mathrm{m/s}$; $\ s_1 = \tfrac{2{,}5 \cdot 25}{2} = 31{,}25\,\mathrm{m}$.
  \item $v_2 = 12{,}5 - 2 \cdot 3 = 6{,}5\,\mathrm{m/s}$; $\ s_2 = 12{,}5 \cdot 3 - \tfrac{2 \cdot 9}{2} = 28{,}5\,\mathrm{m}$.
  \item $v_3 = 6{,}5 + 1 \cdot 2 = 8{,}5\,\mathrm{m/s}$; $\ s_3 = 6{,}5 \cdot 2 + \tfrac{1 \cdot 4}{2} = 15\,\mathrm{m}$.
  \item $s = 74{,}75\,\mathrm{m}$, $\ t = 10\,\mathrm{s}$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $v_{sr} = 7{,}475\,\mathrm{m/s} \approx 7{,}48\,\mathrm{m/s}$


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (131,162.5);
  \coordinate (B) at (209.6,84.5);
  \coordinate (C) at (262,110.5);
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (131,-3) -- (131,3);
  \node[below] at ($(131,0)!0!(131,0)$) {$5$};
  \draw (209.6,-3) -- (209.6,3);
  \node[below] at ($(209.6,0)!0!(209.6,0)$) {$8$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,84.5) -- (3,84.5);
  \node[left] at ($(0,84.5)!0!(0,84.5)$) {$6{,}5$};
  \draw (-3,110.5) -- (3,110.5);
  \node[left] at ($(0,110.5)!0!(0,110.5)$) {$8{,}5$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$12{,}5$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (131,162.5) -- (131,0);
  \draw[dashed] (131,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[dashed] (209.6,84.5) -- (209.6,0);
  \draw[dashed] (209.6,84.5) -- (0,84.5);
  \draw[dashed] (262,110.5) -- (262,0);
  \draw[dashed] (262,110.5) -- (0,110.5);
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (131,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (131,162.5) -- (209.6,84.5);
  \draw[thick, red!70!black] (209.6,84.5) -- (262,110.5);
  \foreach \pt in {A,B,C} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below] at (B) {$B$};
  \node[right] at (C) {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}\small Решење под б).\end{center}

\paragraph{Слични задаци}
\begin{enumerate}
  \item Тело креће из мировања. Убрзање: $2\,\mathrm{m/s^2}$ од $0$ до $4\,\mathrm{s}$, $0\,\mathrm{m/s^2}$ од $4$ до $6\,\mathrm{s}$, $-3\,\mathrm{m/s^2}$ од $6$ до $8\,\mathrm{s}$. а) Колика је средња брзина? б) Нацртај график брзине.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-109.13) -- (0,88.87);
  \draw (131,-3) -- (131,3);
  \node[below] at ($(131,0)!0!(131,0)$) {$4$};
  \draw (196.5,-3) -- (196.5,3);
  \node[below] at ($(196.5,0)!0!(196.5,0)$) {$6$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$8$};
  \draw (-3,48.53) -- (3,48.53);
  \node[left] at ($(0,48.53)!0!(0,48.53)$) {$2$};
  \draw (-3,-72.8) -- (3,-72.8);
  \node[left] at ($(0,-72.8)!0!(0,-72.8)$) {$-3$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,88.87)!0!(0,88.87)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,48.53) -- (131,48.53);
  \draw[thick, red!70!black] (131,0) -- (196.5,0);
  \draw[thick, red!70!black] (196.5,-72.8) -- (262,-72.8);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item Тело креће из мировања. Убрзање: $3\,\mathrm{m/s^2}$ од $0$ до $2\,\mathrm{s}$, $-1\,\mathrm{m/s^2}$ од $2$ до $6\,\mathrm{s}$, $0\,\mathrm{m/s^2}$ од $6$ до $10\,\mathrm{s}$. а) Колика је средња брзина? б) Нацртај график брзине.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-66.67) -- (0,131.33);
  \draw (52.4,-3) -- (52.4,3);
  \node[below] at ($(52.4,0)!0!(52.4,0)$) {$2$};
  \draw (157.2,-3) -- (157.2,3);
  \node[below] at ($(157.2,0)!0!(157.2,0)$) {$6$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,91) -- (3,91);
  \node[left] at ($(0,91)!0!(0,91)$) {$3$};
  \draw (-3,-30.33) -- (3,-30.33);
  \node[left] at ($(0,-30.33)!0!(0,-30.33)$) {$-1$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,131.33)!0!(0,131.33)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,91) -- (52.4,91);
  \draw[thick, red!70!black] (52.4,-30.33) -- (157.2,-30.33);
  \draw[thick, red!70!black] (157.2,0) -- (262,0);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item Почетна брзина тела је $4\,\mathrm{m/s}$. Убрзање: $1\,\mathrm{m/s^2}$ од $0$ до $4\,\mathrm{s}$, $2\,\mathrm{m/s^2}$ од $4$ до $6\,\mathrm{s}$, $-3\,\mathrm{m/s^2}$ од $6$ до $10\,\mathrm{s}$. а) Колика је средња брзина? б) Нацртај график брзине.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-109.13) -- (0,88.87);
  \draw (104.8,-3) -- (104.8,3);
  \node[below] at ($(104.8,0)!0!(104.8,0)$) {$4$};
  \draw (157.2,-3) -- (157.2,3);
  \node[below] at ($(157.2,0)!0!(157.2,0)$) {$6$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,24.27) -- (3,24.27);
  \node[left] at ($(0,24.27)!0!(0,24.27)$) {$1$};
  \draw (-3,48.53) -- (3,48.53);
  \node[left] at ($(0,48.53)!0!(0,48.53)$) {$2$};
  \draw (-3,-72.8) -- (3,-72.8);
  \node[left] at ($(0,-72.8)!0!(0,-72.8)$) {$-3$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,88.87)!0!(0,88.87)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,24.27) -- (104.8,24.27);
  \draw[thick, red!70!black] (104.8,48.53) -- (157.2,48.53);
  \draw[thick, red!70!black] (157.2,-72.8) -- (262,-72.8);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $v_1 = 0 + 2 \cdot 4 = 8\,\mathrm{m/s}$; $\ s_1 = 0 \cdot 4 + \dfrac{2 \cdot 4^2}{2} = 16\,\mathrm{m}$; $v_2 = 8 + 0 \cdot 2 = 8\,\mathrm{m/s}$; $\ s_2 = 8 \cdot 2 + \dfrac{0 \cdot 2^2}{2} = 16\,\mathrm{m}$; $v_3 = 8 + (-3) \cdot 2 = 2\,\mathrm{m/s}$; $\ s_3 = 8 \cdot 2 + \dfrac{(-3) \cdot 2^2}{2} = 10\,\mathrm{m}$; $s = 42\,\mathrm{m}$, $\ t = 8\,\mathrm{s}$; \textbf{Решење:} $v_{sr} = 5{,}25\,\mathrm{m/s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (131,-3) -- (131,3);
  \node[below] at ($(131,0)!0!(131,0)$) {$4$};
  \draw (196.5,-3) -- (196.5,3);
  \node[below] at ($(196.5,0)!0!(196.5,0)$) {$6$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$8$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$8$};
  \draw (-3,40.62) -- (3,40.62);
  \node[left] at ($(0,40.62)!0!(0,40.62)$) {$2$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (131,162.5) -- (131,0);
  \draw[dashed] (131,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[dashed] (196.5,162.5) -- (196.5,0);
  \draw[dashed] (196.5,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[dashed] (262,40.62) -- (262,0);
  \draw[dashed] (262,40.62) -- (0,40.62);
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (131,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (131,162.5) -- (196.5,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (196.5,162.5) -- (262,40.62);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{2.} $v_1 = 0 + 3 \cdot 2 = 6\,\mathrm{m/s}$; $\ s_1 = 0 \cdot 2 + \dfrac{3 \cdot 2^2}{2} = 6\,\mathrm{m}$; $v_2 = 6 + (-1) \cdot 4 = 2\,\mathrm{m/s}$; $\ s_2 = 6 \cdot 4 + \dfrac{(-1) \cdot 4^2}{2} = 16\,\mathrm{m}$; $v_3 = 2 + 0 \cdot 4 = 2\,\mathrm{m/s}$; $\ s_3 = 2 \cdot 4 + \dfrac{0 \cdot 4^2}{2} = 8\,\mathrm{m}$; $s = 30\,\mathrm{m}$, $\ t = 10\,\mathrm{s}$; \textbf{Решење:} $v_{sr} = 3\,\mathrm{m/s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (52.4,-3) -- (52.4,3);
  \node[below] at ($(52.4,0)!0!(52.4,0)$) {$2$};
  \draw (157.2,-3) -- (157.2,3);
  \node[below] at ($(157.2,0)!0!(157.2,0)$) {$6$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$6$};
  \draw (-3,54.17) -- (3,54.17);
  \node[left] at ($(0,54.17)!0!(0,54.17)$) {$2$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (52.4,162.5) -- (52.4,0);
  \draw[dashed] (52.4,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[dashed] (157.2,54.17) -- (157.2,0);
  \draw[dashed] (157.2,54.17) -- (0,54.17);
  \draw[dashed] (262,54.17) -- (262,0);
  \draw[dashed] (262,54.17) -- (0,54.17);
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (52.4,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (52.4,162.5) -- (157.2,54.17);
  \draw[thick, red!70!black] (157.2,54.17) -- (262,54.17);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{3.} $v_1 = 4 + 1 \cdot 4 = 8\,\mathrm{m/s}$; $\ s_1 = 4 \cdot 4 + \dfrac{1 \cdot 4^2}{2} = 24\,\mathrm{m}$; $v_2 = 8 + 2 \cdot 2 = 12\,\mathrm{m/s}$; $\ s_2 = 8 \cdot 2 + \dfrac{2 \cdot 2^2}{2} = 20\,\mathrm{m}$; $v_3 = 12 + (-3) \cdot 4 = 0\,\mathrm{m/s}$; $\ s_3 = 12 \cdot 4 + \dfrac{(-3) \cdot 4^2}{2} = 24\,\mathrm{m}$; $s = 68\,\mathrm{m}$, $\ t = 10\,\mathrm{s}$; \textbf{Решење:} $v_{sr} = 6{,}8\,\mathrm{m/s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-6) -- (0,192);
  \draw (104.8,-3) -- (104.8,3);
  \node[below] at ($(104.8,0)!0!(104.8,0)$) {$4$};
  \draw (157.2,-3) -- (157.2,3);
  \node[below] at ($(157.2,0)!0!(157.2,0)$) {$6$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,54.17) -- (3,54.17);
  \node[left] at ($(0,54.17)!0!(0,54.17)$) {$4$};
  \draw (-3,108.33) -- (3,108.33);
  \node[left] at ($(0,108.33)!0!(0,108.33)$) {$8$};
  \draw (-3,162.5) -- (3,162.5);
  \node[left] at ($(0,162.5)!0!(0,162.5)$) {$12$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,192)!0!(0,192)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (104.8,108.33) -- (104.8,0);
  \draw[dashed] (104.8,108.33) -- (0,108.33);
  \draw[dashed] (157.2,162.5) -- (157.2,0);
  \draw[dashed] (157.2,162.5) -- (0,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (0,54.17) -- (104.8,108.33);
  \draw[thick, red!70!black] (104.8,108.33) -- (157.2,162.5);
  \draw[thick, red!70!black] (157.2,162.5) -- (262,0);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}


\subsection*{Домаћи 1}
График брзине: од $0$ до $20\,\mathrm{m/s}$ за $4\,\mathrm{s}$, затим пад брзине до $-10\,\mathrm{m/s}$ у $10\,\mathrm{s}$ (брзина је $0$ у $8\,\mathrm{s}$). Нацртај график убрзања и израчунај пређени пут и средњу брзину.

\begin{enumerate}
  \item Од $0$ до $4\,\mathrm{s}$: $a_1 = \tfrac{20}{4} = 5\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_1 = \tfrac{0 + 20}{2} \cdot 4 = 40\,\mathrm{m}$.
  \item Од $4$ до $8\,\mathrm{s}$: $a_2 = \tfrac{0 - 20}{4} = -5\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_2 = \tfrac{20 + 0}{2} \cdot 4 = 40\,\mathrm{m}$.
  \item Од $8$ до $10\,\mathrm{s}$: брзина је негативна — тело се враћа. $a_3 = \tfrac{-10 - 0}{2} = -5\,\mathrm{m/s^2}$, $\ s_3 = \tfrac{10}{2} \cdot 2 = 10\,\mathrm{m}$ уназад.
  \item Пређени пут $s = 40 + 40 + 10 = 90\,\mathrm{m}$; $\ v_{sr} = \tfrac{90\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{s}} = 9\,\mathrm{m/s}$.
  \item Тело је на крају $40 + 40 - 10 = 70\,\mathrm{m}$ од почетка (померај).
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $s = 90\,\mathrm{m}$, $\ v_{sr} = 9\,\mathrm{m/s}$


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-66.67) -- (0,131.33);
  \draw (104.8,-3) -- (104.8,3);
  \node[below] at ($(104.8,0)!0!(104.8,0)$) {$4$};
  \draw (209.6,-3) -- (209.6,3);
  \node[below] at ($(209.6,0)!0!(209.6,0)$) {$8$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,-55.15) -- (3,-55.15);
  \node[left] at ($(0,-55.15)!0!(0,-55.15)$) {$-10$};
  \draw (-3,55.15) -- (3,55.15);
  \node[left] at ($(0,55.15)!0!(0,55.15)$) {$10$};
  \draw (-3,110.3) -- (3,110.3);
  \node[left] at ($(0,110.3)!0!(0,110.3)$) {$20$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,131.33)!0!(0,131.33)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (104.8,110.3) -- (104.8,0);
  \draw[dashed] (104.8,110.3) -- (0,110.3);
  \draw[dashed] (262,-55.15) -- (262,0);
  \draw[dashed] (262,-55.15) -- (0,-55.15);
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (104.8,110.3);
  \draw[thick, red!70!black] (104.8,110.3) -- (262,-55.15);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-97) -- (0,101);
  \draw (104.8,-3) -- (104.8,3);
  \node[below] at ($(104.8,0)!0!(104.8,0)$) {$4$};
  \draw (209.6,-3) -- (209.6,3);
  \node[below] at ($(209.6,0)!0!(209.6,0)$) {$8$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,-75.83) -- (3,-75.83);
  \node[left] at ($(0,-75.83)!0!(0,-75.83)$) {$-5$};
  \draw (-3,75.83) -- (3,75.83);
  \node[left] at ($(0,75.83)!0!(0,75.83)$) {$5$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,101)!0!(0,101)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,75.83) -- (104.8,75.83);
  \draw[thick, red!70!black] (104.8,-75.83) -- (262,-75.83);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}\small График убрзања: $a = -5\,\mathrm{m/s^2}$ све од $4$ до $10\,\mathrm{s}$.\end{center}

\begin{quote}\small\textbf{Исправка.} У свесци је на графику убрзања део од $8$ до $10\,\mathrm{s}$ нацртан на $+5\,\mathrm{m/s^2}$. Брзина и ту опада (од $0$ до $-10\,\mathrm{m/s}$), па је $a_3 = -5\,\mathrm{m/s^2}$. Пређени пут $90\,\mathrm{m}$ и средња брзина $9\,\mathrm{m/s}$ у свесци су тачни.\end{quote}

\paragraph{Слични задаци}
\begin{enumerate}
  \item График брзине: $A(0, 0)$, $B(3, 12)$, $C(7, 0)$, $D(10, -6)$ (време у $\mathrm s$, брзина у $\mathrm{m/s}$). Нацртај график убрзања и израчунај пређени пут, померај и средњу брзину.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (78.6,97.85);
  \coordinate (C) at (183.4,0);
  \coordinate (D) at (262,-48.92);
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-72.54) -- (0,125.46);
  \draw (78.6,-3) -- (78.6,3);
  \node[below] at ($(78.6,0)!0!(78.6,0)$) {$3$};
  \draw (183.4,-3) -- (183.4,3);
  \node[below] at ($(183.4,0)!0!(183.4,0)$) {$7$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,97.85) -- (3,97.85);
  \node[left] at ($(0,97.85)!0!(0,97.85)$) {$12$};
  \draw (-3,-48.92) -- (3,-48.92);
  \node[left] at ($(0,-48.92)!0!(0,-48.92)$) {$-6$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,125.46)!0!(0,125.46)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (78.6,97.85) -- (78.6,0);
  \draw[dashed] (78.6,97.85) -- (0,97.85);
  \draw[dashed] (262,-48.92) -- (262,0);
  \draw[dashed] (262,-48.92) -- (0,-48.92);
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (78.6,97.85);
  \draw[thick, red!70!black] (78.6,97.85) -- (183.4,0);
  \draw[thick, red!70!black] (183.4,0) -- (262,-48.92);
  \foreach \pt in {A,B,C,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[above] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item График брзине: $A(0, 10)$, $B(5, 0)$, $C(8, -6)$ (време у $\mathrm s$, брзина у $\mathrm{m/s}$). Нацртај график убрзања и израчунај пређени пут, померај и средњу брзину.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,91.73);
  \coordinate (B) at (163.75,0);
  \coordinate (C) at (262,-55.04);
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-78.65) -- (0,119.35);
  \draw (163.75,-3) -- (163.75,3);
  \node[below] at ($(163.75,0)!0!(163.75,0)$) {$5$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$8$};
  \draw (-3,91.73) -- (3,91.73);
  \node[left] at ($(0,91.73)!0!(0,91.73)$) {$10$};
  \draw (-3,-55.04) -- (3,-55.04);
  \node[left] at ($(0,-55.04)!0!(0,-55.04)$) {$-6$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,119.35)!0!(0,119.35)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (262,-55.04) -- (262,0);
  \draw[dashed] (262,-55.04) -- (0,-55.04);
  \draw[thick, red!70!black] (0,91.73) -- (163.75,0);
  \draw[thick, red!70!black] (163.75,0) -- (262,-55.04);
  \foreach \pt in {A,B,C} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[above] at (B) {$B$};
  \node[below] at (C) {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item График брзине: $A(0, 0)$, $B(2, 8)$, $C(4, 0)$, $D(6, -8)$ (време у $\mathrm s$, брзина у $\mathrm{m/s}$). Нацртај график убрзања и израчунај пређени пут, померај и средњу брзину.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (87.33,73.39);
  \coordinate (C) at (174.67,0);
  \coordinate (D) at (262,-73.39);
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-97) -- (0,101);
  \draw (87.33,-3) -- (87.33,3);
  \node[below] at ($(87.33,0)!0!(87.33,0)$) {$2$};
  \draw (174.67,-3) -- (174.67,3);
  \node[below] at ($(174.67,0)!0!(174.67,0)$) {$4$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$6$};
  \draw (-3,73.39) -- (3,73.39);
  \node[left] at ($(0,73.39)!0!(0,73.39)$) {$8$};
  \draw (-3,-73.39) -- (3,-73.39);
  \node[left] at ($(0,-73.39)!0!(0,-73.39)$) {$-8$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,101)!0!(0,101)$) {$v [m/s]$};
  \draw[dashed] (87.33,73.39) -- (87.33,0);
  \draw[dashed] (87.33,73.39) -- (0,73.39);
  \draw[dashed] (262,-73.39) -- (262,0);
  \draw[dashed] (262,-73.39) -- (0,-73.39);
  \draw[thick, red!70!black] (0,0) -- (87.33,73.39);
  \draw[thick, red!70!black] (87.33,73.39) -- (174.67,0);
  \draw[thick, red!70!black] (174.67,0) -- (262,-73.39);
  \foreach \pt in {A,B,C,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[above] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $AB$: $a_1 = 4\,\mathrm{m/s^2}$, пут $18\,\mathrm{m}$ унапред; $BC$: $a_2 = -3\,\mathrm{m/s^2}$, пут $24\,\mathrm{m}$ унапред; $CD$: $a_3 = -2\,\mathrm{m/s^2}$, пут $9\,\mathrm{m}$ уназад (брзина је негативна); Пређени пут: $s = 51\,\mathrm{m}$; померај: $33\,\mathrm{m}$ од почетка.; $v_{sr} = \dfrac{51\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{s}}$; \textbf{Решење:} $s = 51\,\mathrm{m}$, $\ v_{sr} = 5{,}1\,\mathrm{m/s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-88.33) -- (0,109.67);
  \draw (78.6,-3) -- (78.6,3);
  \node[below] at ($(78.6,0)!0!(78.6,0)$) {$3$};
  \draw (183.4,-3) -- (183.4,3);
  \node[below] at ($(183.4,0)!0!(183.4,0)$) {$7$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,69.33) -- (3,69.33);
  \node[left] at ($(0,69.33)!0!(0,69.33)$) {$4$};
  \draw (-3,-52) -- (3,-52);
  \node[left] at ($(0,-52)!0!(0,-52)$) {$-3$};
  \draw (-3,-34.67) -- (3,-34.67);
  \node[left] at ($(0,-34.67)!0!(0,-34.67)$) {$-2$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,109.67)!0!(0,109.67)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,69.33) -- (78.6,69.33);
  \draw[thick, red!70!black] (78.6,-52) -- (183.4,-52);
  \draw[thick, red!70!black] (183.4,-34.67) -- (262,-34.67);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{2.} $AB$: $a_1 = -2\,\mathrm{m/s^2}$, пут $25\,\mathrm{m}$ унапред; $BC$: $a_2 = -2\,\mathrm{m/s^2}$, пут $9\,\mathrm{m}$ уназад (брзина је негативна); Пређени пут: $s = 34\,\mathrm{m}$; померај: $16\,\mathrm{m}$ од почетка.; $v_{sr} = \dfrac{34\,\mathrm{m}}{8\,\mathrm{s}}$; \textbf{Решење:} $s = 34\,\mathrm{m}$, $\ v_{sr} = 4{,}25\,\mathrm{m/s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-157.67) -- (0,40.33);
  \draw (163.75,-3) -- (163.75,3);
  \node[below] at ($(163.75,0)!0!(163.75,0)$) {$5$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$8$};
  \draw (-3,-121.33) -- (3,-121.33);
  \node[left] at ($(0,-121.33)!0!(0,-121.33)$) {$-2$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,40.33)!0!(0,40.33)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,-121.33) -- (163.75,-121.33);
  \draw[thick, red!70!black] (163.75,-121.33) -- (262,-121.33);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{3.} $AB$: $a_1 = 4\,\mathrm{m/s^2}$, пут $8\,\mathrm{m}$ унапред; $BC$: $a_2 = -4\,\mathrm{m/s^2}$, пут $8\,\mathrm{m}$ унапред; $CD$: $a_3 = -4\,\mathrm{m/s^2}$, пут $8\,\mathrm{m}$ уназад (брзина је негативна); Пређени пут: $s = 24\,\mathrm{m}$; померај: $8\,\mathrm{m}$ од почетка.; $v_{sr} = \dfrac{24\,\mathrm{m}}{6\,\mathrm{s}}$; \textbf{Решење:} $s = 24\,\mathrm{m}$, $\ v_{sr} = 4\,\mathrm{m/s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-97) -- (0,101);
  \draw (87.33,-3) -- (87.33,3);
  \node[below] at ($(87.33,0)!0!(87.33,0)$) {$2$};
  \draw (174.67,-3) -- (174.67,3);
  \node[below] at ($(174.67,0)!0!(174.67,0)$) {$4$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$6$};
  \draw (-3,60.67) -- (3,60.67);
  \node[left] at ($(0,60.67)!0!(0,60.67)$) {$4$};
  \draw (-3,-60.67) -- (3,-60.67);
  \node[left] at ($(0,-60.67)!0!(0,-60.67)$) {$-4$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,101)!0!(0,101)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,60.67) -- (87.33,60.67);
  \draw[thick, red!70!black] (87.33,-60.67) -- (174.67,-60.67);
  \draw[thick, red!70!black] (174.67,-60.67) -- (262,-60.67);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}


\subsection*{Задатак}
Тело креће из мировања убрзањем $3\,\mathrm{m/s^2}$. Колики пут пређе за $4\,\mathrm{s}$?

\begin{enumerate}
  \item $v_1 = v_0 + a t = 0 + 3 \cdot 4 = 12\,\mathrm{m/s}$.
  \item $s = v_0 t + \tfrac{a t^2}{2} = 0 + \tfrac{3 \cdot 16}{2} = 24\,\mathrm{m}$ (исто и као $s = v_1 t - \tfrac{a t^2}{2} = 48 - 24$).
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $s = 24\,\mathrm{m}$


\paragraph{Слични задаци}
\begin{enumerate}
  \item Аутомобил креће из мировања убрзањем $2\,\mathrm{m/s^2}$. Колики пут пређе за $5\,\mathrm{s}$ и колику брзину тада има?
  \item Мотор креће из мировања убрзањем $4\,\mathrm{m/s^2}$. Колики пут пређе за $3\,\mathrm{s}$ и колику брзину тада има?
  \item Воз креће из мировања убрзањем $0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$. Колики пут пређе за $20\,\mathrm{s}$ и колику брзину тада има?
  \item Бициклиста креће из мировања убрзањем $1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$. Колики пут пређе за $4\,\mathrm{s}$ и колику брзину тада има?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $v = a t = 2 \cdot 5 = 10\,\mathrm{m/s}$; $s = \dfrac{a t^2}{2} = \dfrac{2 \cdot 5^2}{2} = 25\,\mathrm{m}$; \textbf{Решење:} $s = 25\,\mathrm{m}$, $\ v = 10\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{2.} $v = a t = 4 \cdot 3 = 12\,\mathrm{m/s}$; $s = \dfrac{a t^2}{2} = \dfrac{4 \cdot 3^2}{2} = 18\,\mathrm{m}$; \textbf{Решење:} $s = 18\,\mathrm{m}$, $\ v = 12\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{3.} $v = a t = 0{,}5 \cdot 20 = 10\,\mathrm{m/s}$; $s = \dfrac{a t^2}{2} = \dfrac{0{,}5 \cdot 20^2}{2} = 100\,\mathrm{m}$; \textbf{Решење:} $s = 100\,\mathrm{m}$, $\ v = 10\,\mathrm{m/s}$

\noindent\textbf{4.} $v = a t = 1{,}5 \cdot 4 = 6\,\mathrm{m/s}$; $s = \dfrac{a t^2}{2} = \dfrac{1{,}5 \cdot 4^2}{2} = 12\,\mathrm{m}$; \textbf{Решење:} $s = 12\,\mathrm{m}$, $\ v = 6\,\mathrm{m/s}$


\end{document}