Убрзање

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Кинематика} \\[2pt]
  {\small Убрзање}
\end{center}

\section*{Променљиво кретање}

Брзине тела мерене сваке секунде:

\begin{center}
\begin{tabular}{@{}lll@{}}
\toprule
 & Брзине & Кретање \\
\midrule
1) & $2 \to 3 \to 7 \to 9\ \mathrm{m/s}$ & променљиво (брзина се мења неједнако) \\
2) & $2 \to 4 \to 6 \to 8\ \mathrm{m/s}$ & равномерно убрзано \\
3) & $9 \to 6 \to 3 \to 0\ \mathrm{m/s}$ & равномерно успорено \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\noindent\textbf{Равномерно променљиво праволинијско кретање (РППК).} брзина тела се за исто време мења за исту вредност.


\section*{Убрзање}

\noindent\textbf{Убрзање.} $\vec a$ (акцелерација) је изведена векторска величина: промена брзине у јединици времена. Показује за колико се брзина промени (повећа или смањи) сваке секунде.


\[
  a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v_2 - v_1}{t}, \qquad [a] = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
\]

\subsection*{Пример}
У тренутку $t_1 = 3\,\mathrm{s}$ тело има брзину $v_1 = 3\,\mathrm{m/s}$, а у тренутку $t_2 = 8\,\mathrm{s}$ брзину $v_2 = 13\,\mathrm{m/s}$. Колико је убрзање?

\begin{enumerate}
  \item Временски интервал: $t = t_2 - t_1 = 8\,\mathrm{s} - 3\,\mathrm{s} = 5\,\mathrm{s}$.
  \item Промена брзине: $\Delta v = v_2 - v_1 = 10\,\mathrm{m/s}$.
  \item $a = \dfrac{10\,\mathrm{m/s}}{5\,\mathrm{s}} = 2\,\mathrm{m/s^2}$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $a = 2\,\mathrm{m/s^2}$


\paragraph{Слични задаци}
\begin{enumerate}
  \item У тренутку $t_1 = 2\,\mathrm{s}$ тело има брзину $v_1 = 4\,\mathrm{m/s}$, а у тренутку $t_2 = 6\,\mathrm{s}$ брзину $v_2 = 16\,\mathrm{m/s}$. Колико је убрзање? Да ли тело убрзава или успорава?
  \item У тренутку $t_1 = 0\,\mathrm{s}$ тело има брзину $v_1 = 0\,\mathrm{m/s}$, а у тренутку $t_2 = 5\,\mathrm{s}$ брзину $v_2 = 15\,\mathrm{m/s}$. Колико је убрзање? Да ли тело убрзава или успорава?
  \item У тренутку $t_1 = 1\,\mathrm{s}$ тело има брзину $v_1 = 20\,\mathrm{m/s}$, а у тренутку $t_2 = 5\,\mathrm{s}$ брзину $v_2 = 8\,\mathrm{m/s}$. Колико је убрзање? Да ли тело убрзава или успорава?
  \item У тренутку $t_1 = 3\,\mathrm{s}$ тело има брзину $v_1 = 1{,}5\,\mathrm{m/s}$, а у тренутку $t_2 = 7\,\mathrm{s}$ брзину $v_2 = 9{,}5\,\mathrm{m/s}$. Колико је убрзање? Да ли тело убрзава или успорава?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $t = t_2 - t_1 = 4\,\mathrm{s}$, $\ \Delta v = v_2 - v_1 = 12\,\mathrm{m/s}$; $a = \dfrac{\Delta v}{t} = \dfrac{12\,\mathrm{m/s}}{4\,\mathrm{s}}$; \textbf{Решење:} $a = 3\,\mathrm{m/s^2}$ — убрзава

\noindent\textbf{2.} $t = t_2 - t_1 = 5\,\mathrm{s}$, $\ \Delta v = v_2 - v_1 = 15\,\mathrm{m/s}$; $a = \dfrac{\Delta v}{t} = \dfrac{15\,\mathrm{m/s}}{5\,\mathrm{s}}$; \textbf{Решење:} $a = 3\,\mathrm{m/s^2}$ — убрзава

\noindent\textbf{3.} $t = t_2 - t_1 = 4\,\mathrm{s}$, $\ \Delta v = v_2 - v_1 = -12\,\mathrm{m/s}$; $a = \dfrac{\Delta v}{t} = \dfrac{-12\,\mathrm{m/s}}{4\,\mathrm{s}}$; \textbf{Решење:} $a = -3\,\mathrm{m/s^2}$ — успорава

\noindent\textbf{4.} $t = t_2 - t_1 = 4\,\mathrm{s}$, $\ \Delta v = v_2 - v_1 = 8\,\mathrm{m/s}$; $a = \dfrac{\Delta v}{t} = \dfrac{8\,\mathrm{m/s}}{4\,\mathrm{s}}$; \textbf{Решење:} $a = 2\,\mathrm{m/s^2}$ — убрзава


\section*{График убрзања од времена}

Брзине $4, 8, 12, 16\ \mathrm{m/s}$ после $0, 1, 2, 3\ \mathrm{s}$: $\ a = \tfrac{8-4}{1} = 4\,\mathrm{m/s^2}$, а и $a = \tfrac{12-4}{2} = 4\,\mathrm{m/s^2}$. Код РППК убрзање се током времена не мења — константно је, па је график $a(t)$ хоризонтална дуж.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-74.25) -- (0,123.75);
  \draw (65.5,-3) -- (65.5,3);
  \node[below] at ($(65.5,0)!0!(65.5,0)$) {$1$};
  \draw (131,-3) -- (131,3);
  \node[below] at ($(131,0)!0!(131,0)$) {$2$};
  \draw (196.5,-3) -- (196.5,3);
  \node[below] at ($(196.5,0)!0!(196.5,0)$) {$3$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$4$};
  \draw (-3,-45.5) -- (3,-45.5);
  \node[left] at ($(0,-45.5)!0!(0,-45.5)$) {$-2$};
  \draw (-3,45.5) -- (3,45.5);
  \node[left] at ($(0,45.5)!0!(0,45.5)$) {$2$};
  \draw (-3,91) -- (3,91);
  \node[left] at ($(0,91)!0!(0,91)$) {$4$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,123.75)!0!(0,123.75)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,91) -- (196.5,91);
  \draw[thick, red!70!black] (0,-45.5) -- (262,-45.5);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}\small $a > 0$ — равномерно убрзано ($a = 4\,\mathrm{m/s^2}$); $\ a < 0$ — равномерно успорено ($a = -2\,\mathrm{m/s^2}$).\end{center}

\subsection*{Задатак 1}
Првих пет секунди тело се креће убрзањем $2{,}5\,\mathrm{m/s^2}$, наредне $3\,\mathrm{s}$ иде равномерно, а следеће $2\,\mathrm{s}$ успорава са $1\,\mathrm{m/s^2}$. Нацртај график убрзања од времена.

\begin{enumerate}
  \item $a_1 = 2{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ за $t_1 = 5\,\mathrm{s}$ (од $0$ до $5\,\mathrm{s}$).
  \item $a_2 = 0$ за $t_2 = 3\,\mathrm{s}$ (од $5$ до $8\,\mathrm{s}$).
  \item $a_3 = -1\,\mathrm{m/s^2}$ за $t_3 = 2\,\mathrm{s}$ (од $8$ до $10\,\mathrm{s}$).
\end{enumerate}


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-72.18) -- (0,125.82);
  \draw (131,-3) -- (131,3);
  \node[below] at ($(131,0)!0!(131,0)$) {$5$};
  \draw (209.6,-3) -- (209.6,3);
  \node[below] at ($(209.6,0)!0!(209.6,0)$) {$8$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,-33.09) -- (3,-33.09);
  \node[left] at ($(0,-33.09)!0!(0,-33.09)$) {$-1$};
  \draw (-3,33.09) -- (3,33.09);
  \node[left] at ($(0,33.09)!0!(0,33.09)$) {$1$};
  \draw (-3,82.73) -- (3,82.73);
  \node[left] at ($(0,82.73)!0!(0,82.73)$) {$2{,}5$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,125.82)!0!(0,125.82)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,82.73) -- (131,82.73);
  \draw[thick, red!70!black] (131,0) -- (209.6,0);
  \draw[thick, red!70!black] (209.6,-33.09) -- (262,-33.09);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\paragraph{Слични задаци}
\begin{enumerate}
  \item Првих $4\,\mathrm{s}$ се креће убрзањем $2\,\mathrm{m/s^2}$, наредних $3\,\mathrm{s}$ иде равномерно, последњих $2\,\mathrm{s}$ успорава са $1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$. Нацртај график убрзања од времена.
  \item Првих $2\,\mathrm{s}$ се креће убрзањем $3\,\mathrm{m/s^2}$, наредних $5\,\mathrm{s}$ иде равномерно, последњих $3\,\mathrm{s}$ успорава са $2\,\mathrm{m/s^2}$. Нацртај график убрзања од времена.
  \item Првих $4\,\mathrm{s}$ успорава са $1\,\mathrm{m/s^2}$, наредних $2\,\mathrm{s}$ иде равномерно, последњих $4\,\mathrm{s}$ се креће убрзањем $0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$. Нацртај график убрзања од времена.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $a_1 = 2\,\mathrm{m/s^2}$ од $0\,\mathrm{s}$ до $4\,\mathrm{s}$; $a_2 = 0\,\mathrm{m/s^2}$ од $4\,\mathrm{s}$ до $7\,\mathrm{s}$; $a_3 = -1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ од $7\,\mathrm{s}$ до $9\,\mathrm{s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-88.33) -- (0,109.67);
  \draw (116.44,-3) -- (116.44,3);
  \node[below] at ($(116.44,0)!0!(116.44,0)$) {$4$};
  \draw (203.78,-3) -- (203.78,3);
  \node[below] at ($(203.78,0)!0!(203.78,0)$) {$7$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$9$};
  \draw (-3,69.33) -- (3,69.33);
  \node[left] at ($(0,69.33)!0!(0,69.33)$) {$2$};
  \draw (-3,-52) -- (3,-52);
  \node[left] at ($(0,-52)!0!(0,-52)$) {$-1{,}5$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,109.67)!0!(0,109.67)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,69.33) -- (116.44,69.33);
  \draw[thick, red!70!black] (116.44,0) -- (203.78,0);
  \draw[thick, red!70!black] (203.78,-52) -- (262,-52);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{2.} $a_1 = 3\,\mathrm{m/s^2}$ од $0\,\mathrm{s}$ до $2\,\mathrm{s}$; $a_2 = 0\,\mathrm{m/s^2}$ од $2\,\mathrm{s}$ до $7\,\mathrm{s}$; $a_3 = -2\,\mathrm{m/s^2}$ од $7\,\mathrm{s}$ до $10\,\mathrm{s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-84.87) -- (0,113.13);
  \draw (52.4,-3) -- (52.4,3);
  \node[below] at ($(52.4,0)!0!(52.4,0)$) {$2$};
  \draw (183.4,-3) -- (183.4,3);
  \node[below] at ($(183.4,0)!0!(183.4,0)$) {$7$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,72.8) -- (3,72.8);
  \node[left] at ($(0,72.8)!0!(0,72.8)$) {$3$};
  \draw (-3,-48.53) -- (3,-48.53);
  \node[left] at ($(0,-48.53)!0!(0,-48.53)$) {$-2$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,113.13)!0!(0,113.13)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,72.8) -- (52.4,72.8);
  \draw[thick, red!70!black] (52.4,0) -- (183.4,0);
  \draw[thick, red!70!black] (183.4,-48.53) -- (262,-48.53);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{3.} $a_1 = -1\,\mathrm{m/s^2}$ од $0\,\mathrm{s}$ до $4\,\mathrm{s}$; $a_2 = 0\,\mathrm{m/s^2}$ од $4\,\mathrm{s}$ до $6\,\mathrm{s}$; $a_3 = 0{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ од $6\,\mathrm{s}$ до $10\,\mathrm{s}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.028, every node/.style={font=\small}]
  \draw (0,0) -- (272,0);
  \draw (0,-117.22) -- (0,80.78);
  \draw (104.8,-3) -- (104.8,3);
  \node[below] at ($(104.8,0)!0!(104.8,0)$) {$4$};
  \draw (157.2,-3) -- (157.2,3);
  \node[below] at ($(157.2,0)!0!(157.2,0)$) {$6$};
  \draw (262,-3) -- (262,3);
  \node[below] at ($(262,0)!0!(262,0)$) {$10$};
  \draw (-3,-80.89) -- (3,-80.89);
  \node[left] at ($(0,-80.89)!0!(0,-80.89)$) {$-1$};
  \draw (-3,40.44) -- (3,40.44);
  \node[left] at ($(0,40.44)!0!(0,40.44)$) {$0{,}5$};
  \node[right] at ($(272,0)!0!(272,0)$) {$t [s]$};
  \node[right] at ($(0,80.78)!0!(0,80.78)$) {$a [m/s^2]$};
  \draw[thick, red!70!black] (0,-80.89) -- (104.8,-80.89);
  \draw[thick, red!70!black] (104.8,0) -- (157.2,0);
  \draw[thick, red!70!black] (157.2,40.44) -- (262,40.44);
  \foreach \pt in {} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{document}