Реални бројеви · вежба

Пробни контролни 4

Пробни контролни по узору на контролни из реалних бројева, само теже: шест задатака по \(20\) поена, укупно \(120\). Прво уради цео тест на папиру, па тек онда отвори решења.

Задатак 1 (20 поена) Одговори са ДА ако је реченица тачна, а са НЕ ако није. За 4 тачна одговора 10 поена, за 5 тачних 20, за 3 или мање 0.

  1. \(\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x^2} = x^2\) за сваки реалан број \(x\).

    Решење
    1. \(\sqrt{x^2} = |x|\), а \(|x| \cdot |x| = x^2\).

    РешењеДА

  2. Ако је \(x < 0\), онда је \(-\sqrt{x^2} = x\).

    Решење
    1. За \(x < 0\) је \(\sqrt{x^2} = |x| = -x\), па је \(-\sqrt{x^2} = x\).

    РешењеДА

  3. \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 3 + 4\).

    Решење
    1. \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ne 7\).

    РешењеНЕ

  4. Број \(0{,}1010010001\ldots\) (између јединица је све више нула) је рационалан.

    Решење
    1. Запис је бесконачан и непериодичан, а рационални бројеви имају коначан или периодичан децимални запис.

    РешењеНЕ

  5. Ако је \(\sqrt a > \sqrt b\) (за \(a, b \ge 0\)), онда је \(a > b\).

    Решење
    1. Квадрирањем позитивних (ненегативних) бројева неједнакост се чува: \((\sqrt a)^2 > (\sqrt b)^2\).

    РешењеДА

Задатак 2 (по 10 поена)

  1. Реши једначину \(0{,}25 \cdot (2x - 1)^2 - 0{,}5\) \(= 0{,}31\).

    Решење
    1. \(0{,}25 \cdot (2x - 1)^2 = 0{,}81\)
    2. \((2x - 1)^2 = 3{,}24\)
    3. \(2x - 1 = 1{,}8 \lor 2x - 1 = -1{,}8\)
    4. \(2x = 2{,}8 \lor 2x = -0{,}8\)

    Решење\(x = 1{,}4 \lor x = -0{,}4\)

  2. Реши једначину \(\sqrt{x^2} - x = 5\).

    Решење
    1. \(\sqrt{x^2} = |x|\), па разликујемо два случаја.
    2. За \(x \ge 0\): \(x - x = 0 \ne 5\) — нема решења.
    3. За \(x < 0\): \(|x| = -x\), па је \(-2x = 5\), \(x = -2{,}5\) — јесте \(< 0\), решење.

    Решење\(x = -2{,}5\)

Задатак 3 (20 поена)

  1. Реши неједначину \(\sqrt{\dfrac{(4x - 1)^2}{36}} < \dfrac{1}{2}\).

    Решење
    1. \(\sqrt{\dfrac{(4x - 1)^2}{36}}\) \(= \dfrac{|4x - 1|}{6}\), па је неједначина \(|4x - 1| < 3\).
    2. \(-3 < 4x - 1 < 3\)
    3. \(-2 < 4x < 4\)

    Решење\(x \in (-\tfrac{1}{2}, 1)\)

Задатак 4 (20 поена)

  1. Докажи да је број \(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) ирационалан.

    Решење
    1. Претпоставимо супротно: \(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = r\) за неки \(r \in \mathbb Q\). Тада је \(\sqrt{5} = 2r - 1\). Десна страна је рационалан број (од \(r\) је добијена сабирањем и множењем рационалним бројевима), па би \(\sqrt{5}\) био рационалан.
    2. Остаје да покажемо да \(\sqrt{5}\) није рационалан — то је тражена контрадикција.
    3. Претпоставимо супротно: \(\sqrt{5} = \tfrac mn\), где су \(m, n \in \mathbb N\) узајамно прости.
    4. \(5 = \tfrac{m^2}{n^2}\), тј. \(m^2 = 5n^2\).
    5. \(5 \mid 5n^2\), па \(5 \mid m^2\), а онда и \(5 \mid m\) (ако \(5\) не дели \(m\), не дели ни \(m^2\), јер је \(5\) прост). Нека је \(m = 5k\).
    6. \(25k^2 = 5n^2\), тј. \(5k^2 = n^2\). Дакле \(5 \mid n^2\), па \(5 \mid n\).
    7. \(5 \mid m\) и \(5 \mid n\) — контрадикција са претпоставком да су \(m\) и \(n\) узајамно прости.

    Решење\(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \notin \mathbb Q\)

Задатак 5 (5 + 10 + 5 поена)

  1. Израчунај \((\sqrt{27} + \sqrt{12})(\sqrt{27} - \sqrt{12}) + (\sqrt{2} + \sqrt{8})^2 - \sqrt{200} : \sqrt{2}\).

    Решење
    1. \((\sqrt{27} + \sqrt{12})(\sqrt{27} - \sqrt{12})\) \(= 27 - 12\) \(= 15\)
    2. \((\sqrt{2} + \sqrt{8})^2\) \(= 2 + 2\sqrt{16} + 8\) \(= 18\)
    3. \(\sqrt{200} : \sqrt{2}\) \(= \sqrt{200 : 2}\) \(= 10\)
    4. Израз је \(15 + 18 - 10 = 23\).

    Решење\(23\)

  2. Упрости израз \(2\sqrt{a^2b} + \sqrt{(b - a)^2} + a\sqrt{b} - \sqrt{9b^3}\) ако је \(a < 0 < b\).

    Решење
    1. \(2\sqrt{a^2b} = 2|a|\sqrt{b}\), а \(a < 0\), па је \(|a| = -a\) и члан је \(-2a\sqrt{b}\).
    2. \(\sqrt{(b - a)^2} = |b - a|\), а \(b - a > 0\), па је \(|b - a| = b - a\) и члан је \(b - a\).
    3. \(-\sqrt{9b^3} = -3|b|\sqrt{b}\), а \(b > 0\), па је \(|b| = b\) и члан је \(-3b\sqrt{b}\).
    4. Сабирањем: \(b - a - (a + 3b)\sqrt{b}\).

    Решење\(b - a - (a + 3b)\sqrt{b}\)

  3. Израчунај \(\dfrac{6}{\sqrt{7} - 2} - \sqrt{28} + \dfrac{9}{\sqrt{3}}\).

    Решење
    1. \(\dfrac{6}{\sqrt{7} - 2}\) \(= \dfrac{6(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)}\) \(= \dfrac{6(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4}\) \(= \dfrac{6(\sqrt{7} + 2)}{3}\) \(= 4 + 2\sqrt{7}\)
    2. \(\sqrt{28}\) \(= \sqrt{4 \cdot 7}\) \(= 2\sqrt{7}\)
    3. \(\dfrac{9}{\sqrt{3}}\) \(= \dfrac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\) \(= \dfrac{9\sqrt{3}}{3}\) \(= 3\sqrt{3}\)
    4. Израз је \(4 + 3\sqrt{3}\).

    Решење\(4 + 3\sqrt{3}\)

Задатак 6 (по 10 поена)

  1. Упореди \(7\sqrt{2}\) и \(10\).

    Решење
    1. \(7\sqrt{2} = \sqrt{98}\), \(\ 10 = \sqrt{100}\); \(\ 98 < 100\).

    Решење\(7\sqrt{2} < 10\)

  2. Упореди \(\sqrt{11} - \sqrt{5}\) и \(\sqrt{2}\).

    Решење
    1. Оба броја су позитивна, па упоредимо квадрате: \((\sqrt{11} - \sqrt{5})^2\) \(= 16 - 2\sqrt{55}\), \(\ (\sqrt{2})^2 = 2\).
    2. Разлика квадрата је \(14 - 2\sqrt{55}\); упоредимо \(2\sqrt{55}\) и \(14\): \(\ 2\sqrt{55} = \sqrt{220}\), \(\ 14 = \sqrt{196}\), па је \(2\sqrt{55} > 14\) и разлика квадрата је негативна.

    Решење\(\sqrt{11} - \sqrt{5} < \sqrt{2}\)

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица) 
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 4}
\end{center}

Пробни контролни по узору на контролни из реалних бројева, само теже: шест задатака по $20$ поена, укупно $120$. Прво уради цео тест на папиру, па тек онда отвори решења.

\paragraph{Задатак 1}
\begin{enumerate}
  \item $\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x^2} = x^2$ за сваки реалан број $x$.
  \item Ако је $x < 0$, онда је $-\sqrt{x^2} = x$.
  \item $\sqrt{3^2 + 4^2} = 3 + 4$.
  \item Број $0{,}1010010001\ldots$ (између јединица је све више нула) је рационалан.
  \item Ако је $\sqrt a > \sqrt b$ (за $a, b \ge 0$), онда је $a > b$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\sqrt{x^2} = |x|$, а $|x| \cdot |x| = x^2$.; \textbf{Решење:} ДА

\noindent\textbf{2.} За $x < 0$ је $\sqrt{x^2} = |x| = -x$, па је $-\sqrt{x^2} = x$.; \textbf{Решење:} ДА

\noindent\textbf{3.} $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ne 7$.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{4.} Запис је бесконачан и непериодичан, а рационални бројеви имају коначан или периодичан децимални запис.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{5.} Квадрирањем позитивних (ненегативних) бројева неједнакост се чува: $(\sqrt a)^2 > (\sqrt b)^2$.; \textbf{Решење:} ДА


\paragraph{Задатак 2}
\begin{enumerate}
  \item Реши једначину $0{,}25 \cdot (2x - 1)^2 - 0{,}5 = 0{,}31$.
  \item Реши једначину $\sqrt{x^2} - x = 5$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $0{,}25 \cdot (2x - 1)^2 = 0{,}81$; $(2x - 1)^2 = 3{,}24$; $2x - 1 = 1{,}8 \lor 2x - 1 = -1{,}8$; $2x = 2{,}8 \lor 2x = -0{,}8$; \textbf{Решење:} $x = 1{,}4 \lor x = -0{,}4$

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{x^2} = |x|$, па разликујемо два случаја.; За $x \ge 0$: $x - x = 0 \ne 5$ — нема решења.; За $x < 0$: $|x| = -x$, па је $-2x = 5$, $x = -2{,}5$ — јесте $< 0$, решење.; \textbf{Решење:} $x = -2{,}5$


\paragraph{Задатак 3}
\begin{enumerate}
  \item Реши неједначину $\sqrt{\dfrac{(4x - 1)^2}{36}} < \dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\sqrt{\dfrac{(4x - 1)^2}{36}} = \dfrac{|4x - 1|}{6}$, па је неједначина $|4x - 1| < 3$.; $-3 < 4x - 1 < 3$; $-2 < 4x < 4$; \textbf{Решење:} $x \in (-\tfrac{1}{2}, 1)$


\paragraph{Задатак 4}
\begin{enumerate}
  \item Докажи да је број $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ирационалан.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Претпоставимо супротно: $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = r$ за неки $r \in \mathbb Q$. Тада је $\sqrt{5} = 2r - 1$. Десна страна је рационалан број (од $r$ је добијена сабирањем и множењем рационалним бројевима), па би $\sqrt{5}$ био рационалан.; Остаје да покажемо да $\sqrt{5}$ није рационалан — то је тражена контрадикција.; Претпоставимо супротно: $\sqrt{5} = \tfrac mn$, где су $m, n \in \mathbb N$ узајамно прости.; $5 = \tfrac{m^2}{n^2}$, тј. $m^2 = 5n^2$.; $5 \mid 5n^2$, па $5 \mid m^2$, а онда и $5 \mid m$ (ако $5$ не дели $m$, не дели ни $m^2$, јер је $5$ прост). Нека је $m = 5k$.; $25k^2 = 5n^2$, тј. $5k^2 = n^2$. Дакле $5 \mid n^2$, па $5 \mid n$.; $5 \mid m$ и $5 \mid n$ — контрадикција са претпоставком да су $m$ и $n$ узајамно прости.; \textbf{Решење:} $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \notin \mathbb Q$


\paragraph{Задатак 5}
\begin{enumerate}
  \item Израчунај $(\sqrt{27} + \sqrt{12})(\sqrt{27} - \sqrt{12}) + (\sqrt{2} + \sqrt{8})^2 - \sqrt{200} : \sqrt{2}$.
  \item Упрости израз $2\sqrt{a^2b} + \sqrt{(b - a)^2} + a\sqrt{b} - \sqrt{9b^3}$ ако је $a < 0 < b$.
  \item Израчунај $\dfrac{6}{\sqrt{7} - 2} - \sqrt{28} + \dfrac{9}{\sqrt{3}}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $(\sqrt{27} + \sqrt{12})(\sqrt{27} - \sqrt{12}) = 27 - 12 = 15$; $(\sqrt{2} + \sqrt{8})^2 = 2 + 2\sqrt{16} + 8 = 18$; $\sqrt{200} : \sqrt{2} = \sqrt{200 : 2} = 10$; Израз је $15 + 18 - 10 = 23$.; \textbf{Решење:} $23$

\noindent\textbf{2.} $2\sqrt{a^2b} = 2|a|\sqrt{b}$, а $a < 0$, па је $|a| = -a$ и члан је $-2a\sqrt{b}$.; $\sqrt{(b - a)^2} = |b - a|$, а $b - a > 0$, па је $|b - a| = b - a$ и члан је $b - a$.; $-\sqrt{9b^3} = -3|b|\sqrt{b}$, а $b > 0$, па је $|b| = b$ и члан је $-3b\sqrt{b}$.; Сабирањем: $b - a - (a + 3b)\sqrt{b}$.; \textbf{Решење:} $b - a - (a + 3b)\sqrt{b}$

\noindent\textbf{3.} $\dfrac{6}{\sqrt{7} - 2} = \dfrac{6(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} = \dfrac{6(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \dfrac{6(\sqrt{7} + 2)}{3} = 4 + 2\sqrt{7}$; $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$; $\dfrac{9}{\sqrt{3}} = \dfrac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$; Израз је $4 + 3\sqrt{3}$.; \textbf{Решење:} $4 + 3\sqrt{3}$


\paragraph{Задатак 6}
\begin{enumerate}
  \item Упореди $7\sqrt{2}$ и $10$.
  \item Упореди $\sqrt{11} - \sqrt{5}$ и $\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $7\sqrt{2} = \sqrt{98}$, $\ 10 = \sqrt{100}$; $\ 98 < 100$.; \textbf{Решење:} $7\sqrt{2} < 10$

\noindent\textbf{2.} Оба броја су позитивна, па упоредимо квадрате: $(\sqrt{11} - \sqrt{5})^2 = 16 - 2\sqrt{55}$, $\ (\sqrt{2})^2 = 2$.; Разлика квадрата је $14 - 2\sqrt{55}$; упоредимо $2\sqrt{55}$ и $14$: $\ 2\sqrt{55} = \sqrt{220}$, $\ 14 = \sqrt{196}$, па је $2\sqrt{55} > 14$ и разлика квадрата је негативна.; \textbf{Решење:} $\sqrt{11} - \sqrt{5} < \sqrt{2}$


\end{document}