Реални бројеви · свеска

Скупови бројева

СкупШта садржи
\(\mathbb N\) — природни\(1, 2, 3, \ldots\); \(\ \mathbb N_0\) \(= \mathbb N \cup \{0\}\)
\(\mathbb Z\) — цели\(\mathbb Z\) \(= \mathbb N \cup \{0\} \cup (-\mathbb N)\) \(= \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\)
\(\mathbb Q\) — рационални\(\mathbb Q\) \(= \{\tfrac{p}{q} \mid p \in \mathbb Z,\ q \in \mathbb N\}\)
\(\mathbb I\) — ирационалнибројеви који нису рационални: \(\sqrt2\), \(\pi\), …
\(\mathbb R\) — реални\(\mathbb R\) \(= \mathbb Q \cup \mathbb I\)

Важи \(\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R\) и \(\mathbb I \subset \mathbb R\), \(\ \mathbb Q \cap \mathbb I\) \(= \emptyset\).

Три записа скупа \(\mathbb Q\)

Трећи запис се користи у доказима ирационалности: сваки рационалан број може да се запише као нескратив разломак.

Децимални запис

Рационалан број у децималном запису има коначно много цифара различитих од нуле (нпр. \(\tfrac34 = 0{,}75\)) или је периодичан (нпр. \(7 : 6 = 1{,}1666\ldots\) \(= 1{,}1\overline{6}\)). Ирационалан број има бесконачан непериодичан запис.

Пример. Запиши \(0{,}\overline{123}\) као разломак.

  1. Нека је \(t = 0{,}123123123\ldots\)
  2. \(1000t = 123{,}123123\ldots\)
  3. \(1000t - t = 123\), тј. \(999t = 123\).
  4. \(t = \tfrac{123}{999}\) \(= \tfrac{41}{333}\).

Решење\(0{,}\overline{123}\) \(= \tfrac{41}{333}\)

Кардиналност

Скупови \(\mathbb N\), \(\mathbb N_0\), \(\mathbb Z\) и \(\mathbb Q\) имају „исто много“ елемената (могу да се побројe), а ирационалних бројева има више: \(|\mathbb N|\) \(= |\mathbb N_0|\) \(= |\mathbb Z|\) \(= |\mathbb Q| < |\mathbb I|\).

Напомене уз запис из свеске

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица) 
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Скупови бројева}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{@{}ll@{}}
\toprule
Скуп & Шта садржи \\
\midrule
$\mathbb N$ — природни & $1, 2, 3, \ldots$; $\ \mathbb N_0 = \mathbb N \cup \{0\}$ \\
$\mathbb Z$ — цели & $\mathbb Z = \mathbb N \cup \{0\} \cup (-\mathbb N) = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ \\
$\mathbb Q$ — рационални & $\mathbb Q = \{\tfrac{p}{q} \mid p \in \mathbb Z,\ q \in \mathbb N\}$ \\
$\mathbb I$ — ирационални & бројеви који нису рационални: $\sqrt2$, $\pi$, … \\
$\mathbb R$ — реални & $\mathbb R = \mathbb Q \cup \mathbb I$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

Важи $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$ и $\mathbb I \subset \mathbb R$, $\ \mathbb Q \cap \mathbb I = \emptyset$.

\section*{Три записа скупа $\mathbb Q$}

\begin{itemize}
  \item $\mathbb Q = \{\tfrac{p}{q} \mid p \in \mathbb Z,\ q \in \mathbb N\}$
  \item $\mathbb Q = \{\tfrac{p}{q} \mid p, q \in \mathbb Z,\ q \ne 0\}$
  \item $\mathbb Q = \{\tfrac{p}{q} \mid p \in \mathbb Z,\ q \in \mathbb N,\ \operatorname{НЗД}(p, q) = 1\}$ — разломак је скраћен, $p$ и $q$ су узајамно прости.
\end{itemize}

Трећи запис се користи у доказима ирационалности: сваки рационалан број може да се запише као нескратив разломак.

\section*{Децимални запис}

Рационалан број у децималном запису има коначно много цифара различитих од нуле (нпр. $\tfrac34 = 0{,}75$) или је периодичан (нпр. $7 : 6 = 1{,}1666\ldots = 1{,}1\overline{6}$). Ирационалан број има бесконачан непериодичан запис.

\subsection*{Пример}
Запиши $0{,}\overline{123}$ као разломак.

\begin{enumerate}
  \item Нека је $t = 0{,}123123123\ldots$
  \item $1000t = 123{,}123123\ldots$
  \item $1000t - t = 123$, тј. $999t = 123$.
  \item $t = \tfrac{123}{999} = \tfrac{41}{333}$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $0{,}\overline{123} = \tfrac{41}{333}$


\section*{Кардиналност}

Скупови $\mathbb N$, $\mathbb N_0$, $\mathbb Z$ и $\mathbb Q$ имају „исто много“ елемената (могу да се побројe), а ирационалних бројева има више: $|\mathbb N| = |\mathbb N_0| = |\mathbb Z| = |\mathbb Q| < |\mathbb I|$.

\end{document}