Реални бројеви · вежба

Пробни контролни 3

Пробни контролни по узору на контролни из реалних бројева, само теже: шест задатака по \(20\) поена, укупно \(120\). Прво уради цео тест на папиру, па тек онда отвори решења.

Задатак 1 (20 поена) Одговори са ДА ако је реченица тачна, а са НЕ ако није. За 4 тачна одговора 10 поена, за 5 тачних 20, за 3 или мање 0.

  1. \((\sqrt a)^2 = a\) за сваки реалан број \(a\).

    Решење
    1. За \(a < 0\) број \(\sqrt a\) није дефинисан; једнакост важи само за \(a \ge 0\).

    РешењеНЕ

  2. Ако је \(a^2 > b^2\), онда је \(a > b\).

    Решење
    1. \(a = -3\), \(b = 1\): \(9 > 1\), а \(-3 < 1\). Тачно је \(|a| > |b|\).

    РешењеНЕ

  3. Број \(\sqrt{2{,}25}\) је ирационалан.

    Решење
    1. \(\sqrt{2{,}25} = 1{,}5 = \tfrac32\).

    РешењеНЕ

  4. \(2\sqrt3 > 3\sqrt2\).

    Решење
    1. \(2\sqrt3 = \sqrt{12}\), \(3\sqrt2 = \sqrt{18}\), па је \(2\sqrt3 < 3\sqrt2\).

    РешењеНЕ

  5. Број \(2 - \sqrt3\) је негативан.

    Решење
    1. \(\sqrt3 < \sqrt4 = 2\), па је \(2 - \sqrt3 > 0\).

    РешењеНЕ

Задатак 2 (по 10 поена)

  1. Реши једначину \(3 \cdot (0{,}2x + 0{,}7)^2 + 1\) \(= 1{,}75\).

    Решење
    1. \(3 \cdot (0{,}2x + 0{,}7)^2 = 0{,}75\)
    2. \((0{,}2x + 0{,}7)^2 = 0{,}25\)
    3. \(0{,}2x + 0{,}7\) \(= 0{,}5 \lor 0{,}2x + 0{,}7\) \(= -0{,}5\)
    4. \(0{,}2x\) \(= -0{,}2 \lor 0{,}2x\) \(= -1{,}2\)

    Решење\(x = -1 \lor x = -6\)

  2. Реши једначину \(\sqrt{x^2} + 0{,}5x = 3\).

    Решење
    1. \(\sqrt{x^2} = |x|\), па разликујемо два случаја.
    2. За \(x \ge 0\): \(|x| = x\), па је \(1{,}5x = 3\), \(x = 2\) — јесте \(\ge 0\), решење.
    3. За \(x < 0\): \(|x| = -x\), па је \(-0{,}5x = 3\), \(x = -6\) — јесте \(< 0\), решење.

    Решење\(x = 2 \lor x = -6\)

Задатак 3 (20 поена)

  1. Реши неједначину \(\sqrt{\dfrac{(2x + 5)^2}{9}}\) \(\ge \dfrac{1}{3}\).

    Решење
    1. \(\sqrt{\dfrac{(2x + 5)^2}{9}}\) \(= \dfrac{|2x + 5|}{3}\), па је неједначина \(|2x + 5| \ge 1\).
    2. \(2x + 5 \ge 1 \lor 2x + 5 \le -1\)
    3. \(2x \ge -4 \lor 2x \le -6\)
    4. \(x \ge -2 \lor x \le -3\)

    Решење\(x \in (-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)\)

Задатак 4 (20 поена)

  1. Докажи да је број \(\sqrt{12}\) ирационалан.

    Решење
    1. Претпоставимо супротно: \(\sqrt{12} = \tfrac mn\), где су \(m, n \in \mathbb N\) узајамно прости.
    2. \(12 = \tfrac{m^2}{n^2}\), тј. \(m^2 = 12n^2\).
    3. \(3 \mid 12n^2\), па \(3 \mid m^2\), а онда и \(3 \mid m\) (ако \(3\) не дели \(m\), не дели ни \(m^2\), јер је \(3\) прост). Нека је \(m = 3k\).
    4. \(9k^2 = 12n^2\), тј. \(3k^2 = 4n^2\). Дакле \(3 \mid 4n^2\), а \(3 \nmid 4\), па \(3 \mid n^2\) и \(3 \mid n\).
    5. \(3 \mid m\) и \(3 \mid n\) — контрадикција са претпоставком да су \(m\) и \(n\) узајамно прости.

    Решење\(\sqrt{12} \notin \mathbb Q\)

Задатак 5 (5 + 10 + 5 поена)

  1. Израчунај \((\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{50}) \cdot \sqrt{2} + \sqrt{63} : \sqrt{7} - (2 - \sqrt{3})^2\).

    Решење
    1. \(\sqrt{8}\) \(= \sqrt{4 \cdot 2}\) \(= 2\sqrt{2}\)
    2. \(\sqrt{18}\) \(= \sqrt{9 \cdot 2}\) \(= 3\sqrt{2}\)
    3. \(\sqrt{50}\) \(= \sqrt{25 \cdot 2}\) \(= 5\sqrt{2}\)
    4. \((\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{50}) \cdot \sqrt{2}\) \(= 0 \cdot \sqrt{2}\) \(= 0\)
    5. \(\sqrt{63} : \sqrt{7}\) \(= \sqrt{63 : 7}\) \(= 3\)
    6. \((2 - \sqrt{3})^2\) \(= 4 - 4\sqrt{3} + 3\) \(= 7 - 4\sqrt{3}\)
    7. Израз је \(0 + 3 - (7 - 4\sqrt{3})\) \(= 4\sqrt{3} - 4\).

    Решење\(4\sqrt{3} - 4\)

  2. Упрости израз \(\sqrt{(a - b)^2b} + a\sqrt{b} - \sqrt{b^3}\) ако је \(0 < a < b\).

    Решење
    1. \(\sqrt{(a - b)^2b} = |a - b|\sqrt{b}\), а \(a - b < 0\), па је \(|a - b| = -(a - b)\) и члан је \(-(a - b)\sqrt{b}\).
    2. \(-\sqrt{b^3} = -|b|\sqrt{b}\), а \(b > 0\), па је \(|b| = b\) и члан је \(-b\sqrt{b}\).
    3. Сабирањем: \(0\).

    Решење\(0\)

  3. Израчунај \(\dfrac{14}{\sqrt{7}} - \dfrac{4}{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{20}\).

    Решење
    1. \(\dfrac{14}{\sqrt{7}}\) \(= \dfrac{14\sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}\) \(= \dfrac{14\sqrt{7}}{7}\) \(= 2\sqrt{7}\)
    2. \(\dfrac{4}{3 - \sqrt{5}}\) \(= \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}\) \(= \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{9 - 5}\) \(= \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{4}\) \(= 3 + \sqrt{5}\)
    3. \(\sqrt{20}\) \(= \sqrt{4 \cdot 5}\) \(= 2\sqrt{5}\)
    4. Израз је \(\sqrt{5} + 2\sqrt{7} - 3\).

    Решење\(\sqrt{5} + 2\sqrt{7} - 3\)

Задатак 6 (по 10 поена)

  1. Упореди \(3\sqrt{6}\) и \(4\sqrt{3}\).

    Решење
    1. \(3\sqrt{6} = \sqrt{54}\), \(\ 4\sqrt{3} = \sqrt{48}\); \(\ 54 > 48\).

    Решење\(3\sqrt{6} > 4\sqrt{3}\)

  2. Упореди \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\) и \(\sqrt{15}\).

    Решење
    1. Оба броја су позитивна, па упоредимо квадрате: \((\sqrt{3} + \sqrt{5})^2\) \(= 8 + 2\sqrt{15}\), \(\ (\sqrt{15})^2 = 15\).
    2. Разлика квадрата је \(2\sqrt{15} - 7\); упоредимо \(2\sqrt{15}\) и \(7\): \(\ 2\sqrt{15} = \sqrt{60}\), \(\ 7 = \sqrt{49}\), па је \(2\sqrt{15} > 7\) и разлика квадрата је позитивна.

    Решење\(\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{15}\)

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица) 
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 3}
\end{center}

Пробни контролни по узору на контролни из реалних бројева, само теже: шест задатака по $20$ поена, укупно $120$. Прво уради цео тест на папиру, па тек онда отвори решења.

\paragraph{Задатак 1}
\begin{enumerate}
  \item $(\sqrt a)^2 = a$ за сваки реалан број $a$.
  \item Ако је $a^2 > b^2$, онда је $a > b$.
  \item Број $\sqrt{2{,}25}$ је ирационалан.
  \item $2\sqrt3 > 3\sqrt2$.
  \item Број $2 - \sqrt3$ је негативан.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} За $a < 0$ број $\sqrt a$ није дефинисан; једнакост важи само за $a \ge 0$.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{2.} $a = -3$, $b = 1$: $9 > 1$, а $-3 < 1$. Тачно је $|a| > |b|$.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{3.} $\sqrt{2{,}25} = 1{,}5 = \tfrac32$.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{4.} $2\sqrt3 = \sqrt{12}$, $3\sqrt2 = \sqrt{18}$, па је $2\sqrt3 < 3\sqrt2$.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{5.} $\sqrt3 < \sqrt4 = 2$, па је $2 - \sqrt3 > 0$.; \textbf{Решење:} НЕ


\paragraph{Задатак 2}
\begin{enumerate}
  \item Реши једначину $3 \cdot (0{,}2x + 0{,}7)^2 + 1 = 1{,}75$.
  \item Реши једначину $\sqrt{x^2} + 0{,}5x = 3$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $3 \cdot (0{,}2x + 0{,}7)^2 = 0{,}75$; $(0{,}2x + 0{,}7)^2 = 0{,}25$; $0{,}2x + 0{,}7 = 0{,}5 \lor 0{,}2x + 0{,}7 = -0{,}5$; $0{,}2x = -0{,}2 \lor 0{,}2x = -1{,}2$; \textbf{Решење:} $x = -1 \lor x = -6$

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{x^2} = |x|$, па разликујемо два случаја.; За $x \ge 0$: $|x| = x$, па је $1{,}5x = 3$, $x = 2$ — јесте $\ge 0$, решење.; За $x < 0$: $|x| = -x$, па је $-0{,}5x = 3$, $x = -6$ — јесте $< 0$, решење.; \textbf{Решење:} $x = 2 \lor x = -6$


\paragraph{Задатак 3}
\begin{enumerate}
  \item Реши неједначину $\sqrt{\dfrac{(2x + 5)^2}{9}} \ge \dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\sqrt{\dfrac{(2x + 5)^2}{9}} = \dfrac{|2x + 5|}{3}$, па је неједначина $|2x + 5| \ge 1$.; $2x + 5 \ge 1 \lor 2x + 5 \le -1$; $2x \ge -4 \lor 2x \le -6$; $x \ge -2 \lor x \le -3$; \textbf{Решење:} $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)$


\paragraph{Задатак 4}
\begin{enumerate}
  \item Докажи да је број $\sqrt{12}$ ирационалан.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Претпоставимо супротно: $\sqrt{12} = \tfrac mn$, где су $m, n \in \mathbb N$ узајамно прости.; $12 = \tfrac{m^2}{n^2}$, тј. $m^2 = 12n^2$.; $3 \mid 12n^2$, па $3 \mid m^2$, а онда и $3 \mid m$ (ако $3$ не дели $m$, не дели ни $m^2$, јер је $3$ прост). Нека је $m = 3k$.; $9k^2 = 12n^2$, тј. $3k^2 = 4n^2$. Дакле $3 \mid 4n^2$, а $3 \nmid 4$, па $3 \mid n^2$ и $3 \mid n$.; $3 \mid m$ и $3 \mid n$ — контрадикција са претпоставком да су $m$ и $n$ узајамно прости.; \textbf{Решење:} $\sqrt{12} \notin \mathbb Q$


\paragraph{Задатак 5}
\begin{enumerate}
  \item Израчунај $(\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{50}) \cdot \sqrt{2} + \sqrt{63} : \sqrt{7} - (2 - \sqrt{3})^2$.
  \item Упрости израз $\sqrt{(a - b)^2b} + a\sqrt{b} - \sqrt{b^3}$ ако је $0 < a < b$.
  \item Израчунај $\dfrac{14}{\sqrt{7}} - \dfrac{4}{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{20}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$; $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$; $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$; $(\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{50}) \cdot \sqrt{2} = 0 \cdot \sqrt{2} = 0$; $\sqrt{63} : \sqrt{7} = \sqrt{63 : 7} = 3$; $(2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$; Израз је $0 + 3 - (7 - 4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 4$.; \textbf{Решење:} $4\sqrt{3} - 4$

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{(a - b)^2b} = |a - b|\sqrt{b}$, а $a - b < 0$, па је $|a - b| = -(a - b)$ и члан је $-(a - b)\sqrt{b}$.; $-\sqrt{b^3} = -|b|\sqrt{b}$, а $b > 0$, па је $|b| = b$ и члан је $-b\sqrt{b}$.; Сабирањем: $0$.; \textbf{Решење:} $0$

\noindent\textbf{3.} $\dfrac{14}{\sqrt{7}} = \dfrac{14\sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \dfrac{14\sqrt{7}}{7} = 2\sqrt{7}$; $\dfrac{4}{3 - \sqrt{5}} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{4} = 3 + \sqrt{5}$; $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$; Израз је $\sqrt{5} + 2\sqrt{7} - 3$.; \textbf{Решење:} $\sqrt{5} + 2\sqrt{7} - 3$


\paragraph{Задатак 6}
\begin{enumerate}
  \item Упореди $3\sqrt{6}$ и $4\sqrt{3}$.
  \item Упореди $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ и $\sqrt{15}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $3\sqrt{6} = \sqrt{54}$, $\ 4\sqrt{3} = \sqrt{48}$; $\ 54 > 48$.; \textbf{Решење:} $3\sqrt{6} > 4\sqrt{3}$

\noindent\textbf{2.} Оба броја су позитивна, па упоредимо квадрате: $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = 8 + 2\sqrt{15}$, $\ (\sqrt{15})^2 = 15$.; Разлика квадрата је $2\sqrt{15} - 7$; упоредимо $2\sqrt{15}$ и $7$: $\ 2\sqrt{15} = \sqrt{60}$, $\ 7 = \sqrt{49}$, па је $2\sqrt{15} > 7$ и разлика квадрата је позитивна.; \textbf{Решење:} $\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{15}$


\end{document}