Реални бројеви · вежба

Пробни контролни 2

Пробни контролни по узору на контролни из реалних бројева, само теже: шест задатака по \(20\) поена, укупно \(120\). Прво уради цео тест на папиру, па тек онда отвори решења.

Задатак 1 (20 поена) Одговори са ДА ако је реченица тачна, а са НЕ ако није. За 4 тачна одговора 10 поена, за 5 тачних 20, за 3 или мање 0.

  1. Ако је \(x^2 \ge 16\), онда је \(x \ge 4\).

    Решење
    1. \(x = -5\): \(25 \ge 16\), а \(-5 < 4\). Тачно је \(x \ge 4 \lor x \le -4\).

    РешењеНЕ

  2. \(\sqrt{x^2} \ge -x\) за сваки реалан број \(x\).

    Решење
    1. \(\sqrt{x^2} = |x| \ge -x\): за \(x \le 0\) је једнакост, за \(x > 0\) је \(|x| > 0 > -x\).

    РешењеДА

  3. Збир рационалног и ирационалног броја је увек ирационалан.

    Решење
    1. Ако би \(q + i = r\) био рационалан, био би и \(i = r - q\) рационалан (разлика два рационална броја).

    РешењеДА

  4. Број \(\sqrt{0{,}4}\) је рационалан.

    Решење
    1. \(\sqrt{0{,}4}\) \(= \sqrt{\tfrac{4}{10}}\) \(= \tfrac{2}{\sqrt{10}}\), а \(\sqrt{10}\) је ирационалан јер \(10\) није квадрат природног броја.

    РешењеНЕ

  5. \(\sqrt{a + b} = \sqrt a + \sqrt b\) за све \(a, b \ge 0\).

    Решење
    1. \(\sqrt{9 + 16} = 5\), а \(\sqrt9 + \sqrt{16} = 7\).

    РешењеНЕ

Задатак 2 (по 10 поена)

  1. Реши једначину \(0{,}5 \cdot (1{,}5x - 0{,}6)^2\) \(= 0{,}72\).

    Решење
    1. \((1{,}5x - 0{,}6)^2 = 1{,}44\)
    2. \(1{,}5x - 0{,}6\) \(= 1{,}2 \lor 1{,}5x - 0{,}6\) \(= -1{,}2\)
    3. \(1{,}5x = 1{,}8 \lor 1{,}5x = -0{,}6\)

    Решење\(x = 1{,}2 \lor x = -0{,}4\)

  2. Реши једначину \(\sqrt{x^2} - 2x = 6\).

    Решење
    1. \(\sqrt{x^2} = |x|\), па разликујемо два случаја.
    2. За \(x \ge 0\): \(|x| = x\), па је \(-x = 6\), \(x = -6\) — није \(\ge 0\), отпада.
    3. За \(x < 0\): \(|x| = -x\), па је \(-3x = 6\), \(x = -2\) — јесте \(< 0\), решење.

    Решење\(x = -2\)

Задатак 3 (20 поена)

  1. Реши неједначину \(\sqrt{\dfrac{(3x + 1)^2}{4}} > \dfrac{5}{4}\).

    Решење
    1. \(\sqrt{\dfrac{(3x + 1)^2}{4}}\) \(= \dfrac{|3x + 1|}{2}\), па је неједначина \(|3x + 1| > \tfrac{5}{2}\).
    2. \(3x + 1 > \tfrac{5}{2} \lor 3x + 1 < -\tfrac{5}{2}\)
    3. \(3x > \tfrac{3}{2} \lor 3x < -\tfrac{7}{2}\)
    4. \(x > \tfrac{1}{2} \lor x < -\tfrac{7}{6}\)

    Решење\(x \in (-\infty, -\tfrac{7}{6}) \cup (\tfrac{1}{2}, +\infty)\)

Задатак 4 (20 поена)

  1. Докажи да је број \(2 + \sqrt{7}\) ирационалан.

    Решење
    1. Претпоставимо супротно: \(2 + \sqrt{7} = r\) за неки \(r \in \mathbb Q\). Тада је \(\sqrt{7} = r - 2\). Десна страна је рационалан број (од \(r\) је добијена сабирањем и множењем рационалним бројевима), па би \(\sqrt{7}\) био рационалан.
    2. Остаје да покажемо да \(\sqrt{7}\) није рационалан — то је тражена контрадикција.
    3. Претпоставимо супротно: \(\sqrt{7} = \tfrac mn\), где су \(m, n \in \mathbb N\) узајамно прости.
    4. \(7 = \tfrac{m^2}{n^2}\), тј. \(m^2 = 7n^2\).
    5. \(7 \mid 7n^2\), па \(7 \mid m^2\), а онда и \(7 \mid m\) (ако \(7\) не дели \(m\), не дели ни \(m^2\), јер је \(7\) прост). Нека је \(m = 7k\).
    6. \(49k^2 = 7n^2\), тј. \(7k^2 = n^2\). Дакле \(7 \mid n^2\), па \(7 \mid n\).
    7. \(7 \mid m\) и \(7 \mid n\) — контрадикција са претпоставком да су \(m\) и \(n\) узајамно прости.

    Решење\(2 + \sqrt{7} \notin \mathbb Q\)

Задатак 5 (5 + 10 + 5 поена)

  1. Израчунај \((\sqrt{48} + \sqrt{75}) : \sqrt{3} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} + (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})\).

    Решење
    1. \(\sqrt{48}\) \(= \sqrt{16 \cdot 3}\) \(= 4\sqrt{3}\)
    2. \(\sqrt{75}\) \(= \sqrt{25 \cdot 3}\) \(= 5\sqrt{3}\)
    3. \((\sqrt{48} + \sqrt{75}) : \sqrt{3}\) \(= 9\sqrt{3} : \sqrt{3}\) \(= 9\)
    4. \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}\) \(= \sqrt{100}\) \(= 10\)
    5. \((\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})\) \(= 5 - 3\) \(= 2\)
    6. Израз је \(9 - 10 + 2 = 1\).

    Решење\(1\)

  2. Упрости израз \(\sqrt{9ab^2} - 2b\sqrt{a} + \sqrt{(a - b)^2} - a\) ако је \(a > 0 > b\).

    Решење
    1. \(\sqrt{9ab^2} = 3|b|\sqrt{a}\), а \(b < 0\), па је \(|b| = -b\) и члан је \(-3b\sqrt{a}\).
    2. \(\sqrt{(a - b)^2} = |a - b|\), а \(a - b > 0\), па је \(|a - b| = a - b\) и члан је \(a - b\).
    3. Сабирањем: \(-b - 5b\sqrt{a}\).

    Решење\(-b - 5b\sqrt{a}\)

  3. Израчунај \(\dfrac{10}{\sqrt{5}} + \dfrac{6}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \sqrt{45}\).

    Решење
    1. \(\dfrac{10}{\sqrt{5}}\) \(= \dfrac{10\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}\) \(= \dfrac{10\sqrt{5}}{5}\) \(= 2\sqrt{5}\)
    2. \(\dfrac{6}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}\) \(= \dfrac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}\) \(= \dfrac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{5 - 2}\) \(= \dfrac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}\) \(= 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2}\)
    3. \(\sqrt{45}\) \(= \sqrt{9 \cdot 5}\) \(= 3\sqrt{5}\)
    4. Израз је \(\sqrt{5} - 2\sqrt{2}\).

    Решење\(\sqrt{5} - 2\sqrt{2}\)

Задатак 6 (по 10 поена)

  1. Упореди \(2\sqrt{7}\) и \(3\sqrt{3}\).

    Решење
    1. \(2\sqrt{7} = \sqrt{28}\), \(\ 3\sqrt{3} = \sqrt{27}\); \(\ 28 > 27\).

    Решење\(2\sqrt{7} > 3\sqrt{3}\)

  2. Упореди \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\) и \(1\).

    Решење
    1. Оба броја су позитивна, па упоредимо квадрате: \((\sqrt{5} - \sqrt{2})^2\) \(= 7 - 2\sqrt{10}\), \(\ 1^2 = 1\).
    2. Разлика квадрата је \(6 - 2\sqrt{10}\); упоредимо \(2\sqrt{10}\) и \(6\): \(\ 2\sqrt{10} = \sqrt{40}\), \(\ 6 = \sqrt{36}\), па је \(2\sqrt{10} > 6\) и разлика квадрата је негативна.

    Решење\(\sqrt{5} - \sqrt{2} < 1\)

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица) 
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 2}
\end{center}

Пробни контролни по узору на контролни из реалних бројева, само теже: шест задатака по $20$ поена, укупно $120$. Прво уради цео тест на папиру, па тек онда отвори решења.

\paragraph{Задатак 1}
\begin{enumerate}
  \item Ако је $x^2 \ge 16$, онда је $x \ge 4$.
  \item $\sqrt{x^2} \ge -x$ за сваки реалан број $x$.
  \item Збир рационалног и ирационалног броја је увек ирационалан.
  \item Број $\sqrt{0{,}4}$ је рационалан.
  \item $\sqrt{a + b} = \sqrt a + \sqrt b$ за све $a, b \ge 0$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $x = -5$: $25 \ge 16$, а $-5 < 4$. Тачно је $x \ge 4 \lor x \le -4$.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{x^2} = |x| \ge -x$: за $x \le 0$ је једнакост, за $x > 0$ је $|x| > 0 > -x$.; \textbf{Решење:} ДА

\noindent\textbf{3.} Ако би $q + i = r$ био рационалан, био би и $i = r - q$ рационалан (разлика два рационална броја).; \textbf{Решење:} ДА

\noindent\textbf{4.} $\sqrt{0{,}4} = \sqrt{\tfrac{4}{10}} = \tfrac{2}{\sqrt{10}}$, а $\sqrt{10}$ је ирационалан јер $10$ није квадрат природног броја.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{5.} $\sqrt{9 + 16} = 5$, а $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$.; \textbf{Решење:} НЕ


\paragraph{Задатак 2}
\begin{enumerate}
  \item Реши једначину $0{,}5 \cdot (1{,}5x - 0{,}6)^2 = 0{,}72$.
  \item Реши једначину $\sqrt{x^2} - 2x = 6$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $(1{,}5x - 0{,}6)^2 = 1{,}44$; $1{,}5x - 0{,}6 = 1{,}2 \lor 1{,}5x - 0{,}6 = -1{,}2$; $1{,}5x = 1{,}8 \lor 1{,}5x = -0{,}6$; \textbf{Решење:} $x = 1{,}2 \lor x = -0{,}4$

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{x^2} = |x|$, па разликујемо два случаја.; За $x \ge 0$: $|x| = x$, па је $-x = 6$, $x = -6$ — није $\ge 0$, отпада.; За $x < 0$: $|x| = -x$, па је $-3x = 6$, $x = -2$ — јесте $< 0$, решење.; \textbf{Решење:} $x = -2$


\paragraph{Задатак 3}
\begin{enumerate}
  \item Реши неједначину $\sqrt{\dfrac{(3x + 1)^2}{4}} > \dfrac{5}{4}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\sqrt{\dfrac{(3x + 1)^2}{4}} = \dfrac{|3x + 1|}{2}$, па је неједначина $|3x + 1| > \tfrac{5}{2}$.; $3x + 1 > \tfrac{5}{2} \lor 3x + 1 < -\tfrac{5}{2}$; $3x > \tfrac{3}{2} \lor 3x < -\tfrac{7}{2}$; $x > \tfrac{1}{2} \lor x < -\tfrac{7}{6}$; \textbf{Решење:} $x \in (-\infty, -\tfrac{7}{6}) \cup (\tfrac{1}{2}, +\infty)$


\paragraph{Задатак 4}
\begin{enumerate}
  \item Докажи да је број $2 + \sqrt{7}$ ирационалан.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Претпоставимо супротно: $2 + \sqrt{7} = r$ за неки $r \in \mathbb Q$. Тада је $\sqrt{7} = r - 2$. Десна страна је рационалан број (од $r$ је добијена сабирањем и множењем рационалним бројевима), па би $\sqrt{7}$ био рационалан.; Остаје да покажемо да $\sqrt{7}$ није рационалан — то је тражена контрадикција.; Претпоставимо супротно: $\sqrt{7} = \tfrac mn$, где су $m, n \in \mathbb N$ узајамно прости.; $7 = \tfrac{m^2}{n^2}$, тј. $m^2 = 7n^2$.; $7 \mid 7n^2$, па $7 \mid m^2$, а онда и $7 \mid m$ (ако $7$ не дели $m$, не дели ни $m^2$, јер је $7$ прост). Нека је $m = 7k$.; $49k^2 = 7n^2$, тј. $7k^2 = n^2$. Дакле $7 \mid n^2$, па $7 \mid n$.; $7 \mid m$ и $7 \mid n$ — контрадикција са претпоставком да су $m$ и $n$ узајамно прости.; \textbf{Решење:} $2 + \sqrt{7} \notin \mathbb Q$


\paragraph{Задатак 5}
\begin{enumerate}
  \item Израчунај $(\sqrt{48} + \sqrt{75}) : \sqrt{3} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} + (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.
  \item Упрости израз $\sqrt{9ab^2} - 2b\sqrt{a} + \sqrt{(a - b)^2} - a$ ако је $a > 0 > b$.
  \item Израчунај $\dfrac{10}{\sqrt{5}} + \dfrac{6}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \sqrt{45}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$; $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$; $(\sqrt{48} + \sqrt{75}) : \sqrt{3} = 9\sqrt{3} : \sqrt{3} = 9$; $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$; $(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2$; Израз је $9 - 10 + 2 = 1$.; \textbf{Решење:} $1$

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{9ab^2} = 3|b|\sqrt{a}$, а $b < 0$, па је $|b| = -b$ и члан је $-3b\sqrt{a}$.; $\sqrt{(a - b)^2} = |a - b|$, а $a - b > 0$, па је $|a - b| = a - b$ и члан је $a - b$.; Сабирањем: $-b - 5b\sqrt{a}$.; \textbf{Решење:} $-b - 5b\sqrt{a}$

\noindent\textbf{3.} $\dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$; $\dfrac{6}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \dfrac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \dfrac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{5 - 2} = \dfrac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$; Израз је $\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$.; \textbf{Решење:} $\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$


\paragraph{Задатак 6}
\begin{enumerate}
  \item Упореди $2\sqrt{7}$ и $3\sqrt{3}$.
  \item Упореди $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ и $1$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $2\sqrt{7} = \sqrt{28}$, $\ 3\sqrt{3} = \sqrt{27}$; $\ 28 > 27$.; \textbf{Решење:} $2\sqrt{7} > 3\sqrt{3}$

\noindent\textbf{2.} Оба броја су позитивна, па упоредимо квадрате: $(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = 7 - 2\sqrt{10}$, $\ 1^2 = 1$.; Разлика квадрата је $6 - 2\sqrt{10}$; упоредимо $2\sqrt{10}$ и $6$: $\ 2\sqrt{10} = \sqrt{40}$, $\ 6 = \sqrt{36}$, па је $2\sqrt{10} > 6$ и разлика квадрата је негативна.; \textbf{Решење:} $\sqrt{5} - \sqrt{2} < 1$


\end{document}