Реални бројеви · вежба

Пробни контролни 1

Пробни контролни по узору на контролни из реалних бројева, само теже: шест задатака по \(20\) поена, укупно \(120\). Прво уради цео тест на папиру, па тек онда отвори решења.

Задатак 1 (20 поена) Одговори са ДА ако је реченица тачна, а са НЕ ако није. За 4 тачна одговора 10 поена, за 5 тачних 20, за 3 или мање 0.

  1. Ако је \(x^2 < 9\), онда је \(|x| < 3\).

    Решење
    1. \(x^2 < 9\) \(\iff |x| < 3\) \(\iff -3 < x < 3\).

    РешењеДА

  2. \(\sqrt{x^2} = x\) за сваки реалан број \(x\).

    Решење
    1. \(\sqrt{x^2} = |x|\); за \(x = -2\) је \(\sqrt{4} = 2 \ne -2\).

    РешењеНЕ

  3. Производ два ирационална броја је увек ирационалан.

    Решење
    1. \(\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\).

    РешењеНЕ

  4. Број \(\sqrt{0{,}04}\) је рационалан.

    Решење
    1. \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2 = \tfrac15\).

    РешењеДА

  5. \(\sqrt x \le x\) за свако \(x \ge 0\).

    Решење
    1. \(x = \tfrac14\): \(\sqrt x = \tfrac12 > \tfrac14\). Неједнакост важи тек за \(x \ge 1\) (и за \(x = 0\)).

    РешењеНЕ

Задатак 2 (по 10 поена)

  1. Реши једначину \(2 \cdot (0{,}4x - 1{,}5)^2 - 0{,}5\) \(= 0{,}78\).

    Решење
    1. \(2 \cdot (0{,}4x - 1{,}5)^2 = 1{,}28\)
    2. \((0{,}4x - 1{,}5)^2 = 0{,}64\)
    3. \(0{,}4x - 1{,}5\) \(= 0{,}8 \lor 0{,}4x - 1{,}5\) \(= -0{,}8\)
    4. \(0{,}4x = 2{,}3 \lor 0{,}4x = 0{,}7\)

    Решење\(x = 5{,}75 \lor x = 1{,}75\)

  2. Реши једначину \(\sqrt{x^2} + x = 4\).

    Решење
    1. \(\sqrt{x^2} = |x|\), па разликујемо два случаја.
    2. За \(x \ge 0\): \(|x| = x\), па је \(2x = 4\), \(x = 2\) — јесте \(\ge 0\), решење.
    3. За \(x < 0\): \(-x + x = 0 \ne 4\) — нема решења.

    Решење\(x = 2\)

Задатак 3 (20 поена)

  1. Реши неједначину \(\sqrt{\dfrac{(2x - 3)^2}{25}}\) \(\le \dfrac{7}{10}\).

    Решење
    1. \(\sqrt{\dfrac{(2x - 3)^2}{25}}\) \(= \dfrac{|2x - 3|}{5}\), па је неједначина \(|2x - 3| \le \tfrac{7}{2}\).
    2. \(-\tfrac{7}{2}\) \(\le 2x - 3\) \(\le \tfrac{7}{2}\)
    3. \(-\tfrac{1}{2}\) \(\le 2x\) \(\le \tfrac{13}{2}\)

    Решење\(x \in [-\tfrac{1}{4}, \tfrac{13}{4}]\)

Задатак 4 (20 поена)

  1. Докажи да је број \(\sqrt{45}\) ирационалан.

    Решење
    1. Претпоставимо супротно: \(\sqrt{45} = \tfrac mn\), где су \(m, n \in \mathbb N\) узајамно прости.
    2. \(45 = \tfrac{m^2}{n^2}\), тј. \(m^2 = 45n^2\).
    3. \(5 \mid 45n^2\), па \(5 \mid m^2\), а онда и \(5 \mid m\) (ако \(5\) не дели \(m\), не дели ни \(m^2\), јер је \(5\) прост). Нека је \(m = 5k\).
    4. \(25k^2 = 45n^2\), тј. \(5k^2 = 9n^2\). Дакле \(5 \mid 9n^2\), а \(5 \nmid 9\), па \(5 \mid n^2\) и \(5 \mid n\).
    5. \(5 \mid m\) и \(5 \mid n\) — контрадикција са претпоставком да су \(m\) и \(n\) узајамно прости.

    Решење\(\sqrt{45} \notin \mathbb Q\)

Задатак 5 (5 + 10 + 5 поена)

  1. Израчунај \(\sqrt{50} - \sqrt{18} + (\sqrt{27} - \sqrt{12}) : \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}\).

    Решење
    1. \(\sqrt{50}\) \(= \sqrt{25 \cdot 2}\) \(= 5\sqrt{2}\)
    2. \(\sqrt{18}\) \(= \sqrt{9 \cdot 2}\) \(= 3\sqrt{2}\)
    3. \(\sqrt{27}\) \(= \sqrt{9 \cdot 3}\) \(= 3\sqrt{3}\)
    4. \(\sqrt{12}\) \(= \sqrt{4 \cdot 3}\) \(= 2\sqrt{3}\)
    5. \((\sqrt{27} - \sqrt{12}) : \sqrt{3}\) \(= \sqrt{3} : \sqrt{3}\) \(= 1\)
    6. \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}\) \(= \sqrt{16}\) \(= 4\)
    7. Израз је \(5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 1 + 4\) \(= 5 + 2\sqrt{2}\).

    Решење\(5 + 2\sqrt{2}\)

  2. Упрости израз \(\sqrt{a^2b} + a\sqrt{b} - \sqrt{16a^2b}\) ако је \(a < 0 < b\).

    Решење
    1. \(\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b}\), а \(a < 0\), па је \(|a| = -a\) и члан је \(-a\sqrt{b}\).
    2. \(-\sqrt{16a^2b} = -4|a|\sqrt{b}\), а \(a < 0\), па је \(|a| = -a\) и члан је \(4a\sqrt{b}\).
    3. Сабирањем: \(4a\sqrt{b}\).

    Решење\(4a\sqrt{b}\)

  3. Израчунај \(\dfrac{12}{\sqrt{6}} - \sqrt{54} + \dfrac{2}{\sqrt{3} - 1}\).

    Решење
    1. \(\dfrac{12}{\sqrt{6}}\) \(= \dfrac{12\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}\) \(= \dfrac{12\sqrt{6}}{6}\) \(= 2\sqrt{6}\)
    2. \(\sqrt{54}\) \(= \sqrt{9 \cdot 6}\) \(= 3\sqrt{6}\)
    3. \(\dfrac{2}{\sqrt{3} - 1}\) \(= \dfrac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}\) \(= \dfrac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}\) \(= \dfrac{2(\sqrt{3} + 1)}{2}\) \(= 1 + \sqrt{3}\)
    4. Израз је \(1 + \sqrt{3} - \sqrt{6}\).

    Решење\(1 + \sqrt{3} - \sqrt{6}\)

Задатак 6 (по 10 поена)

  1. Упореди \(5\sqrt{2}\) и \(3\sqrt{5}\).

    Решење
    1. \(5\sqrt{2} = \sqrt{50}\), \(\ 3\sqrt{5} = \sqrt{45}\); \(\ 50 > 45\).

    Решење\(5\sqrt{2} > 3\sqrt{5}\)

  2. Упореди \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) и \(\sqrt{10}\).

    Решење
    1. Оба броја су позитивна, па упоредимо квадрате: \((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2\) \(= 5 + 2\sqrt{6}\), \(\ (\sqrt{10})^2 = 10\).
    2. Разлика квадрата је \(2\sqrt{6} - 5\); упоредимо \(2\sqrt{6}\) и \(5\): \(\ 2\sqrt{6} = \sqrt{24}\), \(\ 5 = \sqrt{25}\), па је \(2\sqrt{6} < 5\) и разлика квадрата је негативна.

    Решење\(\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{10}\)

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица) 
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Пробни контролни 1}
\end{center}

Пробни контролни по узору на контролни из реалних бројева, само теже: шест задатака по $20$ поена, укупно $120$. Прво уради цео тест на папиру, па тек онда отвори решења.

\paragraph{Задатак 1}
\begin{enumerate}
  \item Ако је $x^2 < 9$, онда је $|x| < 3$.
  \item $\sqrt{x^2} = x$ за сваки реалан број $x$.
  \item Производ два ирационална броја је увек ирационалан.
  \item Број $\sqrt{0{,}04}$ је рационалан.
  \item $\sqrt x \le x$ за свако $x \ge 0$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $x^2 < 9 \iff |x| < 3 \iff -3 < x < 3$.; \textbf{Решење:} ДА

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{x^2} = |x|$; за $x = -2$ је $\sqrt{4} = 2 \ne -2$.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{3.} $\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2$.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{4.} $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2 = \tfrac15$.; \textbf{Решење:} ДА

\noindent\textbf{5.} $x = \tfrac14$: $\sqrt x = \tfrac12 > \tfrac14$. Неједнакост важи тек за $x \ge 1$ (и за $x = 0$).; \textbf{Решење:} НЕ


\paragraph{Задатак 2}
\begin{enumerate}
  \item Реши једначину $2 \cdot (0{,}4x - 1{,}5)^2 - 0{,}5 = 0{,}78$.
  \item Реши једначину $\sqrt{x^2} + x = 4$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $2 \cdot (0{,}4x - 1{,}5)^2 = 1{,}28$; $(0{,}4x - 1{,}5)^2 = 0{,}64$; $0{,}4x - 1{,}5 = 0{,}8 \lor 0{,}4x - 1{,}5 = -0{,}8$; $0{,}4x = 2{,}3 \lor 0{,}4x = 0{,}7$; \textbf{Решење:} $x = 5{,}75 \lor x = 1{,}75$

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{x^2} = |x|$, па разликујемо два случаја.; За $x \ge 0$: $|x| = x$, па је $2x = 4$, $x = 2$ — јесте $\ge 0$, решење.; За $x < 0$: $-x + x = 0 \ne 4$ — нема решења.; \textbf{Решење:} $x = 2$


\paragraph{Задатак 3}
\begin{enumerate}
  \item Реши неједначину $\sqrt{\dfrac{(2x - 3)^2}{25}} \le \dfrac{7}{10}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\sqrt{\dfrac{(2x - 3)^2}{25}} = \dfrac{|2x - 3|}{5}$, па је неједначина $|2x - 3| \le \tfrac{7}{2}$.; $-\tfrac{7}{2} \le 2x - 3 \le \tfrac{7}{2}$; $-\tfrac{1}{2} \le 2x \le \tfrac{13}{2}$; \textbf{Решење:} $x \in [-\tfrac{1}{4}, \tfrac{13}{4}]$


\paragraph{Задатак 4}
\begin{enumerate}
  \item Докажи да је број $\sqrt{45}$ ирационалан.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Претпоставимо супротно: $\sqrt{45} = \tfrac mn$, где су $m, n \in \mathbb N$ узајамно прости.; $45 = \tfrac{m^2}{n^2}$, тј. $m^2 = 45n^2$.; $5 \mid 45n^2$, па $5 \mid m^2$, а онда и $5 \mid m$ (ако $5$ не дели $m$, не дели ни $m^2$, јер је $5$ прост). Нека је $m = 5k$.; $25k^2 = 45n^2$, тј. $5k^2 = 9n^2$. Дакле $5 \mid 9n^2$, а $5 \nmid 9$, па $5 \mid n^2$ и $5 \mid n$.; $5 \mid m$ и $5 \mid n$ — контрадикција са претпоставком да су $m$ и $n$ узајамно прости.; \textbf{Решење:} $\sqrt{45} \notin \mathbb Q$


\paragraph{Задатак 5}
\begin{enumerate}
  \item Израчунај $\sqrt{50} - \sqrt{18} + (\sqrt{27} - \sqrt{12}) : \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$.
  \item Упрости израз $\sqrt{a^2b} + a\sqrt{b} - \sqrt{16a^2b}$ ако је $a < 0 < b$.
  \item Израчунај $\dfrac{12}{\sqrt{6}} - \sqrt{54} + \dfrac{2}{\sqrt{3} - 1}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$; $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$; $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$; $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$; $(\sqrt{27} - \sqrt{12}) : \sqrt{3} = \sqrt{3} : \sqrt{3} = 1$; $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$; Израз је $5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 1 + 4 = 5 + 2\sqrt{2}$.; \textbf{Решење:} $5 + 2\sqrt{2}$

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b}$, а $a < 0$, па је $|a| = -a$ и члан је $-a\sqrt{b}$.; $-\sqrt{16a^2b} = -4|a|\sqrt{b}$, а $a < 0$, па је $|a| = -a$ и члан је $4a\sqrt{b}$.; Сабирањем: $4a\sqrt{b}$.; \textbf{Решење:} $4a\sqrt{b}$

\noindent\textbf{3.} $\dfrac{12}{\sqrt{6}} = \dfrac{12\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$; $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$; $\dfrac{2}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = 1 + \sqrt{3}$; Израз је $1 + \sqrt{3} - \sqrt{6}$.; \textbf{Решење:} $1 + \sqrt{3} - \sqrt{6}$


\paragraph{Задатак 6}
\begin{enumerate}
  \item Упореди $5\sqrt{2}$ и $3\sqrt{5}$.
  \item Упореди $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{10}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $5\sqrt{2} = \sqrt{50}$, $\ 3\sqrt{5} = \sqrt{45}$; $\ 50 > 45$.; \textbf{Решење:} $5\sqrt{2} > 3\sqrt{5}$

\noindent\textbf{2.} Оба броја су позитивна, па упоредимо квадрате: $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6}$, $\ (\sqrt{10})^2 = 10$.; Разлика квадрата је $2\sqrt{6} - 5$; упоредимо $2\sqrt{6}$ и $5$: $\ 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$, $\ 5 = \sqrt{25}$, па је $2\sqrt{6} < 5$ и разлика квадрата је негативна.; \textbf{Решење:} $\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{10}$


\end{document}