Реални бројеви · контролни

Контролни задатак — реални бројеви

Контролни задатак из реалних бројева (октобар 2026): шест задатака по \(20\) поена, укупно \(120\). Решења су сложена испод сваког задатка, са пуним поступком.

Задатак 1 (20 поена) Одговори са ДА ако је реченица тачна, а са НЕ ако није. За 4 тачна одговора 10 поена, за 5 тачних 20, за 3 или мање 0.

  1. Ако је \(x^2 > 9\), да ли је онда \(x > 3\)?

    Решење
    1. За \(x = -4\) је \(x^2 = 16 > 9\), а \(-4 < 3\).
    2. \(x^2 > 9\) \(\iff |x| > 3\) \(\iff x > 3 \lor x < -3\).

    РешењеНЕ

  2. Да ли је \(\sqrt{x^2} \ge x\) за сваки реалан број \(x\)?

    Решење
    1. \(\sqrt{x^2} = |x|\).
    2. За \(x \ge 0\) је \(|x| = x\), а за \(x < 0\) је \(|x| = -x > 0 > x\). У оба случаја је \(|x| \ge x\).

    РешењеДА

  3. Да ли је збир два ирационална броја увек ирационалан?

    Решење
    1. \(-\sqrt2\) и \(\sqrt2\) су ирационални, а \(-\sqrt2 + \sqrt2 = 0\) је рационалан.

    РешењеНЕ

  4. Да ли је број \(\sqrt{0{,}9}\) рационалан?

    Решење
    1. \(\sqrt{0{,}9}\) \(= \sqrt{\tfrac{9}{10}}\) \(= \tfrac{3}{\sqrt{10}}\) \(= \tfrac{3\sqrt{10}}{10}\).
    2. \(10\) није квадрат природног броја, па је \(\sqrt{10}\) ирационалан; производ рационалног броја \(\tfrac{3}{10}\) (различитог од нуле) и ирационалног броја је ирационалан.

    РешењеНЕ

  5. Да ли \(\sqrt x\) може да буде веће од \(x\)?

    Решење
    1. За \(x = \tfrac14\) је \(\sqrt x = \tfrac12 > \tfrac14\).
    2. Општије, за свако \(0 < x < 1\) је \(\sqrt x > x\).

    РешењеДА

Задатак 2 (20 поена)

  1. Реши једначину \(4 \cdot (0{,}5x + 1{,}2)^2 = 0{,}36\).

    Решење
    1. \((0{,}5x + 1{,}2)^2 = 0{,}09\)
    2. \(0{,}5x + 1{,}2\) \(= 0{,}3 \lor 0{,}5x + 1{,}2\) \(= -0{,}3\)
    3. \(0{,}5x\) \(= -0{,}9 \lor 0{,}5x\) \(= -1{,}5\)
    4. Провера: \(4 \cdot (0{,}5 \cdot (-1{,}8) + 1{,}2)^2\) \(= 4 \cdot 0{,}3^2\) \(= 0{,}36\) и \(4 \cdot (0{,}5 \cdot (-3) + 1{,}2)^2\) \(= 4 \cdot (-0{,}3)^2\) \(= 0{,}36\).

    Решење\(x = -1{,}8 \lor x = -3\)

Задатак 3 (20 поена)

  1. Реши неједначину \(\sqrt{\dfrac{(3x+2)^2}{4}}\) \(\ge \dfrac74\).

    Решење
    1. \(\sqrt{\dfrac{(3x+2)^2}{4}}\) \(= \dfrac{\sqrt{(3x+2)^2}}{\sqrt4}\) \(= \dfrac{|3x + 2|}{2}\), па је неједначина \(|3x + 2| \ge \tfrac72\).
    2. \(3x + 2\) \(\ge \tfrac72 \lor 3x + 2\) \(\le -\tfrac72\)
    3. \(3x \ge \tfrac32 \lor 3x\) \(\le -\tfrac{11}{2}\)
    4. \(x \ge \tfrac12 \lor x\) \(\le -\tfrac{11}{6}\)

    Решење\(x \in \big(-\infty, -\tfrac{11}{6}\big] \cup \big[\tfrac12, +\infty\big)\)

Задатак 4 (20 поена)

  1. Докажи да је број \(\sqrt{22}\) ирационалан.

    Решење
    1. Претпоставимо супротно: \(\sqrt{22} = \tfrac pq\), где су \(p, q \in \mathbb N\) узајамно прости.
    2. \(22 = \tfrac{p^2}{q^2}\), тј. \(p^2 = 22q^2\).
    3. \(2 \mid 22q^2\), па \(2 \mid p^2\), а онда и \(2 \mid p\) (квадрат непарног броја је непаран). Нека је \(p = 2k\).
    4. \(4k^2 = 22q^2\), тј. \(2k^2 = 11q^2\). Дакле \(2 \mid 11q^2\), а \(2 \nmid 11\), па \(2 \mid q^2\) и \(2 \mid q\).
    5. \(2 \mid p\) и \(2 \mid q\) — контрадикција са претпоставком да су \(p\) и \(q\) узајамно прости.

    Решење\(\sqrt{22} \notin \mathbb Q\)

Задатак 5 (5 + 10 + 5 поена)

  1. Израчунај \((\sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{27}) : \sqrt3\).

    Решење
    1. \(\sqrt{75}\) \(= \sqrt{25 \cdot 3}\) \(= 5\sqrt3\), \(\ \sqrt{12}\) \(= \sqrt{4 \cdot 3}\) \(= 2\sqrt3\), \(\ \sqrt{27}\) \(= \sqrt{9 \cdot 3}\) \(= 3\sqrt3\).
    2. \(\sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{27}\) \(= 5\sqrt3 - 4\sqrt3 + 3\sqrt3\) \(= 4\sqrt3\).
    3. \(4\sqrt3 : \sqrt3 = 4\).

    Решење\(4\)

  2. Упрости израз \(\sqrt{ab^2} + b\sqrt a - \sqrt{9ab^2}\) ако је \(a > 0 > b\).

    Решење
    1. \(\sqrt{ab^2}\) \(= \sqrt a \cdot \sqrt{b^2}\) \(= |b|\sqrt a\), а \(b < 0\), па је \(|b| = -b\) и први члан је \(-b\sqrt a\).
    2. \(\sqrt{9ab^2}\) \(= 3|b|\sqrt a\) \(= -3b\sqrt a\).
    3. \(-b\sqrt a + b\sqrt a - (-3b\sqrt a)\) \(= 3b\sqrt a\).
    4. Провера за \(a = 1\), \(b = -1\): \(\sqrt1 + (-1)\sqrt1 - \sqrt9\) \(= 1 - 1 - 3\) \(= -3 = 3 \cdot (-1) \cdot \sqrt1\).

    Решење\(3b\sqrt a\)

  3. Израчунај \(\dfrac{15}{\sqrt5} - \sqrt{20} + \dfrac{4}{\sqrt8}\).

    Решење
    1. \(\dfrac{15}{\sqrt5}\) \(= \dfrac{15\sqrt5}{\sqrt5 \cdot \sqrt5}\) \(= \dfrac{15\sqrt5}{5}\) \(= 3\sqrt5\).
    2. \(\sqrt{20}\) \(= \sqrt{4 \cdot 5}\) \(= 2\sqrt5\).
    3. \(\dfrac{4}{\sqrt8}\) \(= \dfrac{4}{2\sqrt2}\) \(= \dfrac{2}{\sqrt2}\) \(= \dfrac{2\sqrt2}{2}\) \(= \sqrt2\).
    4. \(3\sqrt5 - 2\sqrt5 + \sqrt2\) \(= \sqrt5 + \sqrt2\).

    Решење\(\sqrt5 + \sqrt2\)

Задатак 6 (по 10 поена)

  1. Упореди \(4\sqrt3\) и \(3\sqrt5\).

    Решење
    1. \(4\sqrt3\) \(= \sqrt{16 \cdot 3}\) \(= \sqrt{48}\), \(\ 3\sqrt5\) \(= \sqrt{9 \cdot 5}\) \(= \sqrt{45}\).
    2. \(48 > 45\), па је \(\sqrt{48} > \sqrt{45}\).

    Решење\(4\sqrt3 > 3\sqrt5\)

  2. Упореди \(\sqrt{50} - \sqrt8\) и \(\sqrt{17}\).

    Решење
    1. \(\sqrt{50}\) \(= \sqrt{25 \cdot 2}\) \(= 5\sqrt2\), \(\ \sqrt8\) \(= \sqrt{4 \cdot 2}\) \(= 2\sqrt2\).
    2. \(\sqrt{50} - \sqrt8\) \(= 5\sqrt2 - 2\sqrt2\) \(= 3\sqrt2\) \(= \sqrt{9 \cdot 2}\) \(= \sqrt{18}\).
    3. \(18 > 17\), па је \(\sqrt{18} > \sqrt{17}\).

    Решење\(\sqrt{50} - \sqrt8 > \sqrt{17}\)

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица) 
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Контролни задатак — реални бројеви}
\end{center}

Контролни задатак из реалних бројева (октобар 2026): шест задатака по $20$ поена, укупно $120$. Решења су сложена испод сваког задатка, са пуним поступком.

\paragraph{Задатак 1}
\begin{enumerate}
  \item Ако је $x^2 > 9$, да ли је онда $x > 3$?
  \item Да ли је $\sqrt{x^2} \ge x$ за сваки реалан број $x$?
  \item Да ли је збир два ирационална броја увек ирационалан?
  \item Да ли је број $\sqrt{0{,}9}$ рационалан?
  \item Да ли $\sqrt x$ може да буде веће од $x$?
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} За $x = -4$ је $x^2 = 16 > 9$, а $-4 < 3$.; $x^2 > 9 \iff |x| > 3 \iff x > 3 \lor x < -3$.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{x^2} = |x|$.; За $x \ge 0$ је $|x| = x$, а за $x < 0$ је $|x| = -x > 0 > x$. У оба случаја је $|x| \ge x$.; \textbf{Решење:} ДА

\noindent\textbf{3.} $-\sqrt2$ и $\sqrt2$ су ирационални, а $-\sqrt2 + \sqrt2 = 0$ је рационалан.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{4.} $\sqrt{0{,}9} = \sqrt{\tfrac{9}{10}} = \tfrac{3}{\sqrt{10}} = \tfrac{3\sqrt{10}}{10}$.; $10$ није квадрат природног броја, па је $\sqrt{10}$ ирационалан; производ рационалног броја $\tfrac{3}{10}$ (различитог од нуле) и ирационалног броја је ирационалан.; \textbf{Решење:} НЕ

\noindent\textbf{5.} За $x = \tfrac14$ је $\sqrt x = \tfrac12 > \tfrac14$.; Општије, за свако $0 < x < 1$ је $\sqrt x > x$.; \textbf{Решење:} ДА


\paragraph{Задатак 2}
\begin{enumerate}
  \item Реши једначину $4 \cdot (0{,}5x + 1{,}2)^2 = 0{,}36$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $(0{,}5x + 1{,}2)^2 = 0{,}09$; $0{,}5x + 1{,}2 = 0{,}3 \lor 0{,}5x + 1{,}2 = -0{,}3$; $0{,}5x = -0{,}9 \lor 0{,}5x = -1{,}5$; Провера: $4 \cdot (0{,}5 \cdot (-1{,}8) + 1{,}2)^2 = 4 \cdot 0{,}3^2 = 0{,}36$ и $4 \cdot (0{,}5 \cdot (-3) + 1{,}2)^2 = 4 \cdot (-0{,}3)^2 = 0{,}36$.; \textbf{Решење:} $x = -1{,}8 \lor x = -3$


\paragraph{Задатак 3}
\begin{enumerate}
  \item Реши неједначину $\sqrt{\dfrac{(3x+2)^2}{4}} \ge \dfrac74$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\sqrt{\dfrac{(3x+2)^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{(3x+2)^2}}{\sqrt4} = \dfrac{|3x + 2|}{2}$, па је неједначина $|3x + 2| \ge \tfrac72$.; $3x + 2 \ge \tfrac72 \lor 3x + 2 \le -\tfrac72$; $3x \ge \tfrac32 \lor 3x \le -\tfrac{11}{2}$; $x \ge \tfrac12 \lor x \le -\tfrac{11}{6}$; \textbf{Решење:} $x \in \big(-\infty, -\tfrac{11}{6}\big] \cup \big[\tfrac12, +\infty\big)$


\paragraph{Задатак 4}
\begin{enumerate}
  \item Докажи да је број $\sqrt{22}$ ирационалан.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Претпоставимо супротно: $\sqrt{22} = \tfrac pq$, где су $p, q \in \mathbb N$ узајамно прости.; $22 = \tfrac{p^2}{q^2}$, тј. $p^2 = 22q^2$.; $2 \mid 22q^2$, па $2 \mid p^2$, а онда и $2 \mid p$ (квадрат непарног броја је непаран). Нека је $p = 2k$.; $4k^2 = 22q^2$, тј. $2k^2 = 11q^2$. Дакле $2 \mid 11q^2$, а $2 \nmid 11$, па $2 \mid q^2$ и $2 \mid q$.; $2 \mid p$ и $2 \mid q$ — контрадикција са претпоставком да су $p$ и $q$ узајамно прости.; \textbf{Решење:} $\sqrt{22} \notin \mathbb Q$


\paragraph{Задатак 5}
\begin{enumerate}
  \item Израчунај $(\sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{27}) : \sqrt3$.
  \item Упрости израз $\sqrt{ab^2} + b\sqrt a - \sqrt{9ab^2}$ ако је $a > 0 > b$.
  \item Израчунај $\dfrac{15}{\sqrt5} - \sqrt{20} + \dfrac{4}{\sqrt8}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt3$, $\ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt3$, $\ \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt3$.; $\sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{27} = 5\sqrt3 - 4\sqrt3 + 3\sqrt3 = 4\sqrt3$.; $4\sqrt3 : \sqrt3 = 4$.; \textbf{Решење:} $4$

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{ab^2} = \sqrt a \cdot \sqrt{b^2} = |b|\sqrt a$, а $b < 0$, па је $|b| = -b$ и први члан је $-b\sqrt a$.; $\sqrt{9ab^2} = 3|b|\sqrt a = -3b\sqrt a$.; $-b\sqrt a + b\sqrt a - (-3b\sqrt a) = 3b\sqrt a$.; Провера за $a = 1$, $b = -1$: $\sqrt1 + (-1)\sqrt1 - \sqrt9 = 1 - 1 - 3 = -3 = 3 \cdot (-1) \cdot \sqrt1$.; \textbf{Решење:} $3b\sqrt a$

\noindent\textbf{3.} $\dfrac{15}{\sqrt5} = \dfrac{15\sqrt5}{\sqrt5 \cdot \sqrt5} = \dfrac{15\sqrt5}{5} = 3\sqrt5$.; $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt5$.; $\dfrac{4}{\sqrt8} = \dfrac{4}{2\sqrt2} = \dfrac{2}{\sqrt2} = \dfrac{2\sqrt2}{2} = \sqrt2$.; $3\sqrt5 - 2\sqrt5 + \sqrt2 = \sqrt5 + \sqrt2$.; \textbf{Решење:} $\sqrt5 + \sqrt2$


\paragraph{Задатак 6}
\begin{enumerate}
  \item Упореди $4\sqrt3$ и $3\sqrt5$.
  \item Упореди $\sqrt{50} - \sqrt8$ и $\sqrt{17}$.
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $4\sqrt3 = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$, $\ 3\sqrt5 = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.; $48 > 45$, па је $\sqrt{48} > \sqrt{45}$.; \textbf{Решење:} $4\sqrt3 > 3\sqrt5$

\noindent\textbf{2.} $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt2$, $\ \sqrt8 = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt2$.; $\sqrt{50} - \sqrt8 = 5\sqrt2 - 2\sqrt2 = 3\sqrt2 = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.; $18 > 17$, па је $\sqrt{18} > \sqrt{17}$.; \textbf{Решење:} $\sqrt{50} - \sqrt8 > \sqrt{17}$


\end{document}